Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (947325), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Пусть на всей плоскости х, у функции 1"(х, у) и ~',(х, у) непрерывны и ~„'(х, у) < н(х), функцин й(х) непрерывна. Доказать, что решение уравнения у' = у(х, у) с любым начальным условием у(то) = уе существует при хо < х < +со. 240*. Дана система в векторной записи у' = 1"(х, у), удовлетворяющан условинм теоремы существования в окрестности каждой точки (х, у). Пусть в области (у~ ) Ь при всех х где д Г скалнрное произведение, а функция н(х) непрерывна.
Доказать, что решение с любым начальным условием у(хо) = до существует при хо < т, < +со. 3 8. УРАВНЕНИЯэ НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ О РНОСИ РЕЛЕНО НРОИЗВОДНОЙ 1. Уравнения вида Г(х, д, у') = О можно решать следующими методами. а) разрешить уравнение относительно д, т. е. из уравнения Р(х, у, у') = О выразить у' через х и у.
Получитсн одно или несколько уравнений вида у' = 1(х, у). Каждое из них надо решить. б) Метод введения параметра . Здесь излагается простейший вариант этого метода. Более общий ввривнт ем. (1), гл. 111, З 3, п. 1. 28. Уравнени, не разрешенные относительно производной 35 Пусть уравнение К(х, р, р') = О можно разрешить относительно д, т. е. записать в виде у = 7(х, зл~).
Введя параметр получим р= У(х, р). (2) Взяв полный дифференциал от обеих частей равенства (2) и заменив Йд через рдх (в силу (1)), получим уравнение вида М(х, р) ь1х -~- 1У(х, р) г1р = О. Если решение этого уравнения найдено в виде х = х(р), то, воспользовавшись равенством (2), получим решение исходного уравнении в паРаметРической записи: х = 1о(Р)ь У = 1Ь(Р) ~ Р)- Уравнении вида х = Дд, у') решаютсн тем же методом. Пример. Решить уравнение у = х -~- р — !яр . Вводим параметр р = р': (3] р = х+ р — 1п р.
Берем полный дифференциал от обеих частей равенства и заменяем Йу на рдх в силу (1): ь1у = Ох+бр — — а, рь1х = ь1х+Йр — -в. Решаем полученное уравнение. Переносим члены с дх влево, с г1р — вправо: (4) (р — 1) дх. = ь(р. р а) Если р Ф 1, то сокращаем на р — 1: г1х = —, х = 1пр+ С. бр р' Подставлня это в (3), получаем решение в параметрической записи: (б) х=!пр-ьС, у=р+С. В данном случае можно исключить параметр р и получить решение в явном виде.
Для этого из первого из уравнений (б) выражаем р через х, т. е. р = е* '. Подставляя это во второе уравнение, получаем искомое решение: у=ее -ьС. (б) б) Рассмотрим случай, когда в (4) имеем р = 1. Подставляя р = 1 в (3), получаем еше решение (7) р=х+1. 36 28. Уравнения, ие разрешенные относительно производной Р(х,у,у)=0 (8) удовлетворяет также уравнению ПЕ'( у у) ау (9) Поэтому, чтобы отыскать особые решения уравнении (3), надо исключить у' из уравнений (8) и (9).
Полученное уравнение ф(х, у) = = 0 называется уравнением дисирилеииаитяаб кривой. Для каждой ветви днскрнминантной кривой надо проверить, нвляется ли зта ветвь решением уравнении (8), и если является, то будет ли зто решение особым, т. е. касаютсн лн его в каждой точке другие решения. Пример. Найти особое решение уравнения у = х + у — 1и у . (10) Дифференцируем обе части равенства по у': 1 0 = 1 — —. уУ (11) Исключаем у' из уравнений (10) н (11).
Из (11) имеем у' = 1; подставляя это в (10), получаем уравнение дискриминаитной кривой (12) Проверим. будет ли кривая особым решением. Для этого сначала проверяем, нвлнется ли она решением уравнения (10). Подстевлян (12) в (10), получаем тождество х + 1 = х + 1. Значит, кривая (12) решение.
