Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (947325), страница 15
Текст из файла (страница 15)
/О а1 /О 01 916. ОСОБЫЕ ТОЧКИ 1. Особой точкой системы — =Р(х у): — =Ю(х, и) с1х с!у Йг ' ' Йс нли уравнения Йу Я(х у) (2) Йх Р(х, у)' где функции Р и Я непрерывно днфференцируемы, называетсн такая точка, а которой Р(х, у) = О, Я(х, у) = О. 2. Для исследования особой точки системы Й. — = ох+ Ьу, Йг Йу — = ох+ Йу Й1 (5) а) а=ОД в) а = 0.5. д) а = 1, Ь= О; Ь=О; б) а=0,5, Ь=1; г) а=0.75. Ь=О: е) а = 1, Ь = 1,5. з 16. Особые точки или уравнении ад +дп (4) йх ах+ >ш надо найти корни характеристического уравнения (=О. (5) Если корни вещественные, различные и одного знака, то особая точка — увел (рис. 6„а), если резных знаков — седло (рис.
О,б), если корни комплексные с вещественной частью, отличной от нуля, то особая точка — фокус (рис. О,е), если чисто мнимые,— центр (рис. О,г); если корни равные и ненулевые (т. е. Л1 Лз ВВ 0), то особан точка может быть вырожденным узлом (рис. О,д) или дикритическим узлом (рис. О,е), причем дикритический узел имеет место только в случае системы — „, = ох; зл = 1, з = ор (или уравнения;-,л = л), а во всех остальных случанх при Л| = Лз ф О особая точка явлнется вырожденным узлом. Если же один или оба корня уравнения (5) равны нулю. то а б! ~ = 0 и, следовательно, дробь в правой части уравнения (4) с И~ сокращаетсн.
уравнение принимает вид -'л = Й, и решения на плос- 1 кости х, р изображаются параллельными прямыми. в) б) е) д) Рис. 6 Чтобы начертить траектории (кривые. изображающие решения на плоскости т, у) в случае узла, седла и вырожденного уз- 316. Особые точки ла, надо прежде всего найти те решения, которые изображаются прямыми. проходнщими через особую точку.
Эти прямые всегда /о 61 направлены вдоль собственных векторов матрицы ~ ), составленной из коэффициентов данной системы (3). В случае узла кривые касаются той примой, которая направлена вдоль собственного вектора, соответствующего м е н ь ш е м у по абсолютной величине значению Л. В случае особой точки типо фокус надо определить направление закручивания траекторий.
Для этого надо, во-первых, исследовать устойчивость этой точки по знаку НеЛ и, во-вторых, определить, в каком направлении вокруг особой точки происходит движение по траекториям. Для этого достаточно построить в какой-нибудь точке (з, у) вектор скорости ( л',, ф), определяемый по формулам (3).
Аналогично исследуетсн направление движения в случае вырожденного узла. П р и м е р 1. Исследовать особую точку з = О, д = О системы (6) Составляем и решаем характеристическое уравнение = О, (2 — Л)(1 — Л) = О, Лд = 1, ! ° 2 — Л О Лг =2. Корни вещественные, различные и одного знака. Следовательно, особан точка — узел (того же типа, что на рис. 6,а). Длн Лг = 1 находим собственный вектор (О, 1), а для Лз = 2— вектор (1, 1). На плоскости з, у строим прямые, направленные вдоль этих векторов, а затем кривые„ касающиеся в начале координат первой из этих прямых, так как (Лг! ( )Лз(, см.
рис, 7. Другой способ построения интегральных кривых. Разделив одно из уравнений (6) на другое, получим уравнение вида (4) Рнс. 7 ду зьр ( бз 2з или — = бз 2з 1, бр к+у) 100 316. Особые точки Прямые, проходящие через особую точку, ищем в виде у = йх (а также х = 0). Подставляя в написанные уравнения. находим й = 1. Значит, у = х и х = 0 — искомые прнмые. Остальные интегральные кривые строятся с помощью изоклин (рис. 7). Пример 2. Исследовать особую точку уравнения бу 4х — Зу бх х — 2у (7) Находим корни характеристического уравнении 4 — 3 — Л Л(=0; Л +2Л+5=0; Л= — 1х2с1 Особая точка — фокус.
Переходим от уравнения (7) к системе с1х с(у — = х — 2у, — = 4х — Зу. Ж '' Ю (8) а) б) Рнс. 8 3. Для исследования особой точки более общей системы (1) илн уравнения (2) надо перенести начало координат в исследуемую особую точку и разложить функции Р н Я в окрестности этой точки по формуле Тейлора, ограничиваясь членами первого порядка. Тогда система (1) примет вид с(ел — = слхл + ЬУл -~- 7л(хл, Ул), — = схл + с(Ул + ф(хл, Ул), (9) с)1 ' ' сП Строим в точке (1. 0) вектор скорости ( ас, лхл) .
В силу (8) ан равен (т — 2у, 4х — Зу). В точке х = 1, у = 0 получаем вектор (1. 4) (рис. 8,а). Следовательно, возрастанию 1 соответствует движение по траекториям против часовой стрелки. Так как вещественнан часть корней Л равна -1 ( О, то особан точка асимптотически устойчива, следовательно, при возрастании 1 решении неограниченно приближаются к особой точке. Итак,при движении против часовой стрелки интегральные кривые приближаются к началу координат (рис. 8,б). 161 з16.
