Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (947325), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Усллоачивоппл 2. Исследование устойчивости конкретных систем Для уравнений 139 †1 и систем 145 †1 найти положения равновесия и исследовать их на устойчивость. 139. х = — хз. 141. т, = — тяп х. 143. х = хзшз С 145. х = у, у = -тз. 140. х = япх — х. 142. т = — тяп С 144. з = 146. х = д, у = Зхз — 2х.
147. т, = у — х + (у — х)з, у = О. В задачах 148 — 155 выяснить, кри каких значениях параметра а нулевое решение явлнется а) асимптотически устойчивым; б) устойчивым. но не асимптотически; в) неустойчивым. ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 3 ~ 2 ~ ~ з х=у, 148. у= — ад — х — а х. 149. х = ах+ у+ (а+ 1)х, у=х+ау. х = ах+ азлпд, з у=ах — а у. 152. 153. у = ад — 48т.
х=у †— у, 2 2 154. у = — (а + 1)х — ау. т = у~ у = — х(1+х ) — ау. х = Зд — слу, у = 2т+ (2 — а)у. 138*. Пусть 1(л, х) Е Сл, х Е Я" и пусть разность каждых двух решений уравнения х = 1(л, х) стремится к нулю при 2 — ~ +ос. Следует ли отсюда при каком-либо и, что всякое решение этого уравнении асимптотически устойчиво? З 25. Фаэовая олосаоооэь т, = — ах + (а — 1)у, 155.
у= х+ау . 156. а) При каких а Е В существуют ограниченные при — оо < г < со решения системы х = 2у — 4х+ 1, у = 2х — р+ а. Найти все такие решении. б) Устойчивы ли они? 157. Устойчиво ли решение системы х = х — у, у = 2х — у+ 6яп г, имеющее период я? В задачах 158 — 160 а) найти все значения параметра а Е Л, при которых все решения уравнения неограничены при 1 ) 0 (не требуется отыскивать решения); б) выяснить, являются ли эти решения устойчивыми или асимптотически устойчивыми.
158. х + ах = яп 1. 159. 'х' + х = сов а1. 160. х+ ах = соваг. 2 25. ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ 1. Траектории линейных систем 161. При каких соотношениях между коэффициентами а, Ь, с, 6 особая точка системы х = ах+ Ьд, у = ох+ ду является а) седлом, б) узлом? 162. При каких а, Ь, с, г? для каждого решения системы х = ах+ Ьу, р = ох+ др полярный угол точки (х(г), д(г)) возрастает при увеличении Ь? В задачах 163 — 165 определить тип особой точки и нарисовать траектории системы на плоскости х, у.
145 З 25. Фавовая ояосяосоьь х=х+Зу, 163. д = 5р — а. х = х — 5у, 164. у = бх — 5у. х=у+х — 4, 165. у =Зу — х. х = 2у — х. из точки ( — аз — 1, — 1) попасть в точку (1, аз + 1)? б) Устойчиво ли положение равновесия? 168. а) определить тип особой точки и нарисовать траектории системы х = ах — у, при а = -2, Ь = -3. б) На плоскости параметров а, Ь указать такую область, что при любых (а, Ь) из этой области вторая компонента у(1) любого решения указанной выше системы имеет бесконечно много нулей при 1 ) О.
169. Рассматривается система х = азх,— у, у = бх — (3+ 2а)у. а) Будет ли нулевое решение системы при а = 1 асимптотически устойчивым? Обосновать ответ. б) Нарисовать траектории системы при а = — 3. в) Существует ли такое значение а б Л, при котором траектории — замкнутые кривые? В задачах 170 — 173 исследовать а) при каких значениях параметра а 6 Л нулевое решение асимптотически устойчиво и при каких — -устойчиво; б) при каких значениях параметра а Е Л особая точка— седло? узел? фокус? в) при указанном значении а дать чертеж траекторий. 166. При каких а особан точка системы х = а(х + у), у = азр явлнется седлом? 167.
а) Может ли траектория системы 146 Г~ 25. Фазовап плоскость х — х+ оу, 170. а = -'. у=их+у; т = ах+у, 171.. а = 1. у = ау — ь2а+ 1)х; х= 2ах+у, 172. а = 1. у = ау — 2ах; х = х + (2 — а)у. 173. а = 4. у = ах — Зу; 2. Траектории нелинейных систем 174. Найти и нарисовать траектории системы 3 8 2 . 8 2 3 175.
Имеет ли уравнение т+ хь = О ненулевые решения, определенные при -оо < 1 < оо? 1ТО. Имеются лн у уравнения х = 4х — 4хз неограниченные решения? 17Т. Перейти от уравнения х + их + х — хз = 0 к автономной системе двух уравнений. Для этой системы а) найти особые точки; б) указать значения оо при которых все эти точки неустойчивы; в) существует ли значение а, при котором ровно две особые точки устойчивы? 178.
Для уравнения х+ 4х — бх = 0 а) найти уравнение у = ~р(х) траектории, проходящей через точку (1,0); б) нарисовать эту траекторию, учитывая значение предела 1пп — "; к-ьсО' ' в) найти решение данного уравнения с начальными условиями х(0) = 1, х(0) = О. 179. Для уравнения х = — и'(х), где и(х) = — х" + х2 — 1, а) дать чертеж траекторий на фазовой плоскости; 147 З 25.
