Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (947325), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Каждой клетке порндка р > 1 жордановой формы соответствует серия Ьы Ьг, ..., Ь„векторов базиса, удовлетворяющих уравнениям АЬг = ЛЬыЬг ф О, АЬг = ЛЬг .!- Ьг, (11) АЬ =ЛЬ +Ь, АЬэ — — ЛЬр -!- Ьр-г. э =е 'Ьы лг *' = " ( —,', Ь, + Ь,), з лг х = е ~ — Ьг + — Ьг + Ьз '1 2! 1! (12) У В-' р — г ээ = е ( Ьг -Ь Ьг + ... -)- — Ь„ г -Ь Ьэ) . 'л (р — 1)! (р — 2)! Н Общее число всех таких решений равно сумме порядков всех клеток жордановой формы, т.
е. порядку матрицы. Они составляют фундаментальную систему решений системы ф = Аэ. Правило для запоминании формул (12). Собственному вектору Ьы соответствует решение э~ = ел'Ьг. Если везде отбросить ел', то каждая строка правой части (12) получится интегрированием по 1 предыдущей строки, причем постоннную интегрирования надо взять равной следующему по порядку вектору серии. 4. В случае, когда имеются комплексные корни Л, изложенные способы дают выражение решенин через комплексные функции.
Если при этом коэффициенты системы (1) вещественны, то можно выразить решение только через вещественные функции. Для этого надо воспользоваться тем, что вещественная и мнимая части комплексного решения, соответствующего корню Л = гг + Дг (Д ф 0), явлнются линейно независимыми решениями. Вектор Ьг называется собственным, а Ьг, Ьз, ..., Ь„ — присоединенными.
Каждой серии Ьм Ьг, ..., Ьр соответствует р линейно независимых решений э, э, ..., тэ системы Ь = Аэ (верхний 1, 2 индекс указывает номер решении): 78 314. Линейные системы с постоянными коэффициентами Пример. Решить систему х = 4х — у, у = 5х 4-2у.
Составлнем и решаем характеристическое уравнение 4 — Л вЂ” 1 5 2 — Л = О, Л вЂ” 6Л+ 13 = О, Л = 3 х 2г. Для корин Л = 3+ 2г находим собственный вектор (а, Ь)г с (1 — 2г)а — Ь = О, Ьа — (1+ 2г)6 = О. Можно взять а = 1, Ь = 1 — 2г. Имеем частное решение х = ефт~*о, „= (1 2;)е1з+"1г ' Так как даннан система с вещественными коэффициентами, то решение, соответствующее корню Л = 3 — 2г, можно не искать, оно будет комплексно сопряженным с найденным решением. Чтобы получить два вещественных решения, надо взять вещественную и мнимую части найденного комплексного решении.
Так как е1з+гйг = езг(сов 21-Ь гвш21), то Е хг = Вее1гтгй' = ел'сов 21, уг = Ке(1 — 21)е~ ~ * = е "(сов 21 -Ь 2 вш21), < хг = 1пге + *. = е в1п21, <зегиг зс уг = 1ш(1 — 2г)еф~мд = ем(йн21 — 2 сов 21). Общее решение выражается через два найденных линейно незави- симых решения: х = Сгхг + Сгхг = Сг е сов 21+ Сг е вш 21, зг зс .
у = Сгуг + Сгуг = Сг еы(сов 21+ 2вш21) + Стем(в1п21 — 2 сов 21), 5. Чтобы решить систему агох1 1+ аггх1 1+... + аг т -~- 4-Ьгоу "~+ Ьггу " ' + .. 4-Ьшу = О, а х~ ~+а хщ ~+ ... +и ох+ 4.6гоущ) 4-Ьггущ О-ь ... +Ьгоу = О, не приведенную к нормальному виду, надо составить характерис- тическое уравнение агоЛ +аыЛ г+ ... 4-аг,„бгоЛ" +ЬггЛ" ~ 4- ° 4-Ьг ~ агоЛ" -с амЛо -~- ... -'г аго ЬгоЛ 4- ЬггЛ~ + ...
-с дгг ! 314. Пинейные системы с иостолнн ми ноэу7у4ициентами 79 и найти его корни. После этого решение отыскивается тем же способом, как в я. 2. Аналогично решаются системы трех и более уравнений. 6. Частное решение линейной неоднородной системы с постоянными коэффициентами х,=аах~+ ... +а;„х +1;(1), 1=1, ....и, (13) х; = 9' +,(1) ез, 1 = 1, ..., и, (14) где О* з,(1) многочлены степени ш -Р л с неизвестными коэффициентами, ш = шахим, о = О, если 7 — не корень характеристического уравнении (2), а если 7 корень, то л можно взять равным кратности этого корня (или, точнее, о на 1 больше наибольшей из степеней многочленов, на которые умножается еы в общем решении однородной системы).
Неизвестные коэффициенты много- членов определяются путем подстановки выражений (14) в данную систему (13) и сравнения коэффициентов подобных членов. Аналогично определяются степени многочленов и в случае, когда 1,(1) содержат е"' сов(11 и е"' эш 111, а число 7 = а + )31 являетсн корнем характеристического уравнения. П р и м е р. Решить систему < х = 4т — у -Р е (Ь+ эшт), у = х -Р 2у -Р те соэ й (15) Сначала для однородной системы х = 4х — у.
