Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (947325), страница 22
Текст из файла (страница 22)
213. угу -Ь хд г» = хгг. г = е" эг пРи х = 2У. 214. хф+ ~ф = + 2хг, = при у = — — хг. 215. х а' + у л' = х + у + г. г = х + у при у = т. + 1. Решить следующие задачи Коши (216 — 218) в тех случаях, когда решение существует. 216. ф + 2ф = 5, г = О при у = йх.
217.Й+Зо'=2, а)гр уг прих=1; б) г=2х приу=Зх. г = 2ау при х = (аг + а — 2)д. З 27. Уравнения е чаетньеии лроизводнвеии 151 219. Имеют ли решении в окрестности точки (1, 0) следующие задачи Коши: а) у л' — т л' — — О, з = 2у при и = 1: б) уф — хф = О, з = 2у при х = 1+ у? 220*. Имеют ли решения в окрестности точки (1, 1) следующие задачи Коши для уравнения (х — оху ) — + (ох у — у ) — = О з,здз з здз д» ду а) я=вшу при хе+уз=2: б) з = вшу при х = 1? 221. Какому условию должна удовлетворять функция «р(х) Е С~ длн того, чтобы задача Коши дз дз у — — х — =О, з=ео(х) при у=О, — оо<х<со, дх ду имела решение на всей плоскости х, у? ОТВЕТЫ 15. /(х, у) = 0; Д<0 (п)ак)) Д>0 (ппп).
16. а) у = х + + 2х; б) х = 2сбу; в) ху = — (1 — х~)~;у = 0; г) Д 4- / /р —— О. 17. у = е "/". 18. у' = Зу~)~. 19. ху' = Зу. 20. у + у = 1. 21. х~у' — ху = ду'. 22. 2хуу' — у = 2хл. 23. у'а = 4у(ху' — 2у). 24. у' = сов " . 25. х(х — 2)ун — (х~ — 2)у' -)- 2(х, — 1)у = 28. хада' — Зх~ да+ бху' — бу = О.
29. ун'у' = Зун~. 30. (у — 2х)л(у™-!- + 1) = (2у'+ !)~. 31. хд'~ = у(2у' — 1). 32. (хд' — у) = 2ху(у'~ + + 1). 33. хлун — 2ху'+ 2у = О. 34. (уну+ у'в + 1) = (у'~ + 1)а. 35. уу' -!- лл' = О, у~ -!- 2хлл' = х~л'~ 36. т, -!- у~ = л~ — 2л(у— — тд'); х -1- уу' = лл' — г'(у — ху'). 37. 4уу' = — х. 38. д' = — 2у. 39. (х~ + у)у' = — х,. 40. (х -!- у)у' = у — х; (х — у)д' = х 4 у. 41.
(х'+ уъ/3)у' = у ~ хъ/3. 42. (Зх '+ уъ'3)у' = у ~ Зтъ/3. 43. (2хт Туъ/3)у' = д ~ 2хъ/3. 44. )'агпВ = г~. 45. г' = 1гсСЗВ. 46. г' = = гсс8(В х 45'). 47. (х+ 2д)у' = — Зх — у; (Зх+ 2у)у' = д — х, 48. д'[2. у х (х — д )] = д —. х 2.у. 49..(1+ д' ) = — 2дд'. 50. уу'а + ху'е = — 1. 51. у = С(х -!- Це™; х = — 1. 52. !п!х) = С -!- + ъ/ул -)- 1: х = О. 53.
у(!п )х~ — Ц ~-С) = 1, у = 0; у(!))(1 — х~) ~-1) = 1. 54. у = 2 -Ь С сов х; у = 2 — 3 сов х. 55. у = (х — С)л; у = 0; у = = (х — 2)а; у = О. 56. у(1 — Сх) = 1; д = 0; у[1 + х) = 1. 57. у~— — 2 = Се1/'. 58. (Се — 1)у = 2: д = О. 59. е " = 1 + Се'. 60. л = — !8(С вЂ” 10 ). 61. х~ -Ь й~ — 21 = С. 62. с!8 л:-к = х -!- С; у— — х = 2кй, А = О, х1, ... 63. 2х -)- у — 1 = Се . 64. х 4 2у ~- 2 = =се;, ) =О.б). 'т тт — ) — ) ) я тт — ) )= = х + С. 66. у = асс!8(1 — ~) + 2к.
67. д = 2. 68. а) 2д~ + х~ = С; б)у +Зх=с;в)у =Се' ",71.(С~ ) =Зол,72.Ь! д— — д = хх+ С, О<у<5. 73. о !п(а х ъ/от — ул) ~ ъ/ол — ул = х + + С. 74. у = Сх~. 75. у = Схт; у = Ст. 76. г(1 х сов)))) = С. 77. Количество ааота (в литрах) х(т) = 20 — 4е с/лоо; х(1) = 19,8 при ! = 200!п20 — 600 сек = 10 мин. 78. Количество соли х(!) = = 10е ')~~; х(60) = 10е а 0,5 кг. 79.