Фаэовая пяоопоспэь б) найти особые точки и исследовать их на устойчивость; в) найти наклоны сепаратрис и периоды малых колебаний; г) добавить +ах в левую часть уравнения и для а > 0 исследовать типы особых точек полученного уравнения. 180. Для уравнении х. = 2х — 2хз провести такое же исследование. как в предыдущей задаче. 181.
Длн уравнения х+ х = хг а) найти и исследовать особые точки на фазовой плоскости; б) найти решение х(1), убывающее и стремящееся к 1 при 1 — э +со, а также его траекторию на фазовой плоскости; в) выяснить, при каких а решение с начальными условиями т(О) = О, х(0) = о, периодическое; г) указать на фазовой плоскости область, заполненную замкнутыми траекториями; д) устойчиво ли решение с начальными условиями (О) — 0 х(0) — „3.
В задачах 182 и 183 а) дать чертеж траекторий на фазовой плоскости; б) найти особые точки и исследовать их на устойчивость; в) выяснить, определены ли все решения при — оо < 1 < ос. х = 1 — хг, 182. р=р х=х — х з 183. р = — р 184*. Для системы х=у — х р — й, д=хл+х р — х а) найти все особые точки; б) линеаризовать систему в каждой из точек (О, 0), (1, 0), (,Гг' ог) ' в) исследовать устойчивость этих линеарпзованных систем; г) исследовать на устойчивость те же три особые точки длн исходной системы; д) дать чертеж траекторий на фазовой плоскости; 148 З26. Дифференцирование решения ло лорал»етру е) выяснить, имеет ли данная система неограниченные решения; ж) описать множество точек, через которые проходят периодические решения. 8 26. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ РБШЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ И ПО НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЯМ 1.
Дифференцирование по параметру 185. Сформулировать теорему о дифференцируемости решения системы дифференциальных уравнений по параметру. Написать систему дифференциальных уравнений в вариацинх. В задачах 186 — 194 найти производную от решения данного дифференциального уравнения (или системы) по параметру р при р = О. 180. у' = дх + Й (х > О), у(1) = 1 — '2!и 187.
у' = у- + р се " (х > О), у(1) = 1 + 2р. 188. у' = у — х+ рх, ез", у(1) = 2 — р. 189. у' = рх+япу, у(0) = 2д. 190. й = х яп х+ яп(хз), х(0) = р,, х(0) = и. 191. х = х+ яп(хз), х(0) = р», х(0) = д~. 192. х+х = 2р»яви+ р»хз, х(0) = О, х(0) = О. 193. х — 2х = ртх, х(0) = 4, х(0) = у»з Ч- Зр,. 194. т = у у = х+ Зруз, х(0) = 2 — 4~», у(0) = О. 2. Дифференцирование по начальным условиям 195. Сформулировать теорему о дифференцируемости решении системы дифференциальных уравнений по началь- '2 27.
Уравнения с частныли нроизеодными 149 ным условиям. Написать систему уравнений в вариациях и начальные условии для нее. 196. Доказать, что в случае у Е тс' производная по Уо от Решении задачи У' = 1(х, У), У(хо) = Уо всегда положительна (предполагается 1 Е С ). В задачах 197 — 199 найти производную от решения по Уо пРн Уо = О. Указание. При уо = 0 каждан из этих задач имеет нулевое решение. 197. у' = 2ху+ з(ну, у(1) = уо. 198. у' = уззшх+ успех, у(0) = уо. (*=у-х+х', 199 .
х(0) = О, у(О) = уо. ~ у = д — 2х+хд, 200*, х+шпх = О, х(0) = а, х(0) = ~3. Найти „, при сч = ~3 = О. 3. Разложение решения по степеням параметра В задачах 201 н 202 найти разложение решения по степеням параметра р до дз вклнзчительно. 201. У' = бдх+ ~ (х > 1), у(1) = 1 — рь 202 т = 2* 2з.з т(0) = 1 х(О) д 9 27. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1. Теоретические вопросы 203. Написать общий вид квазилинейного уравнения с частными производными первого порндка. Что называется характеристикой этого уравненинд 150 г27.
Уравнении е частными нроиэводниии 204. Сформулировать и доказать утверждение о связи решения уравнении с его характеристиками. 205. Как можно использовать первые интегралы некоторой вспомогательной системы дифференциальных уравнений для получения решения данного уравнения с частными производными7 206. Сформулировать постановку задачи Коши для квазилинейного уравнения с частными производными и теорему существования ее решения. 207. Сформулировать и доказать теорему о существовании решения задачи Коши для квазилинейного уравнения с частными производными первого порядка. 2.
Задачи 208. Найти общее решение уравнения Решить следующие задачи Коши (209 — 215). 209. худ+ хгф = уг, г = 1+ уз при х = 1. 210. ф + (г — хг) в' = 2х, г = хг + х при у = 2хг. 211. д — '+ хеба = уг, г = — дг при х = О. 212. хеба +угф = хз+ у. г = 4уз при х = Зуг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