у = х+ 2у находим корни Л1 = Лз = 3 и как в и. 2 отыскиваем общее решение хо = (С11+ Сз) ез', уо = (С11+ Ст — С1) ез'. В системе (15) длн функций гез', ез' ашт, тез'сова числе а + Дй соответственно равны 3, 3-р П 3+ 1. Поэтому надо отдельно найти частные решения систем х=4х — уЧ-1е .
у=х+2у, (16) х = 4х — у+с вшт, у = х-Р 2у-Рте соей (17) можно искать методом неопределенных коэффициентов в том случае, когда функции 1;(1) состоят из сумм и произведений функций Ьо+ Ьгт+ ... + Ь 1"", е ~, соаЦ1, вшей Это делается по тем же правилам, что для одного линейного уравнения с постоянными коэффициентами, см. и. 2 3 11, со следующим изменением. Если 1;(1) = Роч (1)ет, где Р„„,(1) — многочлен степени т;, то частное решение системы (13) ищется не в виде 1'Я (1) е", а в виде 80 314. Линейные системы с настоянными коэффициентами Длн системы (16) о+)81 = 3 = Л1 = Лз, ь = 2, гн = 1.
Согласно (14), частное решение можно искать в виде х1 = (аз~+61~+ И+Н)ез', у1 = ((1~+84~+ Ы+ф) ез'. Длн системы (17) о+ Дв = 3+ 1 тЬ Льз, в = О, т = 1. Частное решение имеет вид хз = (В+1)е вш1н-(глс+п)о соий уз = (рс+ д) е з1п1+ (гс+ в) е соей Отыскав значения коэффициентов о, 6..... общее решение систе- мы (15) напишем в виде х = хо + х1 + тз~ у = уо + у1 + уз. 7. Решение неоднородной системы х; = оп(1)х1+ ... +им(т)х„+ 1,(1), 1 = 1.....
и можно найти методом вариации постоянных, если известно общее решение однородяой системы с теми же коэффициентами ош(1). Для этого в формуле общего решения однородной системы надо заменить произвольные постоянные С, на неизвестные функции С; (1). Полученные выражения для х; надо подставить в данную неоднороднузо систему, и из этой системы найти С;,(1). 8. Показательной функцией е матрицы А называется сумма рида А Аз Аз с = Е+ — -~- — -~- —, + ..., 1! 2! 3! (18) где Š— единнчнан матрица.
Рнд сходится для любой матрицы А. Свойства е~: а) если А = СМС ', то сл = Сом С б) если АЕ = ЕА. то ел+в =ел ев =ев е": в) матрица Х(1) = егл удовлетворяет уравнению а, = АХ; Х(0) = Е. Методы отыскании е 1) Путем решении системы дифференциальных уравнений. В силу свойства в) 1-й столбец матрицы е' есть решение системы уравнений (в векторной записи) х = Ах с начальными условиями х;(0) = 1, хн(0) = 0 при 6-А1 (х; и'-я координата вектора х). 214. Линейные систел9м с лостоляямжи коэффициент л9и 81 2) Путем приведении матрицы к жордановой форме.
Пусть известна такая матрица С, что матрица С АС = М имеет жорда— 1 нову форму, т. е. состоит из клеток К,. Каждая жорданова клетка имеет вид Л" = ЛЕ+ Е, у матрицы Г все элементы нули, кроме 1-го косого ряда над диагональю. Поэтому Е'" = О, где т — порядок матрицы Г,и е легко найти с помощью ряда (18). Так как еще е~~ = е Е, то е =е + =е е =е Е е =е е я лв+г хе г л к л к Составив из клеток ея' матрицу ем, найдем е с помощью свойства а). Доказательства и пример см.
в [5), гл. 1, Я 12 — 14. В задачах 786 — 812 решить данные системы уравнений (х означает е— , и т. дд для облегчения работы в некоторых ш задачах указаны корни характеристического уравнения). 787 789 791 999. ( х=х+л — у у=и+у †л = 2х — у (л, = (Лт = О, Лз = 2, Лз = -1).
Лз=2, Лз=-1) 999. ( 999. ( х = 2х — у+э у =х+2у — л л=х — у+2л х = Зх — у+э, у=х+у+л, Е = 4х — у+4л (Л9 = 1 Лз = 2 Лт = 3) (Л9 = 1 Лз = 2. Лз = о) х=2х+у, 786. у = Зх + 4у. 788. х+:с — 8у = О, у †х †. х = х — Зу, 790. у = Зх+у. 792. х= 2х+у, у =4у — х. х= 2у — Зх, 794.
у = у — 2х. < х=х — у у = у — 4х. < х=х+у, у = Зу — 2х. < хг+х+бд=О, у †х †. < х = Зх — у, у =4х — у. < х — бх — Зу = О, у+Зх+у = О. < х = х — 2у — з, у=у †х, 82 З14. Линейные системы с постоянными коэф4оииентами х = 4р — 2з — Зх (Л1 = 1, Лз = 2, Лз = — 1) (Л1 = 1, Лз. з = 1 ~ 21).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
