Баскаков С.И. Основы электродинамики (1973) (944136), страница 20
Текст из файла (страница 20)
'Частный вид зависимостей (7.4) позволяет, как зто было сделано в $5.7, выразить поперечные составляющие полей Е и Н через частные производные о! продольных составляющих и получить следующие формулы перехода: (7.5) — !/ а де дн,~ т= а11,» ат ' аг у Отсюда сразу вытекает возможность существования в круглом волноводе колебаний типов Е и Н в отдельности. Для их исследования необходимо решить уравнения Гельмгольца для Е, и Н,: Здесь использовано выражение оператора Лапласа в системе координат (», ~р, а). Для случая направляемых волн в последних уравнениях можно избавиться от частных производных по продольной координате, введя поперечное волновое число В результате получим уравнения д' Е, 1 дЕ, ! д'Еа д'Н„ 1 дН;, 1 д'На — ' — "+ — — *+ — ' +йН =0.
дга г да га дта а (7.8) Разумеется, что однозначное решение этих уравнений возможно лишь в том случае, когда они дополнены соответствующими граничными условиями на стенках волиовода. 7.2. Волны типа Е в круглом волноводе Задача о распространении по круглому металлическому волноводу колебаний электрического типа, характеризующихся условиями Н,=0, Е,~0, сводится к решению уравнения Гельмгольца (7.9) (7.10) Еа — 0 1а=а (7.11) Е =О(„,. Из формул перехода (7.5) непосредственно следует, что два последних условия не являются независимыми.
Так, составляющая Е„, пропорциональная частной произ- 128 при граничных условиях, обеспечивающих обращение в нуль тангенциальных составляющих электрического вектора на стенках волновода, Очевидно, что из трех возмо кных составляющих поля Е, а именно: Е„, Е, Е, касательными к стенкам волновода могут быть только составляющие Е и Е,. Поэтому необходимо потребовать водной дЕ,/д~р, обратится в нуль при постоянстве Е, на контуре волновода. Поэтому физически достаточно, чтобы на металлических стенках волновода выполнялось граничное условие (7.10).
Вместе с уравнением (7.9) оно образует однородную краевую задачу Дирихле. Будем решать эту задачу методом разделения переменных. Положим, что Е,/г, (р) =)с(г)Ф(ср), (7.12) где Р(г), Ф(~р) — неизвестные функции только от г и ср соответственно, подлежащие определению. Подставляя (7.12) в (7.9), будем иметь Ф)7" + Ф)т'/г+ ЯФ"/г'+ дз/7 Ф =(). Преобразуем уравнение (7.13) таким образом, чтобы в левой части располагались функции только от г, а в правой — только от <р. Для этого левую и правую части следует разделить на произведение ЯФ: г%"//с+ г)т'/)с+даг'= — Ф"/Ф.
Для того чтобы (7.14) удовлетворялось тождественно при любых,г и ~р, необходимо выполнение равенства Ф /Ф лта (7.15) Решением уравнения (7.15) служат функции Ф (~р) = С, (т~), (7.16) а также их любая линейная комбинация при произвольном коэффициенте Сь Выбор той или иной из этих функций безразличен в силу симметрии волновода по угловой координате ~р. Однако для того чтобы выполнялось физически очевидное требование периодичности решения по углу ~р с периодом не более 2п, т должно быть целым числом или нулем (в последнем случае приемлемо только косинусоидальное решение).
Число т служит одним из индексов типа волны. Рассмотрим теперь левую часть уравнения (7.14) с целью получить новое уравнение, описывающее радиальное распределение поля, Из (7.14) и (7.15) имеем Целесообразно преобразовать уравнение (7.17) к не. сколько другому виду, введя безразмерную независимую переменную х=дг, (7.18) откуда получим ~~вр ! ,~ г ща — + — — +~! — — Х! к=О. Ик' х Ых (, х' ) Уравнение (7.19) хорошо изучено в математической физике и носит название уравнения Бесселя.