Объем СОа (в л)~) х(1) = = 008 + 022е '/'о; х(1) = 0,1 при 1 = 10 !п 11-24 мин. 80. Темпе- Ответы 153 рагу ра тела х(1) = 20+ 80. 2 ~/ш; х(!) = 25 при! = 40 мин. 81. Разность температур воды и предмета х(1) = 55 (3/5)'; х(1) = 1 прн ! = !п55/(1пб — 1пЗ) — — 8мин. 82. Температура металла х(1) = = а+ ь о (1 — ~ 'ь ); х(60) = 5 — ь ь (1 — е оо").
83. СкоРость (в м/сек) о(!) = (2/3)0/М '; о(!) = 0,01 при ! = 4 (, д о + 1) -50 сек; путь в = о, -15 м. 84. Оставшееся количество вещества х(1) = = з(0)2 О~~; х(1) = 0,01х(0) при Е = 60/!82 — 200 дней. 85. Оставшеесн количество радин х(!) = х(0) (1 — 0 00044)', х(!) = ох(0) при 1 = !п0,5/1п(1 — 0,00044) — 1600 лет.
86. Количество урана х(!) = = х(0)е ', о = Ьх2/(4,5 10 ); х(1) = 100, х(0) = 100 -!- 14 ф = = 116,2; ! = 4,5 10 . л-~ — '-оз- 970. 10 лет. 87. Количество све1о 3 та, прошедшего через слой в х см, у(х) = у(0) 2 '/зо; у(200) = = у(0)2 ш~~ 0,02- у(0); поглощается 100% — 2% = 98%о. 88. Скорость о(1) = 50!Ь-', путь (в метрах) а(!) = 2501псЬ1: а(1) = 1000 при сЬ -' = е, ! — 5(4+ 1п2) — 23сен.
89. Скорость о(1) = = Ь/ль !8 ь/58(С вЂ” !),д = 10, й = 0,012, С = + ахс!8 у/ — "о(0) — 1,75; о(!) = 0 при! = С-1 75 сек; наибольшая высота 5 = — ')п(ле~(0)т + 1)-16,3м (без сопротивления воздуха ! = 2 сек. й = 20м). 90. Скорость о(!) =,/льсЬт/кбт, путь е(1) = ь 1псЬь/куг; а(!) = = Ь = 16,3м прн 1 = ~ )п(еьь -!- ь/езьь — 1) — 1,87 сел, о(1) = оъ5 ото — "ч 6.4 о ..В * мо; л— — ь/Ь = 0,5ь/28 хй 5(1) = 0 при С = аз ~)/' — 1050сек = 17,5 мин.
92. (2 — Ь(1))Н~ = 0,45кг~ьГ2и~~, Ь(!) = 0 при 1 = = о „о~/~ — 1040сек. 93. ъlН вЂ” „/Ь(!) = 5! 5 = 'lн(1 — о ) ° Ь(!) = 0 при ! = 5(2-!-ь/2) 17 мин. 94. Но/з — (5(!)]Оз = зЯ вЂ” ' /257 Ь(!) = 0 при 1 = (4Ле/Здз)ь/2Н/8 27 лен. 95. Объем воды в баке в литрах х(1); 1 = -~т !и — -~- — з ь/х, у = 1,8, о = 10 х(1) = 360 при ! = 260 сек (для бака без отверстия в дне ! = = 200 сек).
96. Удлинение нижнего куска длины х равно у(х) = , а всего шнура — у(1) = ьз'. 97. На высоте 5 км давление р(Ь) = е одз" (кГ/си'). 98. Сила натяжении каната на расстоянии !о (в радианной мере) по дуге от начальной точки равна /(оо) = = /(0)ег/~; /(бк) = 10ез" — 5000 кГ. 99. Количество оставшейся воды ск(1) = то — о(дг — до) (! — е ), к — коэффициент пропорциональности.
100. После сгорания массы х топлива скорость ракеты е(х) = с1п и; о(М вЂ” тя) = с!п ~~. 101. х+ у = Сх; 1ог4 Ответы х, = О. 102. !п(хз -!-у ) = С вЂ” 2 асс!8(у(х). 103. х(у — х) = Су; у = О. 104. х = хузсс!вСх: у = О. 105. д = Сезс '. 106. дз — хз = Су; д = О. 107. яш х = Сх.
