Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (947325), страница 11
Текст из файла (страница 11)
727. у" + 2хй = О, 728. хуи+9=0, 20 < х < 45. 25<х<100. 729 дн — 2ху'+ (х+ 1)гу = 0 4 < х < 19 730. уи — 2е*у' + ег' 9 = О, 2 < х < 6. 731*. Доказать, что любое решение уравнения ун+ еу = 0 на отрезке — 25 < х < 25 имеет не менее 15 нулей. 732. Пусть хы хг, ... — расположенные в порндке возрастания последовательные нули решения уравнения рн + + д(х)у = О, где д(х) > 0; цри хг < х < оо функция д(х) непрерывна и возрастает. Доказать, что хи+г — х„< хн — х„ (т.
е. расстояние между соседними нулями убывает). 733. В предыдущей задаче обозначим через с конечный или бесконечный предел функции 9(х) при х — э оо. Доказать, что !пп (хи ы — х„) = гг/~/с. при любых а, Ь и хг ф тг имеет единственное решение.
Доказать, что это решение — монотонная функция, если Ь = О. 726. Найти расстонние между двумя соседними нулями любого (не тождественно равного нулю) решения уравнения ун + гпу = О, где гп = сопз$ > О. Сколько нулей может содержатьсн на отрезке а < х < Ь? 70 112. Линейные ураененил с переменн ми коэффициентами В задачах 738 — 748 исследовать асимптотическое поведение при х г +со решений данных уравнений, пользуясь преобразованием Лиувиллн (см. задачу Т37) и утверждениями и. 4 (стр.
77). 738 нц 4 740. да+ хгд = О. 742. хди — д = О. 744. хдн + 2д' + д = О. 739. дн — тгд = О. Т41. ди + егхд = О. Т43. ди — хд = О. 745. дн — 2(х — 1)д' + хгд = О. 746'. дн + (х« + 1)д = О. 747*. (хг+ 1)дн — д = О. 748*. хгди+ д1п х = О. В задачах 749 — 750 получить более точное асимптотическое представление решений данных уравнений, применяя два раза преобразование Лиувилля. 734'. Пусть д и г решения уравнений ди + д(х)д = = 0 и за+Я(х)г = О с совпадвющими начальными условиями д(хо) = г(хо) д'(хо) = г'(хо) и на интервале (хо, х«) имеем Ю(х) > д(х), д(х) > О, г(х) > О.
Доказать, что иа атом интервале отношение г(х)/д(х) убывает. 735*. Пусть выполнены условия задачи 732 и пусть Ь„= гпак ~д(х)!. Доказать, что Ьг > Ьг > Ьг >... х йх<х„«1 736". Пусть в задаче 733 предел с конечный. Доказать, что Ь„-+ В > О при и -+ оо (в обозначениях задачи 735).
737'. Заменой независимого переменного 1 = уг(х) привести уравнение — л + — л — 4 = О к виду 4«л + Ь(1) — ~ х д = О, затем избавиться от первой производной заменой д = о(1)и. (Это преобразование называется преобразованием Лиувилля. Во многих случаях оно позволяет привести уравнение дн + + д(х)«д = 0 к уравнению аналогичного вида, но с «почти постояннымэ (слабо меняющимися на интервале (Го, оо)) коэффициентом при д.
Это облегчает исследование асимптотического поведения решения при х 4 со.) 313. Краевые задачи 749*. уи — 4хгд = О. 750*. хуа + у = О. 913. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ 1. Для отыскания решении краевой задачи ае(х)у -Ь а>(х)у 4-аг(х)гу = 1(х), то < х < хг, (1) ао(х)у + иг(х)у + аг(х)у = 0." (3) 2) при х = хо и т = хг она удовлетворяет заданным краевым условиям (2); 3) при х = в она непрерывна по х, а ее производная по х имеет скачок, равный 1/ао(з), т.
е. С( +О, з)=С( — О,.), С'! =С' -р . (4) ~ =,ео *= — о ао(в) Чтобы найти функцию Грина краевой задачи (1), (2), надо найти два решения уг(х) и уг(х) (отличных от у(х) = 0) уравнения (3), удовлетворяющие соответственно первому и второму из краевых условий (2). Если у~ (х) не удовлетворяет сразу обоим краевым условиям, то функцин Грина существует и ее можно искать в виде арг(х) (хо ч х ч в)~ С(х. з) = Ьуг(х) (в < х < х)).
(б) Функции а и Ь зависят от в и определяются из требования, чтобы функция (5) удовлетворяла условиям (4), т. е. ~41г(в) = ауг(в), ~ядг(в) = ау,(в) + ае(в) ар'(хо) + ГЧУ(хе) = О, УУ'(хг) -~- др(хг) = 0 (2) надо подставить общее решение уравнении (1) в краевые условия (2) и из этих условий определить (если это возможно) значения произвольных постоянных, входнщих в формулу общего решения. В отличие от задачи с начальными условиями (задачн Коши), краевая задача не всегда имеет решение.
