Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (947325), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Сформулировать и доказать утверждение о единственности решения. Т. Сформулировать теорему о существовании и единственности решения дифференциального уравнения порядка и. 8. Сформулировать и доказать лемму об интегральном неравенстве. 2, Существование решения и последовательные приближения 9. Перейти от уравнения е* ув'+ шр = 299' к системе нормального вида и при начальных условиях у(0) = 1, у'(0) = 1, уи(0) = 0 построить два последовательные приближения к решению. 10. Построить три последовательные приближения ро, йы уз к решению задачи р' = 21+ рз, у(0) = 1.
130 121. буиьествование и единственность дешевая 11. а) Задачу у' = у + ж, у11) = 0 свести к интегральному уравнению и построить последовательные приближения уоь уы уз б) Указать какой-либо отрезок, на котором сходятся последовательные приближении. и доказать их равномерную сходимость. 12. Существует ли решение задачи ( 1приу<0 у = Ду), у(0) = О, где 11у) = Обосновать ответ. 13. а) Свести задачу 1у~ ж)е к задаче для системы нормального вида. б) При каких а существование и единственность решения гарантируется теоремой? 14. а) Указать все значения параметров аь а, А, при которых теорема существования и единственности гарантирует однозначную разрешимость задачи 3+1 (а1+ а)у'о+ 2ауи — (а — 1)1~у131 = 1п 3 — 1 у(а) = 1, у'(сь) = А, ун1а) = а.
б) Е1а какой максимальный интервал можно продолжить решение этой задачи в случае а = — 1, а = — 2, А = — 3? 15. Задачу зу' = ел- — ~, у( — 2) = 4 свести к интегральех хн' ному уравнению, построить последовательные приближения и найти их предел. 16. При каких начальных условиях существование единственного решения уравнения ун'я1пз+ж1пу+$3а = 1 гарантируется теоремой? З21. Сущеетвввание и единетвеннветь решения 131 3. Применение теоремы единственности 1Т. Для уравнения уи = ~и1 — 1 известны два решения: хз у1 = 1+ вйп з, уз = ( й + 1), проходящие через точку (О, 1).
Как зто согласуетсн с теоремой единственности? В задачах 18 — 22 требуется выяснить, при каких и наличие указанных решений у написанных уравнений не противоречит теореме единственности. 18. ун' = 1(1, у, у', уи). Г Е С, решения у1 = 1+ 1~- о1з. уз=1/(1 в)( 1(1С1/2) ° 19. уой =,1 (к, у, у', ..., у~" 0), У Е С, решения у1 = = 2созз, уз = 2 — зз. 20. урй + а1(з)у<" 0+ ... + а„(з)у = О, все а;(х) непрерывны, решение у1 = з(е — 1). Рис. 10 Рис. 9 21. Уравнение то же, что в задаче 20, грвфик решения у~ указан на рис. 9 22.
Уравнение то же, что в задаче 20, график решения у1 указан на рис. 10. 23. Сколько решений имеет задача (а — 4а)ут + (аз + 2а)ун + у' — 2у = з + и, у(1) = О, у'(1) = 1 в зависимости от значений параметра а? 24. Тот же вопрос для задачи (1 — о )(оун' — ун) = ау'+ уз, у(0) = 2, у'(0) = 4.
132 121. Существование и единственность решения 25. Сколько решений имеет задача урй = х + дг, д( — 1) = а, д'( — 1) = 0 в зависимости от а и и? 26. Тот же вопрос длн задачи убй =2у' — агх, у(1) =1, у'(1) =а. 27. Тот же вопрос для задачи уйй = х + 2у' + уг, у( — 1) = 1п(4+ а), у'( — 1) = 1.
4. Продолжение решений 28. Существует лн при — оо < х < ж решение задачи у' = е "яп(е"), у(0) = О? 29. Для задачи (2 — хг)у' — хуг = О, д(хо) = уо, где хо —— '2-~3 ',у = — 2, а) определить максимальный интервал существования решенин; б) нарисовать график решения. 30. а) Найти все решения уравнения ь г/( г г) б) Найти непродолжаемое решение етого уравнении с начальным условием у( — ь/3) = 1/(1пь/яг — 3 — 1) и нарисовать его график. 31.
Доказать, что решение задачи у' = х — уг, у(1) = 0 может быть продолжено на полуинтервал 1 < х < оо. 32. Имеет ли система с1х/Ф = япд, с1у/Й1 = хз решение, которое нельзя продолжить на интервал -оо < 1 < оо? 33". Доказать, что решение задачи д' = х + у, у(0)=0 не продолжается на полуинтервал 0< х< оо. 34*. На каком интервале можно гарантировать существование решения задачи /1 ( /о1 а*, = /(й х) (1 Е Н, х Е Й", / Е Са), х(0) = ~ ), если о ~/(1, х)! < ~х)г? Дать неулучшаемую оценку интервала, общую длн всех таких /(1, х), и подтвердить неулучшаемость примером.
