Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (947325), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Подробнее см. [1], гл. ЧП, й 1, п. 2, или [4], гл. 3. З 2. Пример 1. Решить систему уравнений )г+ р = —, г х х Решение. Исключаем л из данных уравнений. Из первого уравнения имеем г = хр~. Подставляя во второе уравнение. получаем после упрощений зро (р хр~)г Данная система уравнений (1) приведена к одному уравнению второго порядка. Это уравнение может быть решено методами, изложенными в 2 10 (путем понижения порядка). После того иак из этого уравнения будет найдено у, следует найти г, пользуясь равенством з = хр', 2. При решении системы уравнений путем исключения неизвестных обычно получается уравнение более высокого порядиа.
поэтому во многих случаях удобнее решать систему путем отыскания интегрируемых комбинаций (см. [Ц, гл. У11, З 5, и. 2). П р и м е р 2. Решить систему' йх с1У йх хг рг — хр (2) гпистема (2) записана а симметрической форме. О симметрической форме системы дифференциальных уравнений см. [1), гл. ЪЧ1, 1 5, и. 1, или [4), гл. 3, 1 3. 1139*. Доказать, что длн решения р(х) уравнения р' = = х — уг с начальным условием у(хо) = ро, где хо Э О, ро ) О, имеем у(х) — тих -+ 0 при и -+ +ос. 120 3 19. Нелинейные систпемы — = Сс.
(3) у Чтобы найти вторую интегрируемую комбинацию, воспользуемсн следующим свойством равных дробей: если ьь = -г = ... = — л- = ьс ьг '' ь = й то при любых Ьы Ьг, ..., Ьс, имеем Ьдас + Ьгаг -1- ... ф йоии Йсбс ф Ьгбг -и ... + ЬиЬ Пользуясь этим свойством, получаем из (2) с1(иу) с)г с1(жу) = — 2г с)г. 2зуг — лу у с)л -~-ш. с)у с)г Следовательно, иу+ г = Сг. г (4) Очевидно, первый интеграл (3) и первый интеграл (4) независимы. Система решена. Вместо того чтобы искать вторую интегрируемую комбинацию, можно, воспользовавшись знанием первого интеграла (3), исключить из системы (2) одно из неизвестных, например, и. Из (3) имеем и = Ссу. Подставлян во второе из уравнений (2), получаем бу . Отсюда — Ссус4у = гс)г; г = — Ссу + Сг. Подставг г У' — С,у' лня сюда выражение для Сс из формулы (3), находим еще один первый интеграл: г + иу = Сг.
г В задачвх 1141 — 1160 решить данные системы уравнений. 1141. у' = — *, г' = — — *. л Л 1142. у' = -л —, гс = у+ 1. 1143 — г 1144. у' = угл, г' = л — улг. 1145. 2гу' = уг — гг + 1, г' = г + у. сО первых интегралах см. (1], гл. 'Л1, 'г 4 или (3], 1 23. Первые две дроби образуют интегрируемую комбинацию. Сос]з с1У 1 крещен равенство — = — на — и интегрируя получаем первый иг гсл г интеграл' 121 г 19. Нелииеаиые системы 1146. гр — » Р» Р х 1148. ах = ир» р-~-» х+» х-~-Р' 1149. р — х аЧ-р-Ь» х — р' 1150. ~~ = —" = ~» = ~". » и х р ех др е» ее р — е» вЂ” х е — р х — »' 1152.
"" — ея аа х» 1154. '* — Ж е» Р хр+»' 1155. ах а= ел е» 1157. "х — ар х(р+»)»(» — Р) Р(р 1 1 58 аха и««з» х хр — г»г 1159 ех ер '«(» Р) р(р — х) 1160. *, ар » ) Р(»гмхг) «(х»Е «). г н р ег «рг = т — уу. г = 1г + 2ту 1162. к=ту, у= тг+уг; ргг (сг = г — 21пт. 1163. е = ир — е» аеи. Р х = з!пу — тгу; = уг — при В задачах 1161 — 1163 для данных систем дифференциальных уравнений и данных функций «д проверить, являются ли соотношения (г = С первыми интегралами этих систем.
122 220. Уравнен я в частных проддгводных первого порядка 1164. Проверить, явлнютсн ли независимыми первые интегралы Бд = Сд, — -~ = Сз системы йх йу сЬ х у х 1165*. Доказать, что в области, содержащей особую точку типа узла или фокуса, длн системы с)т с)у — =Р(х у), — =9( у) 61 ' ' с)Ь не может существовать первого интеграла вида ~р(х, у) = С' с непрерывной функцией р, др р= сопят в сколь угодно малой окрестности особой точки.