Особые точки у'(хы у») И щ) — тб» ' ' — тО при х» — >О, у»-+О, тьь» т»ь» где т = ;/х~~ + у~з. Очевидно, это условие выполняется (при любам с < 1), если функции Р и Я в исследуемой точке дважды дифференцируемы. Предположим еще, что вещественные части всех корней характеристического уравнения (5) отличны от нуля. 'Тогда особан точка хг = О, уз = О системы (9) будет того же типа, что особая точка системы (3), получаемой отбрасыванием функций х и ф. Далее, угловые коэффициенты направлений, па которым траектории входят в особую точку, для систем (3) и (9) одни и те же (одиако прямым у = Йх для системы (3) могут соответствовать кривые для системьз (9)), а в случае фокуса направление закручивания траекторий одно и то же.
В том случае, когда для системы (3) особая точка — центр, для системы (9) она может быть фокусом илн центром. Для наличия центра достаточно (но не необходимо), чтобы траектории системы (9) имели ось симметрии, проходншую через исследуемую точку. Ось симметрии, очевидно, существует, если уравнение вида (2), к которому можно привести систему (9), не меннется ат замены х на — х (или у на — у).
Для наличия фокуса необходимо и достаточно, чтобы нулевое решение системы (9) было асимптотически устойчиво при 1 -т +са или при 1 -т -со. Исследование на устойчивость можно провести с помощью функции Ляпунова. Это сделать нелегко, так как в рассматриваемом случае функцию Ляпунова часто приходится брать в виде суммы членов второй, третьей и четвертой степеней относительно х, у. В задачах 961 †9 исследовать особые точки написанных ниже уравнений и систем.
Дать чертеж расположения интегральных кривых на плоскости (х, у). 2х+У Зх+4У' 962. у' = 2У вЂ” Зх ' 963. '= У ° у 964 У» х+ 49 2х+ Зу' 965. у' = Зх — 4у' 966. у' = х — у у — 2х 2у — Зх' 966. у' = х+у где хм у» — новые координаты (после переноса)„и, Ь, с, »1 — по- стоянные. Предположим. что длн некоторого с ) О 103 г16. Осооые точки т 1 (1 + 2) 991. у 3 .~/аг + 89 'Г* — у) ~- г — 2, 99г. р=еи — е. Для уравнений 993 — 997 дать чертеж расположения интегральных кривых в окрестности начала координат. Указание. В задачах 993 — 997 особые точки не принадлежат к рассмотренным в начале г 16 типам. Для их исследования можно построить несколько нзоклнн.
Затем надо выяснить, с каких сторон интегральные кривые входят в особую точку. 994*. 2 е +р 993*. р' = х+ р 995*. у' = 9 -Ь Х 990*. р' = у — а г' 2 ' 9 = г 9-Ь е 993. Доказать. что если особая точка уравнения (аж + 69) с(г: + (оьт + яр) Ду = 0 явлнетсн центром,то это уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Обратное неверно. 999*.
Доказать, что если уравнение предыдущей задачи не явлнетсн уравнением в полных дифференциалах, но имеет интегрирующий множитель, непрерывный в окрестности начала координат, то особан точка седло (если ая ф Ьги). 1000". Пусть в уравнении аж+ 69+ р(к, у) Р * + Ф + 9(а, р) функции р и д определены и непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки (0,0), а в самой точке 104 317. Фагоеал плоскость (О, 0) р = р', = р'„= и = д' = д„' = О. Доказать„что если урав- нение (1) не меняется от замены у на — у, а корни характерис- тического уравнения с — )~ =0 а Ь вЂ” А чисто мнимы, то особая точка (О.
0) — центр. О 17. ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ 1. О понятиях фазового пространства, фазовой плоскости, автономной системы, траектории см. [1], гл. Н11, 3 1, и. 4, или [3], 3 15, или [4], гл. 3, 3 1. 2. Чтобы построить траектории системы х=А(х,у), у=Уз(х,у) бу Их, у) 1т А(х, у)' (2) Траектории системы (1) будут интегральными кривыми уравнения (2). Их можно построить или решив уравнение (2) (часто оно решается проще, чем система (1)), или с помощью метода изоклин ([( 1), прн этом необходимо исследовать особые точки системы (методами 3 16). Для построения траекторий уравнения х = 1(х, х) на фазовой плоскости надо от этого уравнения перейти к системе х = у, у = = 1(х, у),которан исследуется так же,как система (1).
3. Предельным циклом называется замкнутая траектория, у которой существует окрестность, целиком заполненная траекториями, неограниченно приближающимися к этой замкнутой траектории при 1 -+ +ос или при 1 — г — оо. Предельный цикл называется устойчивым, если траектории приближаются к нему только при 1 — г фсо, неустойчивым — если только при 1 — г — оо, полуустойчивым — если с одной стороны цикле траектории приближаются к нему при 1 — г +со, а с другой стороны при 1 -+ — оо. О предельных циклах см. [3], 3 28, [2], 3 23. на фазовой плоскости х, у, можно или исследовать непосредственно эту систему, или, разделив одно уравнение на другое, свести ее к уравнению первого порндка 105 з 17. Фаэооал плооаоотаь 1001.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