ГЭто определение взято нз (1). Есть н другие определенна, не равносильные этому. (Было бы ошибкой в равенстве р = 1 заменить р на у' и, проинтегрировав. получить у = т, + С.) 2. Решение у = сз(х) уравнении Р(х, у, у') = 0 называется асабылг, если через каждую его точку, кроме этого решении, проходит и другое решение, имеющее в этой точке ту же касательную, что и решение у = 1о(х), но не совпадающее с ннм в сколь угодно малой окрестности этой точки . Если функция Г(х, у, у ) и производные д и д, непрерывны, Р дв дв то любое особое решение уравнения 38.
Уравнении, не ризрешенные относительно производной 37 Теперь проверим, является ли это решение особым, т. е. касаются ли его в каждой точке другие решении. В п. 1 было найдено, что другие решения выражаются формулой (6). Пишем условия касания кривых д = уз(х) и д = уз(х) в точке с абсциссой хо: дг(хо) = уз(хо), дз(хо) = дз(ха) (13) Ф( ., д, С) = О, ~~( ' д' С) = О дС и проверить, будет ли полученнан криван огибающей, т. е. касают- ся ли ее в каждой точке кривые семейства. Эту проверку можно провести изложенным в конце п. 2 методом, использун условия ка- сания (13).
В задачах 241 — 250 найти все решении данных уравнений; выделить особые решения (если они есть); дать чертеж. 241. у' — дз = О. 242. 8у' = 27д. 243 (у~ + 1)з 27(х -~- д)з 245. уз(у' + 1) = 1. 245 д 4 уз 0 247. ху' = у. 249. у' + дз = уу'(у' + Ц. 246. у' = 4уз(1 — у). 245. уу' + х = 1. Для решений (6) и (12) эти условии принимвют вид ез" ~ + С = = ха+1,е ' ~ = 1. Из второго равенства имеем С = хо; падставлян это в первое рввенство, получзем 1 + хо = хо + 1. Это равенство справедливо при всех ха.
Значит, при каждом хо решение (12) в точке с абсциссой то касается одной из кривых семейства (6), в именно той кривой, для которой С = хо. Итак, в каждой точке решение (12) касается другого решения (6), не совпадающего с ним. Значит, решение (12) — особое. Если семейства решений записано в параметрическом виде, как в (б), то выполнение условий касания провернется аналогично. При этом надо учесть, что у' = р. 3. Если семейство кривых Ф(х.
д, С) = О. явлнющихся решениями уравнения Е(х, д, д') = О, имеет огибающую д = оз(х), то эта огибающан является особым решением тога же уравнения. Если функции Ф имеет непрерывные первые производные, то для отыскания огибающей надо исключить С из уравнений 38 18. Уравнен л, не де»решенные отноеителвно производной 250. 4(1 — р) = (Зр — 2)зу' .
Уравнении 251 — 266 разрешить относительно р', после этого общее решение искать обычными методами (Я 2, 4, 5, 6). Найти также особые решения. если они есть. 251. у' + ту = уз + ту'. 253. ху' — 2уу' + х = О. 255. У™ + т = 2у. 257. у' — 2шу' = 8тз. 258. (ху'+ Зу)з = 7вс 259. у' — 2ур' = ул(е* — 1). 260. у'(2у — у') = дев1п х. 261. у' + уз = у». 262. х(р — л:у')л = шд' — 2ур'. 263. У(ху' — у)з = у — 2ху'.
264. Ру'(ду' — 2х) = шл — 2уз. 265. д'з»- 4хр' — уз — 2хзу = ю» — 4хз. 266. У(у — 2ту')з = 2у'. Уравнении 267 — 286 решить методом введения параметра. 267. х = у' + у'. 269. т = у'Ъ/у'й + 1. 271. У=у' +2у' . 282. 2ту' — у = у'1пуу'. 284.у=шд т д 283. у' = ез и ~з. 273. (р'+1) = (У' — У) . 275. у' — У = д ° 277. у' = 2УУ' + Р ° 279. 5У+У = тих+У). 281.