1166. Пусть рд(Ь, х, у) = Сд, соз(1, х, у) = Сз — первые интегРалы системы ао', = Л(1 х У) адд = = Ь(Ь х У)' фУнкЦии Рд, рз н их пеРвые пРоизвоДные по х, У непРеРывны. Пусть в пространстве 1, х, у поверхности дд(Ь, х, у) = 1. ьдз(8д х, у) = 2 имеют только одну общую линию (т. е. пересекаютсн или касаютсн друг друга по этой линии). Доказать, что эта линия является интегральной кривой данной системы. 220.
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1. Чтобы решить уравнение в частных производных дг дг ад +...-ьа — Ь, хд ~х бхд с1х„сЬ ад а Ь (2) и найти и независимых первых интегралов этой системы дрд(хд, .... то. х) = Сд, х (хд, ..., х , г) = С . (2) где ид, ..., ак, Ь зависят от хд, ..., хк, г, надо написать систему обыкновенных дифференциальных уравнений (4) Г(р„..., д.) =0, где à — произвольнан дифференцнруемая функция.
В частности, если г входит только в один из первых интегралов (3), например в последний, то общее решение можно написать и так: У (х» . ~ ха~ г) = 7(1о» 1'р -г)~ (5) где 7 — - произвольная дифференцируемая функция. Разрешив равенство (5) относительно г, получим общее решение уравнении (1) в явном виде. 2. Чтобы найти поверхность г = г(х, д), удовлетворяющую дифференциальному уравнению дг дг аг(х, у, г) — + аг(х, у, г) — = 6(х, у, г) дх ' ' ду (6) и праходншую через данную линию х = и(1), у = а(1), г = ш(1), (7) нада найти два независимых первых интеграла системы г(х 61г Ь а~ аг 6 (8) В зги первые интегралы рг(х, у, г) = См уг(х, у, г) = Сг (9) нада подставить вместо х, у, г их выражения (7) через параметр й Получатсн два уравнения вида Фг(1) = Сг, Фг(1) = Сг.
(10) Исключив из них 1, получим соотношение 1г(Сг, Сг) = О. Подставив сюда вместо Сг и Сг левые чисти первых интегралов (9), получим искомое решение. В там случае, когда в обв уравнения (10) не входит й тогда линия (7) явлнется интегральной кривой системы (8), т. е. характеристикой уравнения (6),и задача Коши имеет бесконечно много решений (см. [1], гл. УП!, 3 3, п. 4). Пример.
Найти общее решение уравнении дг дг хг — + уг — = — ху, 'д ду (и) 220. Урввкекия в частных производных первого порядка 123 Общее решение уравнения (1) в неявном виде звписынвется твк: ()20. Уравнения в частных производных первого нарядна 125 у — — х — = О.
а» д. д» др 1167. (и+ 2у)ф — уф = О. 1168. х — + у — + г — = О. ди ди ди д» др д» 1169. (х г)а" +(У г)д" +2гЖ=О. 1170. у — +х — = х — у. д», д» ди др 1171. » д»+ гд» Е» д» др 1172. 1173. 2хд» +(у х)д' хг =О, де др ху — — х — = ух. д» гд» дя др 1174. 1173 хд,'+2уд' = х'зу+х. 1176. (хг+ уз)д'+2хуф+хг = О. 1177 2,„зд» уда рг г+1 д» др 11Т8.
д» д»,» д» др )гд» + д» 1180. 1181 худ» + (х 2г) д» В»+ д» д д» др»' 1183. в1п г:д' +18гдр»» совр х. 1184. (х+ г)д + (У+ в)д = и+у. 1185. (хг + у) д,,' + (х + у4 д*„— — 1 — х . 1186. (у + г) д* + (г + х) д + (т + У) д 3, О решении системы двух уравнений в частных производных первого порядка и о решении уравнения Пфаффа см. (1), гл.
1Х. г 1 и з 2, пп. 1, 2, 3. Для каждого из уравнений 1167 — 1188 найти общее рещение. 126 З20. Уравнен я в частных производных первого порядка, 118т. д", +дд +~ + )ф = .у. 1188. (н — х)ф+ (~ — у)д" — ~д" = х+ у. Найти решения уравнений 1189 — 1193. удовлетворяющие указанным условинм. з=йх приу=1. 1190. — '+ (2е* — у)дд' = О: з = у при х = О.
1193. хд1+уда +худа = О; и =хе+уз при я = О. В задачах 1194 — 1210 найти поверхность, удовлетворяющую данному уравнению и проходящую через данную линию. 1191 зд»+, д» х,, О з 1195. ха,' — 2дд' = хз + уз; у = 1, 1196. х д* + у д' = е — ху; х = 2, з = уз + 1. 1197. Сйхд + Уд = з; У = за 3 =.'с . 1198. хдд' — дф = гз(х — Зу); х = 1, де+ 1 = О.
