Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (947325), страница 9
Текст из файла (страница 9)
580. уи+ у = 2яесзи 581*. шз(уи — у) = тг — 2. Найти решения уравнений 582 — 588, удовлетворяющие указанным начальным условиям. 582. уи — 2у' + у = 0; д(2) = 1. у'(2) = — 2. 583. уи + у = 4е '; у(0) = 4, у'(0) = — 3. 584. ро — 2у' = 2е*; д(1) = — 1, у'(1) = О. 585. уи + 2д' + 2д = же ", у(0) = у'(О) = 0- 586. ди' — у' = 0; р(0) = 3, д'(0) = — 1, уи(0) = 1. З 11. Линейине уравнен л о настоянными ноэфу1ичивнтпани 59 608. ун+ 2у'+ Ву = е '(сов~ль+18х). 609.
хзун — 2у = х -Ь 1 610. х у — ху + у = + х !пх 611* ° у + д = 11х). 612*. Какие условии достаточно наложить на функцию 11х), чтобы все решения уравнения задачи 611 оставались ограниченными при х — > +со? В задачах 613 — 618 построить линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (возможно более низкого порядка), имеющие данные частные решения. 613. у~ = хзе*. 615. у~ = хвшх.
61?. у~ = хе', уз = е '. 614. дг =ел*солт.. 616. уг = хе' сов2х. 618. уг = х, уз = вш х. 619. При каких а и Ь все решения уравнения до + ау' + + Ьу = О ограничены на всей числовой оси — оо < х, < +ос? 620. При каких а и Ь все решения уравнения до + ау' + + Ьу = 0 стремятсн к нулю при х — э +ос? 621. При каких а и Ь уравнение ун -Ь ау' -Ь Ьу = О имеет хотя бы одно решение д1х)ф О. стремящееся к нулю при х — Ф +ос? 622. При каких а и Ь каждое решение уравнения до + + ад'+ Ьу = О, кроме решения д(х) г— в О, монотонно возрастает по абсолютной величине, начинан с некоторого х? 623. При каких а и Ь каждое решение уравнения уо + + ау' + Ьу = О обрашается в нуль на бесконечном множестве точек х? 624*. При каких а и Ь все решения уравнения уо + + ау'+ Ьу = О удовлетворяют соотношению у = о(е ) при х -++ос? 625*. Длн заданного Ь > О подобрать такое а, при котором решение уравнении до+ ау'+ Ьу = О с начальными условинми 60 Ь11.
Линейные уравнения с настоянными ноэ4фиииентами у(0) = 1, у'(О) = О возможно быстрее стремится к нулю при х — > +со. 626. При каких Ь и оэ уравнение Оо + Ьзу = вшаэг имеет хотя бы одно периодическое решение? 62Т. Найти периодическое решение уравнении т, + их + + Ьш = еш оэй и нарисоваты рафик зависимости его амплитуды от величины иь 628. Найти периодическое решение уравнения х + х+ + 4з = еыы и на комплексной плоскости начертить кривую, которую пробегает амплитудный множитель этого решении при изменении ы от 0 до +се.
629". Дано уравнение ун + ад' + Ьу = Дз), причем Щк)~ < т (-сс < з < ос), а корни характеристического уравнении Лз < Лг < О. Найти решение, ограниченное при — сс < к < сс. Показать, что а) все остальные решения неограниченно приближаются к этому решению при к — э +ос, б) если Д1к) периодическая, то это решение тоже периодическое.
Указание. Применить метод вариации постоянных. Нижние пределы полученных интегралов взять бесконечными такого знака. чтобы интегралы сходились. В задачах 630 — 632 принять, что при отклонении груза от положения равновесия на расстояние ж пружина действует на него с силой йж, направленной к положению равновесии.
630. Найти период свободных колебаний массы еи, подвешенной к пружине, если движение происходит без сопротив- ленин. 631. Один конец пружины закреплен неподвижно, а к другому прикреплен груз массы ш. При движении груза со скоростью о сила сопротивлении равна Ье.
При 1 = О грузу, находившемуся в положении равновесия, сообщена скорость ее. Исследовать движение груза в случаях Ьз < 4Ьгп и йз ) 4Ъи. 632. Решить предыдущую задачу при дополнительном условии, что к грузу приложена еще периодическая внешняя сила 1 = Ьа1пы1. Показать, что при любых начальных условиях движение груза будет приближаться к периодическому и найти это периодическое движение (вынужденные колебания). 111. Линейные уравнения с постоянными ноэф4иииентами 61 633.