З 22. Общая теория линейных уравнений и систем 133 322. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ 1. Теоретические вопросы 35. Сформулировать теорему существования и единственности решении линейного уравнения порядка п на заданном интервале. 36. Сформулировать и доказать теорему об общем решении линейной однородной системы. 37.
Дать определение фундаментальной системы решений длн линейной системы уравнений и доказать ее существование. 38. а) Что называется общим решением линейного неоднородного уравнения? б) Сформулировать теорему об этом решении. 39. а) Сформулировать основные свойства детерминанта Вронского. б) Пусть гг'(с) детерминант Вронского для скалярных функций уг(й), ..., у (г) класса Св. Если И'(с) г— в 0 при а < 1 < Ь, то можно ли сделать вывод о линейной зависимости данных функций на отрезке [а. Ь)? Обосновать ответ. 40.
а) Дать определение фундаментальной матрицы. б) Написать фундаментальную матрицу для системы х = у, у = О. 41. Как из одной фундаментальной матрицы можно получить другие? 42. Сформулировать и доказать теорему об оценке решений системы х = А(с)х (х б??"). 43. Сформулировать и доказать теорему существования периодического решения линейного уравнения первого порядка с периодическими коэффициентами. 13адачи 42 и 43 только для студентов, которым читались эти теоремы.) 134 222. Общая теория линейных уравнений и сеятеле 2.
Линейные однородные уравнения У р,=О, з'2 1~ з ззз = "1 о р, = о; о 'рз о зоз = — 2. уз=2, зоз р.=О, а) Указать интервал, на который можно продолжить эти решения по известной теореме. б) Составляют ли они фундаментальную систему? в) Найти явное выражение для их детерминанта Вронского на этом интервале. 44. а) Написать общий вид линейного однородного уравнения порядка в с переменными коэффициентами. При каких требованиях на коэффициенты это уравнение имеет единственное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям? б) Пусть эти требования выполнены и известно, что уравнение имеет частное решение д1 = хь.
Каким может быть порядок уравнения? 45. а) Сформулировать теорему существования и единственности решения уравнения дн'+аз(х)да-Ьаз(х)д'+аз(х)д = = 0 с начальными условиями. б) Для какого наибольшего натурального числа т наличие у этого уравнения решения д = (ее — 1)т не противоречит сформулированной теореме? 46.
Найти два линейно независимых решения уравнения хздо — 2ху'+ 2д = 0 и их детерминант Вронского. Принимает лн он нулевое значение? Как это согласуется с известными свойствами детерминанта Вронского? 47. ПУсть дз(х), дз(г) Решениа УРавнениа (х+ 2)да— — Зд' + д;/1 — х = 0 с начальными условиями дз(0) = 1, д((0) = О, дз(0) = 3, дз(0) = 2. а) Указать интервал, на который их можно продолжить. б) Составляют ли они фундаментальную систему? в) Чему равен детерминант Вронского этих решений при х = — 1? 48.
Пусть ~рз(е), дз(з), рз(1) — — решения уравнения — (1+ 1)дн' — 2дн + 21здзйз = 0 с начальными условиями при 2=1: 222. Общая теория линейных Уравнений и систем 135 г) Решение у(1) с начальными условиями у(1) = о, д'(1) = 6, уи(1) = с выразить через соз(1), уз(1), изз(1). 49. Существует ли такое значение параметра а, при котором детерминант любой фундаментальной матрицы системы и 1 2 — =Ах, хЕВз, А= 3 2 0 — 1 0 3 остается постоянным при изменении 1? 50. Сколько линейно независимых решений, определенных при — оо < й < со, имеет уравнение сзх = 90х? Обосновать ответ. 51*. Тот же вопрос длн системы йх = 2х, йд = Зу. 52.
Построить линейное однородное уравнение возможно низшего порядка, имеющее на интервале (О, 1) такие четыре решения: рз = 1 — х, Уз = (х — 2) уз = х + х — 1, ра = х — 2:с + 2. 53. Известны два решения линейного однородного урав- нениЯ 2-го поРЯдка: дз = х., Уз = хз — 1. Найти Решение с начальными условиями д(2) = 4, д'(2) = — 3. 54. Известны два частных решения дд = хз — 2х + 3, уз = хе*+2 линейного однородного уравнения 3-го порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