2. Функцией Грина краевой задачи (1), (2) называется функцин С(х, в), определенная при хо < х < хы те < в < хы и при каждом фиксированном в из отрезка [хо, х~[ обладающан свойствами (как функция от х]: 1) при х ф в она удовлетворнет уравнениаг 313. 7Граевыв задачи 3. Если функция Грина С(х, в) существует, то решение краевой задачи (1), (2) выражается формулой ! у(х) = / С(х, в) 7(в)г1в.
в 4. Собственным значением задачи ае(х)уа + а,(х)у'ф аз(х)у = Лу, (6) од'(хе) -~- гЗд(хе) = О, уд'(х!) -~- бу(х!) = О (7) называется такое число Л, при котором уравнение (6) имеет решение у(х) фО, удовлетворяющее краевым условиям (7). Это решение у(х) называется собственной функцией. Найти решения уравнений 751 — 762, удовлетворяющие указанным краевым условиям. 751.
ув — д = 2х; у(0) = О, у(1) = — 1. 752. да + д' = 1; д'(О) = О, у(1) = 1. 753. ув — у' = 0; у(0) = — 1, у'(1) — у(1) = 2. 754. Уа + У = 1: д(0) = О. У ( з ) = О. 755. уа + д = 1; у(0) = О, у(гг) = О. 756. ув+ у = 2х — гг; у(0) = О, у(гг) = О. 757.
ув — д' — 2у = 0; у'(0) = 2, у(+ос) = О. 758. ув — д = 1; у(0) = О, у(х) ограничено при х -+ +ос. 759. ув — 2зу = 0; у(0) = — 1, у(+ос) = О. 760. хзуа — Оу = 0; у(0) ограничено, у(1) = 2. 761. хзуи — 2ху'+ 2у = 0; у(х) = о(х) при х — э О, д(1) = 3. 762. езда + 5ху' -~- Зу = 0: у'(1) = 3. у(х) = 0(х т) при х. — > +ос. 763*. При каких а краевея задача да + ау = 1, у(О) = О, д(Ц = 0 не имеет решений7 З 13. Лраевме задачи 73 Для каждой из краевых задач Т64 — 779 построить функцию Грина.
Т64. Уи = Х(х); у(0) = О, у(1) = О, 763. У +У =Х(х)! Р'(0) =О, Ч(зг) =О, 766. 'Ра + у' = Х(х) у(О) = О, д'(1) = О. 767. У У = Х(х); у'(0) = 0~ у'(2) +у(2) = О. 768 - 'Ч + 'Ч = Х(х)~ у(0) = у(зг), у'(О) = у'(зг), Т69. х Чи+ 2ху' = Х(х); у(1) = О, у'(3) = О.
770. ху — у' = Х(х); У'(1) = 0 у(2) = 0 Т71. х Чи — 2У = Х(х); у(1) = О, 'Ч(2) +2у'(2) = О, Т72. У = Х(х)~ у(0) = О, у(х) ограничено при х — Ф +со. 773. У' + У' = Х(х)~ Р'(0) = О. Р(-~-со) = О. ху'+'у' = Х(х)' У(1) = О, у(х) ограничено при х — + +ос, 773. Уи+ 4Р'+ 3У = Х(х); у(0) = О у(х) = 0(е-з*) при и — > +сю, у + ту У = Х(х); У(1) = О. У(х) ограничено при х — + +со.
ТТТ. хзуи + 2ху' — 2У = Х(х); у(0) ограничено, у(Ц =о. ТТ8. Уа — у = Х(х), у(х) ограничено при х — г хос. ТТ9. хзуи — 2У = Х(х), у(х) ограничено при х — > 0 и при х -> +со. Т80. При каких а, существует функция Грина краевой задачи уи + ау = Х(х), у(0) = О, у(1) = О? 781*. Оценить сверху и снизу решение задачи хзуа + + 2ху' — 2У = Х(х), у(х) ограничено при х — > 0 и х -+ +со, и его первую производную, если известно, что О < Х(х) < т. Указание.
Записать решение с помощью функции Грина. 74 214. Линейные системы с лостолнными нозффиииентами В задачах 782 — 785 найти собственные значения и собственные функции. 8 14. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 1. Путем исключения неизвестных систему, вообще говоря, можно свести к уравнению более высокого порядка с одной неизвестной функцией (см.
(1], гл. УИ, З 1, и. 2 или (4], гл. 3, З 2), Этот способ удобен для решения лишь несложных систем. Пример. Решить систему х = у+ 1, у = 2е' — х. Исключаем у. Из первого уравнения имеем у = х — 1. Подставляя во второе уравнение, получаем х = 2е' — х. Решив это уравнение второго порядка (методами 2 11), найдем х = Сг сов 1+ Сг ешс г- е'. Значит. у = х — 1 = — Сг еш1+ Сг сюзз+ ее — 1. 2. Для решения системы (где х означает ф) с хг = аггхг+ ... + агохо.
