Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (947325), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Другой пример: для уравнении у' + 2уз = б/х~ те же рассуждения побуждают нас искать частное решение в виде у = о/х. Подставляя у = о/х в уравнение, найдем постоянную а. Решить уравнении 136 — 160. 136. хд' — 2д = 2х~. 22 З б. Линвйнив уривнвния пврвого порядка 137. (2х+ 1)д' = 4х+ 2д. 138. у'+усйх = вест. 139.
(ту+ е ) Ох — хбд = О. 140, хзд'+ху+1 = О. 141. у = х(у' — х,сон х). 142. 2х(хз + у) Ох = Оу. 143. (хд' — 1) )их = 2у. 144. ху'+ (х+1)д = Зхзе *. 145. (х + дз) Од = у Ох. 146. (2е" — х)у' = 1. 147. (з1п у+ хсц;у)у' = 1. 148. (2т + у) Оу = у Ох + 4 1п д Оу. 149. у' = 3 л — ию. 150.
(1 — 2ху)у' = у(у — 1). 151. у' + 2у = узе'. 152. (х+ 1)(у'+ уз) = — у. 153. у' = у соах+ д18х. 154. хузуг = хз -~- у 155. хуОу = (уз +.с) йх. 156. ху' — 2тз гу = 4у. 157. ху'+ 2у+ хауге = О. 2у' — к = — ~х —. и к — 1' 158. 159. д'хи з1пу = ху' — 2у.
160. (2хзу 1п у — т) у' = у. С помощью замены переменных или дифференцировании привести уравнения 161 — 166 к линейным и решить их. З б. Линеассне уравнения первого порядка 23 161. х с1х = (х~ — 2У + 1) с4у. 162. (х+1ПУУ' — 1) = у . 163. х(е" — у') = 2. 164. (Хг — 1) у' сбп у -Ь 2х сое у = 2Х вЂ” 2хз. 165.
У(х) =.) у(Г) сМ+ х+ 1. о х х 166. ((х — 1)с ЯФ = 2х+ ( у(Г) с(1. о о В задачах 167 — 171, найдя путем подбора честное решение, привести данные уравнения Риккати к уравнениям Бернулли и решить их. 167. хгус +,у+ хг, 2 = 4. 166. 3У'+у'+.' =0. 169. Ху' — (2х, + 1)у+ уз = — хз. 170. у' — 2ху+ уз = 5 — хз. 171. у'+ 2уе — уз = ез' +ее. 172. Найти траектории, ортогональные к лининм семейства уз = Сее + х + 1. 173. Найти кривые, у которых площадь трапеции, ограниченной осями координат, касательной и ординатой точки касании, есть величина постоянная, равная Зо .
174. Найти кривые, у которых площадь треугольника, ограниченного касательной, осью абсцисс и отрезком от начала координат до точки касании, есть величина постоянная, равная а~. 175. В баке находитсн 100 л раствора, содержащего 10 кг соли. В бак втекает 5 л воды в минуту, а смесь с той же скоростью переливается в другой 100-литровый бак, первоначально наполненный чистой водой. Избыток жидкости из него выливается. Когда количество соли во втором баке будет наибольшим? Чему оно равно? 176. За время Ы (где сМ очень мало и выражено в долях года) из каждого грамма радия распадается 0,00044 Ы грамма 24 1б. Линейные уравнения первого порядка и образуетсн 0,00043 Ьг грамма радона.
Из каждого грамма радона за время ~М распадается 70 г1! грамма. В начале опыта имелось некоторое количество хо чистого радия. Когда количество образовавшегося и еще не распавшегося радона будет наибольшимТ 1ТТ. Даны два различных решения рг и уз линейного уравнении первого порндка. Выразить через них общее решение этого уравнения. 178. Найти то решение уравнении у' з!и 2х = 2(у + соа х), которое остается ограниченным при х -+ л/2. 179*. Пусть в уравнении ту'+ ау = !'(х) имеем и = = сопле > О, )(х) — ~ Ь при х — г О.
Показать, что только одно решение уравнения остается ограниченным при х -+ О, и найти предел этого решения при х -~ О. 180'. Пусть в уравнении предыдущей задачи а = сопя! < О, !'(х) †> Ь при х †> О. Показать, что все решении этого уравнения имеют один и тот же конечный предел при х -+ О. Найти этот предел. В задачах 181 †1 искомое решение выражается через интеграл с бесконечным пределом. 181*. !!оказать, что уравнение а + х = р(1), где ~Д!)~ < М при — сс < ! < +со, имеет одно решение, ограниченное при — сс < ! < -ьсс. Найти это решение. Показать, что найденное решение периодическое, если функция 1(г) периодическая.