1199. хд'+уд' = з — хз — уз; у = — 2, з = х — хз. 1200. уз — '+ хг —" = хд; * = о. уз + зз = аз. 1201. зф — худ' = 2хг; х+ у = 2, дз = 1. 1202. е$ + (з~ — хз) д' +х = 0; у = хз, г = 2х. 1203. ~д — г) д' + (з — х) д' = х — у; 1204. хф + (хе+ у)ф = з; х+ у = 2т, хз = 1. 1205. узф+узф+гз = 0; х — у = О, х — уз = 1. 1206. хф + зф = у; у = 2з, х+ 2у = з. 1191. 2~/хЯ вЂ” уд' = О; 1192 ди + да ~ 2дн О, де до д» з = уз при т = 1. и=уз прих=1. З 20. Уравнении в частных производных первого парадна 127 1207.
(у+ 2хз) а" — 2тзг — ' = хз; х = з, у = ха. 1208. (х — з) а'+(У вЂ” з) за' = 2з; х — У = 2, з+2х = 1. ае ан— 1200 хуз аз + хзгза» узз. х гз чу гз 1210*. ха' + у — ' = 2ху; у = х, з = хз. 1211. Найти общее уравнение поверхностей, пересекающих под прямым углом поверхности семейства гз = Сху. 1212. Найти поверхность, проходящую через прямую у=х.
г=1 и ортогональную к поверхностнм ,з+у +, О, х+ у+ г = О. х + ху -Ь уз = 1. 1215. Написать уравнение в частных производных, которому удовлетворяют все конические поверхности с вершиной в данной точке (а, Ь, с), и решить его. 1210. Найти поверхности, у которых любая касательная плоскость пересекает ось Ох в точке с абсциссой, вдвое меньшей абсциссы точки касании. В задачах 1217 †12 решить данные системы уравне- ний дг дт х дз 2г ду У дз =У дх дз — = хз.
дд 1217. 1218. 1213. Написать уравнение в частных производных, которому удовлетворяют цилиндрические поверхности с образующими, параллельными вектору (а, 6, с). Найти общее решение зтого уравнения. 1214. Пользуясь результатом предыдущей задачи, найти уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными вектору (1, — 1, 1), и направлнюшей 128 З20. Уравнения в частных гров»водных нервого норяона дз 2 — = 2ух — г дт, дг — = хз.
ду 1219. В задачах 1220 — 1223 найти поверхности, удовлетворяющие данным уравнениям Пфаффа. 1220. (т — у) с1т + г с1у — т, с4х = О. 1221. Зух«1т. + 2тг ду+ тус1г = О. 1222. (х + ту) с1т — (з + уз) с4у + у бе = О. 1223. (2уг + Зх) с)т. + тз Иу + ху с)х = О. ДОБАВЛЕНИЕ Задачи, предлагавшиеся на письменных экзаменах Работа 15.05.94 г. состояла из задач 17, 63, 81, 98, 170, 198. Работа 4.06.94 г.
состояла нз задач 28, 51, 69, 122, 127, 148, 190. Работа 18.05.95 г. состояла из задач 22, 56. ТО, 129. 135. 194. 216. На выполнение работы студентам давалось 3 часа. Для полу- чения оценки «отлично» требовалось решить 5--6 задач. В Я 21 — 27 содержатся задачи, предлагавшиеся на письменных экзаменах и коллоквиумах на 2-м курсе механико- математического факультета МГУ в 1992- — 1996 годах, а также небольшое число задач, дававшихся для подготовки к экзаменам.
Исключены самые трудные задачи. Сокращено число задач на решение уравнений стандартными методами (подобные задачи содержатся в предыдущих параграфах этого сборника). Ниже приводятся для примера три экзаменационные письменные работы (указаны номера задач из Я 21 — 27). З 21. Существование и единственность дешевая 129 9 21. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ 1. Теоретические вопросы Вопросы 1 — 5 рассчитаны на лиц, изучавших доказательство существования решения дифференциального уравнения, основанное на переходе к интегральному уравнению и построении последовательных приближений [Ц, [2). 1.
Обосновать связь условия Пипшица и дифференцируемости. 2. Изложить общий план доказательства теоремы существовании и единственности. 3. Сформулировать и доказать утверждение о переходе от дифференциального уравнения к интегральному. 4. Доказать, что последовательные приблилсения сходятся к непрерывной функции. 5. Доказать, что предел последовательных приближений есть решение интегрального уравнения. 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
