Баскаков С.И. Основы электродинамики (1973) (944136), страница 17
Текст из файла (страница 17)
е. Е,'=О. Будем предполагать, что геометрия н физические параметры вплновода остаются такими же, как и при рассмотрении волн типа Е. Все составляющие электромагнитного поля могут быть выражены через составляющую Н, с помощью формул перехода, вытекающих из (5.18): Здесь амплитудная функция Н,(х, у) является решением двумерного поперечного уравнения х7' Н, + и'Н, = О. (6.36) Как и ранее, д =-)/ 7' — й' — попсоечное волновое числз. Уравнение (6,36) должно быть дополнено граничными условиями, обеспечивающими обращение в нуль тангенциальпых составляющих электрического поля на идеально проводящих сто;1ках волновода. Эти условия записываются следующим образом; Е„=О при у=О, у=Ь, Е'„=О при х=О, к=а.
(6.37) Формулы перехода позволяют записать данные условия через искомую функцию Н,: дН =О при у — О, у — Ь, дд дН вЂ” '=О при х=-О, х==а. дх (6.38) Н, = [А 91п(д,х)+ В сов(д.х)[[Сз1п(йау) + +7) (йау)[ е '"'. (6.39) 109 Таким образом, исследование распространения волн типа Н в прямоугольном металлическом волноводе сводится к решению краевой задачи (6.36) — (6.38). Данная краевая задача отличается от задачи, которая описывала распространение волн типа Е, тем, что здесь на границе области, т. е.
на контуре сечения волновода, об1ращается в нуль не сама искомая функция, а ее производная по направлению нормали. В математической физике такие краевые задачи носят название однородных краевых задач Неймана. В частности, задача, полностью подобная рассматриваемой, встречается в механике при рассмотрении колебаний упругой мембраны прямоугольной фо1рмы с незакрепленными краями. Равенство нулю нормальной производной на краях означает отсутствие в этих точках мембраны внутренних натяжений. Рассматриваемая краевая задача решается методом разделения переменных.
Отсылая за подробностями к материалу 5 6.2, запишем общее решение уравнения Гельмгольца в виде Граничные условия (6.38) при х=О, у=О могут быть удовлетворены тогда, когда А=С=О. Далее, обозначая произведение В/) как Н,, будем иметь Н, = О, соз (д„х) соз (у„у) е ' (6.40) Из условий при х=а, у=а следует, что д„= пи/Ь. у, — — тп/а, (6.41) Здесь т, л — целые положительные числа, не,равные ну- лю одновременно. Как и раньше, поперечное волновое число у определяется соотношением д = Р'(тя/а)' + (пя/б)'. (6.42) (6.43) Аналогично $ 6,3 для волн Н-типов справедливы выражения ~в (6.44) У1 — (х,/х„а)' с У 1 — Р,,/л„,) Выясним вопрос о том, какой тип волны в прямоугольном волноводе является низшим, т. е, обладает наибольшей критической длиной волны.
Из анализа формулы вида (6.43) следует, что наибольшей критической длиной волны будет характеризоваться тот тип колебаний, которому соответствуют наименьшие индексы. Поскольку для волн Н-типов (6.45) Н,=о, ( — х) ( — у)е '', в данном случае один из индексов, но не оба вместе, может равняться нулю. В то же время известно, что для волн Е-типа такая ситуация невозможна. Это значит, что низший тип колебаний в прямоугольном волноводе принадлежит к классу волн Н-типа. 11О Каждой паре индексов т, п соответствует магнитный тип волны, обозначаемый как Н „. Критическая длина волны для этого типа колебаний находится по формуле, совпадающей с (6.30): 2 ~кр— У (га~а)'+ (л/а)2 При обсуждении постановки задачи условились счиать, что размер сечения волновода по координате х опыте, чем по координате у, т.
е. а)1Ь. Отсюда следует, то из двух колебаний с наименьшими из возможных инексов, а именно Н~о и 'Нсь наибольшей критической дли1ой волны будет обладать тип колебаний Нга, у которого доль широкой стенки укладывается одна стоячая полуолна, а вдоль узкой стенки поле неизменно. 6.5. Волна типа Наа Рассмотрим этот тнп колебаний в гврямоугольном волноводе более подробно как из-за большей наглядности, так и из-за широкого практического использования этого типа колебаний. Начнем с построения картины поля.
При этом в качестве исходной можно использовать структуру поля вол- Рис. 6.4. Построение картины электромагнитного поля волны типа Иы. ны Н, в волноводе, образованном двумя идеально проводящими плоскостями 1см. рнс. 5.5). Обращаясь к рис. 6.4, заметим, что поскольку силовые линии электрического вектора здесь параллельны поперечной координате у, во внутреннем пространстве волновода можно установить две идеально проводящие перегородки, отстоящие друг от друга на расстояние Ь, В силу перпендикулярности векторов поля Е к этим перегородкам граничные условии па последних будут выполняться автома. тически.