С математической точки зрения уравнение Бесселя является линейным дифференциальным уравнением второго порядка с переменными коэффициентами. Цилиндрические функции. Так называют частные решения уравнения (7.19). К ним относятся: Х (х) — функция Бесселя или цилиндрическая функция первого рода индекса т; М (х) — функция Неймана нлн цилиндрическая функция второго рода индекса т. Обе цилиндрические функции являются линейно независимыми, поэтому общее решение уравнения (7.19) записывается в виде ,)с(х) =С~Х ('х)+СзМ ('х), (7.20) где С~ и Сэ — некоторые произвольные постоянные. Цилиндрические функции первого и второго рода в цилиндрической системе координат играют ту же роль, что синусоидальная и косинусоидальная функции в декартовой прямоугольной системе.
Из примерного вида графиков этих функций, представленного на рис. 7.3, видно, что они имеют много общего с гармоническими функциями. Однако имеются и существенные различия: 1) цилиндрические функции в отличие от сннусоидальной и косинусондальной не являются периодическими; 2) «амплитуда» этих функций также не постоянна, а уменьшается с ростом независимой переменной х; 3) чем больше индекс т, тем сильнее смещены цилиндрические функции по оси х; на рисунке это показано применительно к функциям Х„,(х) и Х,+~(хХ; 4) вблизи начала координат функция У (х) неограниченно велика: 1ппй( (х)= — оо, х~а Поэтому при решений веех задач в круглых волноводах необходимо полагать Си=О, ибо присутствие на оси волновода при г=О бесконечно высоких напряженностей полей физически нереально.
Для решения большинства практических задач наибольший интерес представляют простейшие цилиндрические функции Уо(х) н У~(х). В теории цилиндрических йл Рис. 7.4. Функции 1с(х) и 11(х). функций показано, что между ними существует следующее соотношение: 11 (х) = — НУо('х) Ус(х. (7.2!) На рис. 7.4 представлены графики этих функций. Для дальнейшего наибольший интерес представляют те значения аргумента, прн которых обращаются.в нуль либо 9' !3! сами функции Бесселя, либо нх первые производные.
Введем следующие обозначения: т „ — и-й корень уравнения Х (х) = О, Н 1а „вЂ” и-й корень уравнения — „7 (х)=0. Анализируя представленные графики, легко видеть, что функция Уе(х) первый раз пересекает ось абсцисс в точке, приблизительно равной 2,405. В соответствии с принятой договоренностью данная точка обозначается как тм. Аналогично, первый положительный максимум функции Уе(х) приходится на значение аргумента 1,841, которое должно быть обозначено как 1ап. Для справочных целей приведем табл. 7.1, 7.2 наиболее часто встречающихся в расчетах корней функций Бесселя и их производных.
Таблица 7.! КоРни еосн функола Весселн ос=! 2,405 5,520 8,654 3,832 7,016 10,174 5,135 8,417 11,620 Таблица 7.2 Карне ансн нронееолннн функнна Вессенн ос=а 1,841 5.335 8,536 3,832 7,016 10,174 3,052 6,705 9,965 Здесь поперечное волновое число д пока еще не определено. Чтобы найти его, заметим, что граничное условие Ее=0)н=н 1З2 Теперь можно вновь вернуться к исследованию волн электрического типа. В соответствии с методом разделения переменных амплитуда продольной составляющей напряженности электрического поля запишется в виде Еа Еееса (йс) (лат)' (7.22) будет выполнено в том случае, если поперечные волнот вые числа принадлежат бесконечной дискретной после- довательности, удовлетворяющей соотношению (7.23) д а=т дта = я та/ц.