х„= а гхг + ... + а„„х, или, в векторной записи, х = Ах, где х — вектор, А — матрица: надо найти корни характеристического уравнения аы — Л агг ... а~ агг агг — Л ... аго (2) а,п а„г ... аоо — Л 782. ун = Лу; 783. ун = Лу; 784. рн = Лу; 78б. хгун = Лу; у(о) = о, у'(о) = о, у(о) = о, у(1) = о, у(() = о. у'(1) = о. у'(1) = о. у(а) = О (а ) 1). 314. Линейные системы с постоянными коэффициент ми 75 < зт = (а + 1Ф -~- 4- ЛГ~ )ем *„=(р+41+...
+ось=)е"'. (3) Чтобы найти коэффициенты о, Ь, ..., е, надо подставить решение (3) в систему (1). Приравняв коэффициенты подобных членов в левой и правой частях уравнений, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно а, Ь, ..., з. Надо найти общее решение этой системы. Коэффициенты а, Ь, ..., о должны зависеть от й произвольных постоянных, где й —. кратность корни Л. Найдя для каждого Л решения указанного вида и сложив их. получим общее решение системы (1). П р и м е р. Решить систему 2=2з+у+з, р= — 2з — с, 2=2з+р+2з.
(4) Составляем и решаем характеристическое уравнение 2 — Л 1 — 2 — Л 2 1 1 — 1 =О, 2 — Л (5) Л вЂ” 4Л -ьЬЛ вЂ” 2=0, Лг=2, Лз=Лз=1. Для простого корня Лг=2 находим собственный вектор (сь Д, 7). решан систему Е Д+Ч= о, — 2сь — 2Д вЂ” у = О, 2н+ К= О ~В случае Ь < 3 числа Ь вЂ” т нельзя уменьшить, а в случае Ь > 4 иногда можно, если известна жарданова форма матрицы А. Каждому простому корню Л, характеристического уравнения соответствует решение С,о'е~*', где С; — произвольная постояннан, о' — собственный вектор матрицы А, соответствующий этому Л,. Если длн кратного корни Л имеется столько линейно независимых собственных векторов о, ..., о, какова его кратность, то ,ь ему соответствует решение Сгогем + ...
-ь Сьо~е~~. Если для корин Л кратности Ь имеетсн только т линейно независимых собственных векторов, и т < Ь, то решение, соответствующее этому Л, можно искать в виде произведения многочлена степени Й вЂ” т на е , т. е. в виде 76 214. Линейные систелы с лостоянныли коэффициент ли (коэффициенты этой системы равны элементам детерминанта (б) при Л = 2). Из (8) находим 2ы = — ф = 7. Значит. вектор (1, — 2, 2) — собственный, н х = ег'. у = — 2ег'. г = 2ег' (7) частное решение системы (4). Для кратного корня Л = 1 сначала определим число линейно независимых собственных векторов. Прн Л = 1 из (5) получаем матрицу — 2 — 1 — 1 Ее порндок я = 3, ранг г = 2. Число линейно независимых собственных векторов равно т = я — г = 1. Корень Л = 1 имеет кратность Ь = 2.
Так как Ь > тэ то решение надо искать в виде произведении многочлена степени Й вЂ” т. = 1 на е . т. е. в виде ги х = (а ч- ЬВ)е, р = (с + 41)е', г = (7" 4- 84)е'. (8) Чтобы найти коэффициенты а, Ь, ..., подставляем (8) в систему (4) и приравниваем коэффициенты при подобных членах. Получаем систему В+4+8=0, †28 †4 в, В=о+с+У, д= — 2а — с — ~, (О) 2В-~-д-~-8= О, 8= 2а+с+ 1. Найдем общее решение этой системы. Из двух левых ураннений имеем Ь = О, 8 = — с1. Подставлян это в остальные уравнения, получаем 0 = а + с -~- 7', с1 = — 2а — с — 1 (10) (остальные уравнения будут следствинми написанных). Решаем систему (10), например, относительно и и 1: х = — Сге'+ Сзе ', р = (Сг+ Сга)е' — 2Сге™, г = (Сг — Сг — Сгз) е'+ 2Сзе '.
Таким образом, все неизвестные выражены через с н с1. Положив с = Сы с( = Сг, имеем о = — Сг, Ь = О, ~ = Сг — Сы 8' = — Сг. Общее решение системы (9) найдено. Подставив найденные значения а, Ь, ... в (8) и прибавив частное решение (7), умноженное на Сз, получим общее решение системы (4): 214. линейные системы с иостолнн ми коэффициентами 77 3. Другой способ решения системы (1). Для любой матрицы существует базис, в котором матрица имеет жорданову форму.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