182*. Показать, что только одно решение уравнении ху'— — (2хз+1)у = хз стремится к конечному пределу при х -+ -ьсс, и найти этот предел. Выразить это решение через интеграл. 183*. Найти периодическое решение уравнения д' = 2усовзх — а!пх. 184'. Пусть в уравнении йг +а(!)х = г"(!) а(1) > с > О, 1'(!) — ~ 0 при ! -+ +со. Доказать, что каждое решение этого уравнения стремится к нулю при ! — г +ос. Зб. Уравнения в полных ди44еренциалех 25 185*. Пусть в уравнении предыдущей задачи имеем о(г) > с > О н пусть ха(г) решение с начальным условием ха(О) = Ь.
Показать, чта для любого г > О существует такое Б > О, что если изменить функцию )(г) н число Ь меньше, чем на Ь (т. е. заменить их на такую функцию 11(г) и число Ьы что )~г(1) — 1'(1)( < Ь, (Ьг — Ь! < Ь), та решение ха(1) изменится при 1 > О меныпе, чем на е. Эта свойство решении называется устойчивостью па постоннно действующим возмущенинм. ~6.УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ. ИНТЕГРИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ 1. Уравнение М(х, у) бх + П(х. у) бу = О называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалам некоторой функции Г(х, у).
Эта имеет место, если = —,. Чтобы решить урав- дМ дЖ ду дх пение (1),нада найти функцию Г(х, у), от которой полный дифференциал ОГ(х, у) = Г,' 4х + Г„' бу равен левой части уравнения (1). Тогда общее решение уравнения (1) можно написать в виде Г(х, у) = С, где С вЂ -произвольная постоянная. П р н м е р. Решить уравнение (2) (2х + Зх у) бх+ (х — Зу ) бу = О. Так как — (2х+ Зх у) = Зх, — (х — Зу ) = Зх, то уравнение (2) д , 2 2 д 3 2 2 ду ' дх является уравнением в полных дифференциалах.
Найдем функцию Г(х, у), полный дифференциал которой ОГ = Г' бх+ Г„' бу был бы равен левой части уравнения (2), т. е. такую функцию Г, что (З) Г, =2х+Зх у, Г =х — Зу. Интегрируем по х первое из уравнений (3), считая у постоянным;при этом вместо постоянной интегрированна надо поставить 1о(у) — неизвестную функцию ат у: Г = /(2х+ Зх у) 4х = хе + хзу+ ф(у). 26 36. Уравнения в полных диусу1еренииалах Подставляя это выражение для Р во второе из уравнений (3), най- дем у(д): (хз -их~у -ь р(у)) = хз — Зуз; со'(д)= — Зуз; со(у)= — у~4-сопле. Следовательно, можно взять Р(х, у) = хз + хзу — уз.и общее ре- шение уравнении (2) будет иметь вид х -~-х у — у =С.
2. Интегрирующим множителем для уравнения М(х, д) с1х -~- Ж(х, у) Осу = О (4) называетсн такая функция сп(х, у) ф О, после умножения на которую уравнение (4) превращается в уравнение в полных дифференциалах. Если функции М и Лс в уравнении (4) имеют непрерывные частные производные и не обращаются в нуль одновременно, то интегрирующий множитель существует. Однако нет общего метода для его отыскания (когда общее решение уравнения (4) неизвестно). В некоторых случаях интегрирующий множитель можно найти с помощью приемов, изложенных в [Ц. гл.
11, З 3, и. 3 или в [4), гл. 1, 3 5. Лля решения некоторых уравнений можно применнть метод выделения полных дифференциалов, используя известные формулы: 6(ху) = дух+хе)у, д(у~) = 2дс1у, (х) у с1х — х с1у йу П р и м е р. Решить уравнение ус1х — (4х у ч-х) с1у = О.
Сначала выделяем группу членов, представляющую собой полный дифференциал. Так как у с1х — х с1у = — хз с1(у/х), то, деля уравнение (б) на — х, имеем с( ( — ) + 4у с(у = О, д ( — ) 4 с((2д ) = О. Это -- уравнение в полных дифференциалах. Интегрируя непосред- ственно (приводить к виду (1) не нужно), получаем решение — +2д~ = С. х 56. Уравнения а палямх дифагереяциалах 27 Кроме тога, при делении на — х было потеряна решение х = О. Замечание. Так как после делении уравнения (5) на — т., т. е. умножения на — 1/хг, получилось уравнение в полных дифференциалах, то интегрирующий множитель длн уравнения (5) равен — 1/х .
3. Если в уравнении (4) можно выделить полный дифференциал некоторой функции у(х, у), то иногда уравнение упрощается, если от переменных (х, у) перейти к переменным (х, г) или (у, з), где г = х(х, у). Примеры. 1) Решить уравнение уг1х — (х у+ х) йу = О. Выделив полный дифференциал как в предыдущем примере, получим й ( — ) -~- ху йу = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