Таким образом, можно рассматривать лишь поля, существующие в замкнутой области с прямоугольной формой сечения. Структура поля волны типа Нм в прямоугольном волноводе представлена на рис. 6.5. Чрезвычайно важно отметить, что данная картина поля останется сгправедлцвой при любом расстоянии Ь 111 между перегородками или, согласно принятой здесь тер минологии, при любом размере узкой стенки волновод Отсюда следует, что величина Ь не должна входить в вь ражение, определяющее критическую длину волны дл Рис. 6.5. Структура электромагиитиого поля волны типа Н~ю.
Поскольку волна типа Нгю в рассматриваемом волноводе является низшим типом колебаний, можно сформулировать полученный результат следующим об1разом: по прямоугольному волноводу могут передаваться лишь колебания с длинами волн, меньшими, чем удвоенный размер широкой стенки; более длинноволновые колебания по волноводу принципиально распространяться не могут. Запишем сводку аналитических выражений для составляющих электромагнитного поля волны Нгю. Н.=1 'а,' з(п ( — ) е '"', Е„=О, .
яы, югтю . Iях й — Ма Ни=О, Е„= — 1 ' ', ' гйп ( —: е алю (л / г,а г (6.47) 112 данного типа колебаний. Действительно, из (6.43) при т=1, п=О будем иметь И„р) = 2а. (6.46) Формулы (6.47) получены с помощью правил перехода 5.18). Можно дать интереспое физическое толкование риведенных здесь выражений.
Легко заметить, что пог)еречные составляющие Ен и Н» находятся между собой в фазе по времени. Если нз этих двух составляющих образовать комплексный вектор Пойнтинга, то он окажется направленным по оси г и вещественным: П,= 2 ~,Еу1иНх1з)= .,', ' З)П'1" — ~)1з (648) / Если же образовать вектор Пойнтннга из составляющих Е„и Н„которые и.)еют сдвиг по фазе 90о (об этом свидетельствует нзлнчие мнимой единицы в выражении для Е„), то этот вектор окая ется направленным по координате х и мнимым: Приведенные рассуждения соответствуют представлению волноводпой волны как бесконечной последовательности плоских волн, испытывающих отражения от стенок Рис. 6.6.
Представление волны типа П,з в виде совокупности пло- ских волн, отраженных от узких стенок волновода. волновода (рис. 6.6). Энергия элекпромагнитного поля в волноводе может бьгть разделена на два вида: 1) активную энергию, переносимую вдоль оси г, 2) реактивную (запасенную) энергию, связанную с образованием поперечных стоячих волн вдоль оси х.
Токи на стенках волновода. Для нахождения плотности поверхностного тока на идеально проводящих стевках волновода воспользуемся уже известной формулой 13.21). Поскольку картина распределения силовых линий вектора Н в исследуемой волне известна, построение линий тоха на стенках на представляет затруднений: зти линии образуют семейство кривых, 8 — 1443 113 ортогональное семейству силовых линий магнитного поля (рис.6.7).
Важно отметить, что на рис. 6.7 изображена ~мгновенная картина распределения токов; во времени она перемещается как единое целое со скоростью еа. Физически можно представить, что ток, растекаясь, наприме, из центральной области нижней широкой стенка по радиальным на Рнс.
6.7. Распределенно плотности поверхностных токов на стенках прямоугольного волновода с волной Н~е. правлениям, затем огибает два нижних ребра и, пройдя по узким стенкам, вновь стекается в центральной области верхней широкой стенки. Через половину длины волны направления линий тока меняются на обратные.
Интересно оъметитгь н зто видно из представленного чертежа, что точки схождения и расхождения линий тока располагаются как раз там, где напряженность электрического поля равна нулю. Это можно объяснить физически. Очевидно, что линии тока всегда должны быть замкнуты. В рассматриваемом случае токи проводимости иа стенках волновода замыкаются посредством токов смещения, которые текут но внутреннему пространству волновода и направленик )И ойи р. Плотность токов смещения связана с напряженностью электрического поля следующим соотношением: Уа и = еадЕ!дб Поскольку для бегущей волны напряженность электрического поля записывается как Е(х, р, 1) =Е(х, р) соз(ьы — йз), (6.50) получаем (6.51) 3,„= — юе,Е(х, у) яп(юг — Аз).
Таким образом, токи смещения максимальны не в точках, где напряженность электрического поля наибольшая, а а точках, отстоящих от последних на четверть пространственного периода, т. е. на ),г'4. Излучающие и неизлучающие щели. Приведенное исследование распределения поверхностных токов на стенках волповода с волной Ны позволяет качественно решить весьма важную для практики задачу о связи волновода с окружагощим пространством посредством щелей, прорезанных в его стенках, В волноводной технике щелью называют, как правило, прямоугольное отверстие, длина которого значительно превосходит ширину.
Предположим, что в узкой стенке волновода прорезаны две щели, одна из оторых ориентирована в осевом направлении, а вто- Рис. 6.8. Излучающая (1) и неизлучающая (2) щели на стенках волновода. рая — в поперечном (рис. 6.8).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