откуда (7.24) Номер корня п является вторым индексом волны Е Итак, окончательно комплексная амплитуда составляющей Е, для колебания типа Е „принимает вид / СОз Физический смысл индексов т и и очень прост: т означает число вариаций поля по угловой координате ~р, а и†число вариаций по радиальной координате г. В частном случае т=О поля по углу р не изменяются, и такие типы волн называют симметричными. Критические длины волн находятся на основании того же самого принципа, что и в случае прямоугольного волновода (см. в 6.3): (2„в) = 2л/д„„= 2па/т~ и (7.26) Формулы для вычисления длины волны в волноводе и фазовой скорости имеют ту же структуру, что и в теории прямоугольного волновода: л, с ~в— оф = У1 — р,/л„,) ~'1 — (л,/х„,)~ ' Е,= Е,у,~ — ") е ~~*, Н,=О, У~ ~ Й / Е=О,Й=)' 'Х~ — "' /е е ' т «„'( а (7.27) 133 Поперечные составляющие полей для любой волны типа Е „легко находятся из выражения для продольной составляющей Е, и формул перехода (7.5).
Покажем это на примере часто употребляемой простейшей симметричной волны типа Ем. Здесь Картина распределения'полей в волноводе, построенная по этим формулам, показана на рис. 7.5. Интересно отметить, что данная структура поля может быть полу- и Ц л "сп Рис. 7.5. Картина силовых линий электромагнитного поля волны типа Ем в круглом нолноводе. чена непрерывной деформацией структуры типа Егг в прямоугольном волноводе.
На рис. 7.6 показана также структура поля несимметричной волны типа Ем. я А Рис. 7.6. Картина силовых линий электромагнитного поля волны типа Еп в круглом волноводе. 7.3. Волны типа Н в круглом волноводе При исследовании колебаний магнитного типа нужно опираться на уравнение Гельмгольца для составляющей Н;.
134 Разыскивая решение этого уравнения в виде Н, (г, у, г) = Н, (г, р) е (7.29) и вводя поперечное волновое число д="р Т':й', приходим к уравнению Е ~э~, дН~ е я1 дг (7.3!) граничные условия принимают вид —,' =О(„,. дН, (7.32) Таким образом, исследование распространения волн магнитного типа в круглом металлическом волноводе сводится к решению однородной краевой задачи Неймана для уравнения Гельмгольца (7.30) — (7.32). Данная задача решается методом разделения переменных. Как и в случае волн Е-типа, частное решение, имеющее ш вариаций по углу Ч~, запишется в виде Н, = Н,7 (пг) (т<р). (7.33) Для нахождения неизвестного поперечного волнового числа д вычислим частную производную (7.34) Граничные условия (7.32) будут тождественно выполнены, если "'„„'"' =.о~,, (7.35) (зй В случае волн Н-типа электрическое поле имеет только поперечные составляющие, из которых только составляющая Й„касательна к стенкам"(волновода.
По- скольку Равенство (7.35), рассматриваемое как уравнение относительно х, имеет бесконечное число корней, обозначаемых здесь как р „. Таким образом, краевая задача, описывающая распространение волн магнитного типа, имеет бесконечное множество нетривиальных решений, причем для каждого из этих решений (7.36) ящио= рп~п. й'та = р,ии/и. т. е. (7.37) Итак, продольная составляющая магнитного поля для колебания типа Н „в круглом волноводе принимает вид ХХ,=ХХ,Х (н"" ) (ту) е '"'. (7.38) Основные расчетные формулы остаются теми же, что и для волн электрического типа: (" в)и =2 з/р- (7.39) ю 1~~ — (л,/л„,)' ' (7.40) (7.41) Ф= (хе/хкР) и — 1н в" Ри (~„~ 1 1п — Рм а / Х, ("— ", ) соз7е '"', Х' Х вЂ” "" ~а)п1е ' ', а Х вЂ” 1н, а„., г гн~ ~ — )н,а 2 1 гНн (7.42) нн Поперечные составляющие полей для волн магнитного типа находятся на основании формул перехода (7.4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