На конце упругого стержня укреплена масса пь Другой конец стержня вибрирует так, что его смещение в момент 1 равно В гйп сей Упруган сила, возникающая в стержне, пропорциональна разности смещений его концов. Найти амплитуду А вынужденных колебаний массы пь Может ли быть А > В? (Массой стержня и трением пренебречь.) 634. Частица массы еп движется по оси Ош, отталкивансь от точки т = 0 с силой Згпго и притнгиваясь к точке х = 1 с силой 4тгы где го и га — расстояния до этих точек. Определить движение частицы с начальными условинми х(0) = 2, х(0) = О. 635.
Электрическая цепь состоит из последовательно включенных источника постоннного тока, дающего напряжение $', сопротивления В, самоиндукции Е н выключателя, который включается при 1 = О. Найти зависимость силы тока от времени (при 1 > 0). 636. Решить предыдущую задачу, заменив самоиндукцию Ь конденсатором емкости С.
Конденсатор до замыкания цепи не заряжен. 637. Последовательно включены сопротивление Л и конденсатор емкости С, зарнд которого при 1 = О равен у. Цепь замыкается при 1 = О. Найти силу тока в цепи при 1 > О. 638. Последовательно включены самоиндукция Е, сопротивление В и конденсатор емкости С, заряд которого при 1 = 0 равен д. Цепь замыкается при 1 = О. Найти силу тока в цепи и частоту колебаний в том случае, когда разряд носит колебательный характер.
639. Последовательно включены источник тока, напряжение которого меннется по закону Е=$'з1поэй, сопротивление В и самоиндукция Е. Найти силу тока в цепи (установившийся режим). 640. Последовательно вклк>чены источник тока, напряжение которого меняется по закону Е = Р'з1пый, сопротивление Л, самоиндукция Е и емкость С. Найти силу тока в цепи (установившийся режим).
При какой частоте ы сила тока наибольшая'? 62 312. Линейные уравнения с переменными коэ4фиииентами 3 12. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 1. Большинство задач этого параграфа решается с помощью методов общей теории линейных дифференциальных уравнений (см. [1), гл. г', 3 2, 3 3 или [4], гл. 2, 3' 3, 3 5) и методов качественного исследовании линейных уравнений второго порядка (см. [1), гл. 1Г1, 3 2, и. 1, и. 3).
К остальным задачам даны указании или ссылки на литературу. 2. Если известно частное решение уг линейного однородного уравнения п-го порядка, то порядок уравнения можно понизить, сохраняя линейность уравнения. Для этого в уравнение надо подставить у = угз и затем понизить порядок заменой г' = и. Чтобы найти общее решение линейного однородного уравнения второго порядка ао(х)угг + аг(х)у' + аг(х)у = О, у которого известно одно частное решение ум можно понизить порндок уравнения указанным выше способом. Однако удобнее воспользоваться формулой Остроградского — Пиувилля: уг уг [ — 1ебйе' аг(х) (=Се, р(х)= уг уг ао(х)' где уг и уг — любые два решения данного уравнения. П ример.
Пусть известно частное решение уг = х уравнения (х ч- 1)у — 2ху + 2у = О. По формуле Остроградского Лиувилля получим у уг -у( 'Т) = Се " м; Угре — УгУг = С(т + 1). у[ уг Так как функция уд известна, то мы получили линейное уравнение первого порядка относительно уг. Проще всего оно решается следующим способом. Разделив обе части уравнения на уг~, получим слева производную от дроби уг/уг гуг')' у,у',— у,'у, С('Р1) И'=''=.' уг / уг уг Твк квк уг = х, то уг Р х +1 / 11 +СгСх+ уг х уг = С(х — 1) -~- Сгх.
2 12. Линейные уравнения с переменными коэффиииентами 63 Это — общее решение уравнения (1). 3. Общего метода для отыскания частного решении линейного уравнения второго порядка не существует. В некоторых случаях решение удается найти путем подбора. Пример. Найти частное решение уравнения (2) (1 — 2х )у + 2у + 4у = О, являющееся алгебраическим многочленом (если такое решение существует). Сначала найдем степень многочлена. Подставляя у = х" + ... в уравнение (2)и выписывая только члены с самой старшей степенью буквы х, получим: — 2тэ. п(п — 1)х ~ -~- ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