д' +У =терр 252. хр'(ху'+ у) = 2рз. 254. лр' = у(2У' — 1). 256. д' + (х + 2)е" = О. 270. у'(х — 1пу') = 1. 272. у = 1п(1 + у' ). 274. р = (у' — 1)е" . 276. у' — У =У . 278. у' — 2ху' = х — 4Р. 280. х'уд = луу'+ 1. 39 З 9. Разные уравнения первого порядка 285. у = 2ху'+ узд' . 286. У(у — 2ху')з = у' . Решить уравнения Лагранжа и Клеро (задачи 287 — 296). 287. д = ху' — д' . 289. у = 2ху' — 4у' . 288. у+ ту' = 4ъгу'.
290. д = ху' — (2 + д'). 292. у = .Упт — 2У". 291. д' = 3(ху' — У) 293. ху' — У = 1пд'. 294. ту'(у'+ 2) = У. 295. 2У' (у — ху ) = 1. 296 2ху' — у = 1ну' 297. Найти особое решение дифференциального уравнения, если известно семейство решений этого уравнении: а) у = Схз — Сз, в) у = С(х — С), б) Сд = (х — С)з, г) ху = Сд — Сз. 3 9. РАЗНЫЕ 'УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА' Решить уравнения 301 — 330 и построить графики их решений. 301. ху'+хз+:оу — у = О.
302. 2ху'+ у = 1. 303. (2туз — у) с1х+ х Йу = О. 304. (ху'+ у) = хзу'. 306. (х + 2уз)у' = у. 305. у — у' = уз + ху'. 307. у' — у'е * = О. ~Все задачи 19 решаются изложенными ранее методами. 298. Найти кривую, каждая касательная к которой образует с осями координат треугольник площади 2аз. 299. Найти кривую, каждан касательная к которой отсекает на осях координат такие отрезки, что сумма величин, обратных квадратам длин этих отрезков, равна 1. 300.
Найти кривую, проходящую через начало координат и такую, что отрезок нормали к ней, отсекаемый сторонами первого координатного угла, имеет постоянную длину, равную 2. г 9. разные уравнения первого парадна 359. ту'(1пд — 1пт) = у. 360. 2у' = т+ 1пу'. 361. (2:огу — Зуг)у' = бхг — 2хдг + 1. 362. уу' = 4х+ Зу — 2. 363. угу' +:ег а1п г, = уг с$8 х. 364. 2ху' — у = вУп у'.
365 (тгуг + 1)у+ (ту 1)гг.у' О Збб. уа4пт+ у'совт = 1. 367. тйу — ус(х = х /тг + угу. 368 дг+тгу~- у( ~~+у,з) 369. у' = 4/2т т— у+ 2. 370. (х — усова) йх+тсовае1у = О. ет1. 2 (*'7~ а-';* д ) о~ 61= 0. 372. (у' — х~/у) (тг — 1) = тд. 373. у' + (у' — 2у')х, = Зу' — у. 374. (2х + Зу — 1) е1т + (4:е + Ьд — 5) е19 = О.
375. (2хуг — у) с1т+ (уг+ х+ у) Йу = О. 376. у = у'~/Г+ д". 377. уг = (хду'+ 1) 1пт. 378. 4д = хг + у' . 379. 2х йу + у йх + туг (т е1у + у йх) = О. 380. хйх+ (тгссду — Зсоеу) с)у = О. 381. тгу'г — 2(ту — 2)у'+ уг = О. 382. ту' + 1 = е* ". 383. у' = 18(д — 2х).
384. Зтг — у = у'ъ~Р + 1. 44 г10. Уравнения, допуснающие понижение парадна 407. дд' -~- х — 2 ~ х ( 408,! 3 +Р Р д=( д 409. (~,/~г, 1+1) („г+ ЦОт = тр4„ 410. ( +р +Црд'+( +р — Ц =О. 411. уг(л: — Ц с1т = х(хд + х — 2д) с(д. 412. (хр! — р)г = хгрг — хс. 413. хдд' — хг с5!г + 1 = (х + 1)(уг + 1). 414. (тг — Цд'+ дг — 2хд+ 1 = О. 415. д'18у+ 4хз совр = 2х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