108. у = — х!в!пСх. 109. !п-*~" = Сх. 110. !пСх = с!8(1 !и з): д = хез ~, й = О. х1с х2, ... 111. 2 схд = = х!пСх; д = О:, т = О. 112. азсява = !пСх я8вх; д = хх. 113. (д — 2х) = С(у — х — !)з; у = х + !. 114. 2х + у — 1 = = Сез" *. 115. (д — х+ 2) + 2х = С. 116.
(у — х -Ь 5)з(х -!-2у— — 2) = С. 11Т. (у+ 2) = С(х+ д — !); у = ! — х. 118. у+ 2 = зег = Се ~"'я*=с. 119. !вххг = 1+ а . 120. яп":-з-"- = С(х-Ь 1). ез *-с-р' 121. хз = (хз — у) !пСх; у = хз. 122. х = — дз !вСх; у = О. 123. хзу !пСхз = Ц д = О; х = О. 124. у е сяв = С; у = О; х = О. 125. (2 /д — х) !п С (2 lд — т) = хс 2 /д = х. 126. ! — хд = =оЗс+ес =-2..2 П7 ) — 1= — ео;с=с; хуз = 1.
128. атея!п (вз! = !пСхз; (х~! = уз. 129. хзу!пСд = 1; у = = О. 130. а) у = С(х+ у); у = — х; б) (д+ х)з(д — 2х) = С(д — х)з; у = х. 131. у = С(хз -!-уз). 132. хз -!-уз = Сх. 133. При — ' — — ' = 1. 136. у = Сх + хс. 137. у = (2х+ !)(С+ !п~2х+ Ц) + !.
138. у = = яш х -!- С гов х. 139. у = е (!в (х( + С); х = О. 140. ху = С вЂ” Ьс (х!. 2 141. у = х(С+ япх). 142. у = Се' — х — 1. 143. д = С !в х — !их. 144. ху = (хз -~- С)е . 145. х = у -!- Су; у = О. 146. х, = е" + + Се ". 14Т. х = (С вЂ” сову) вшд. 148. х = 2!ау — у -~- 1 + Суз. 149. т = Суз -с- уз; у = О. 150. (д — 1)зх = у — !пСд! у = О; у = 1.
151. у(ег ~- Сез') = Ц у = О. 152. у(х -~- 1)(!и!х -!- Ц -!- С) = Ц у = = О. 153. у з = Ссовзх — Зяпхсоязх; у = О. 154. у = Схз— — Зхз.155.д =Схз — 2х;х=0.156.у=х!пСх;у=О. 157. у з = хс(2е* Ь С); у = О. 158. у = хз — 1+ Саха — Ц. 159. хз(С вЂ” соя д) = у; д = О. 160. ху(С вЂ” !п у) = 1.
161. х = Сез" -!- 2у. 162. у = С(х -Ь 1) — 2(т + 1). 163. е " = Схз ~- х. 164. соя у = (хз — 1) !п С(хз — 1). 165. д = 2ег — !. 166. у = — 2е*. = х +,+а, у = х. 170. у = х -!- 2+ — -ззз —;; д = х + 2. 171. у = е —; у = е'". 1Т2. Зх = СхсЯ вЂ” дз; у = О. 173. ху = Схз+ 2аз. 174. ху = а + Суз. 175. Через 20 ясин; 3,68 кГ. 176. Через 62 дии. 1ТТ. у = ус + С(уз — ус). 178.
у = В8х — вест. 179. В/а. 180. Ь|а. с о с с 181. х(!) = ) е" савв) с!в = ) е'7(з+!) с!з. 182. д(х) = х( е' 'с!! — с — оо С-со — + — с при х — с +ос. 183. у(х) = ( е ' """"6'тз с яп(х + в) с(в. о 186. Зхзу — у = С. 18Т. хз — Зхзуз+ дс = С. 188. хе "— уз = С. Ответы 155 189. 4у!пх+у = С. 190. х+лтз+ з = С.
191. хз+ з(хз — у)~г~ = С. 192. х — у соаз х = С. 193. х +:сз 1п д — уз = С. 194. хз + 1 = 2(С— — 2х) яп у. 195. 2х-ь)п(хз -ьу~) = С. 196. х+ агсг8 — „*= С. 197. хгг+ +С= /1+уз.198.2х'„' — 3 '=С.199. „'=х'(С вЂ” 2 );. =О. 200. (х — С)у = 2х. 201. хз + !и у = Схз; х = О.
202. у яп хд = С. 203. г + ху+ 1п ~у~ = С; у = О. 204. — х+ 1 = ху(агсзбу+ С); х=О;9=0.205. +21 (~(-~1~~~ — а=С; =0.206.япл= = Се . 207. 1п)у! — уе = С; у = О. 208. )п(-*-т -~- 1) = 2д -1-С; д = О. 209. хзу1пСхд = — 1; х = О; у = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
