Баскаков С.И. Основы электродинамики (1973) (944136), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Данный метод состоит в том, что решение краевой задачи вида (6.9) ищется в виде произведеция двух функций, каждая из которых зависит лишь от одной из поперечных координат: Е,(х, у) =Х(х) У(у). Вообще говоря, такой вид решения является весьма частным. Однако в математической физике показывается, что для рассматриваемого класса краевых задач обшее решение действительно может быть записано в виде произведения двух независимых функций.
Подставляя (6.10) в первое уравнение (6.9), будем иметь Х"У+ХУ" +д ХУ=6. Здесь двумя штрихами обозначена операция взятия второй производной. Деля почленно обе части уравнения (6.11) на искомое решение, получаем Х"!Х+ У"/У = — у'. (6.!2) В левой части равенства (6.12) стоят две функции, каждая из которых зависит только о~ кооодинаты х или у, 102 Для того чтобы (6.12) выполнялось тождественно при любом х и у, необходимо выполнение равенств Х" /Х = — д', (6.13) у"/у = — д„', (6.14) где д„, д„— неизвестные числа, удовлетворяющие соотношению а'„+а„' = а' (6.15) Теперь можно понять смысл введения метода разделения переменных. Он заключается в том, что вместо одного уравнения в частных производных получаются два уравнения (6.13) и (6.14) в обыкновенных производных с постоянными коэффициентами, которые могут быть записаны в следующем более привычном виде; Х-+ д'„Х =О, У-+д„'У=О. (6.16) (6.17) Общие решения уравнений (6.16), (6.17) могут быть представлены в форме: Х(х) =А з1п(д„х)+В сов(д,х), (6.18) У(у) =Се(п(д„у) +В сов(д„у), (6.19) откуда Е, = (А яп (д,х) + В соз (п„х))(С яп (дну) + +В сов(я„у))е '"'.
(6.20) Итак, общее ~решение уравнения Гельмгольца получено, однако остается выбрать шесть произвольных величин — А, В, С, В, д„, п„таким образом, чтобы выполнялись граничные условия на стенках волновода. Прежде всего, заметим, что из условия Е,=О прн х=О и у=О следует обращение в нуль коэффициентов при косинусоидальных слагаемых, т.
е. В=В=О. Далее, поскольку рассматриваемый волновод является линейной системой и совершенно безразлично, при каком уровне ~распространяющегося сигнала проводить его анализ, произведение 1ОЗ Е,=Е,в(п(д„х)в(п(д„у)е '"'. (6.21) Теперь осталось подобрать величины а„и д„. Из граничного условия Е,=О прн х=а следует, что в1п (а'„а) =О. (6.22) Совершенно аналогично Праничное условие Е,=О при у=Ь приводит к тождеству в1п (нэЬ) = О. (6.23) Легко показать, что тождественное выполнение равенств (6.22) и (6.23) возможно лишь в том случае, если а„= тп/а, д„= пп/Ь, (6.24) где т, и — любые целые положительные числа. Отметим, что для рассматриваемых волн Е-типа ни одно из этих чисел не может быть равно нулю, в противном случае составляющая поля Е„а следовательно, и все другие составляющие электромагнитного поля тождественно обратятся в нуль в каждой точке поперечного сечения волновода.
Итак, окончательно Е, = Е, в(п — х) вш ( — у) е '"'. (6.25) х 0 Из приведенного анализа можно сделать следующий вывод. Краевая задача (6.9) имеет отличные от нуля решения не.щри любых значениях параметра а, а только при таких, которые связаны с геометрическими размерами волновода следующим соотношением: а = ~l'(пга/а)'+ (пч;~Ы*. (6.26) Каждой паре чисел т, и соответствует величина а, но- сящая название собственного значения длядан- ной краевой задачи.
Каждому собственному значению 104 двух оставшихся амплитудных коэффициентов можно обозначить через Еэ и записать соответствует функция 'типа (6.25), называемая с о бе т в е н н о й ф у н к ц и е й, описывающая распределение составляющей Е, для волны типа Е„„в данном волноводе. Числа и и и называются индексами данного типа колебаний. Физически они означают число стоячих полу- волн, существующих вдоль координатных осей х и у соответственно.
Поскольку индексы могут быть как угодно велики, в прямоугольном металлическом волноводе воз- Рис. 6.2. Картина мгновенного распределения силовых линий элеи- тромагнипюго поля волны типа Еп в прямоугольном волноводе. можно существование сколь угодно большого числа волн типа Е. Однако из сказанного следует, что волны типов Еа„и Е е не существуют. Для построения картин поля в волноводе на любом типе волны следует найти все остальные составляющие электромагнитного поля по формулам перехода (6.1). Не останавливаясь на деталях построения, приведем картину мгновенного распределения силовых линий вектороз Е и Н для простейшей волны типа Егг (рис.
6,2). Данная картина поля, в которой по обеим поперечным осям укладывается по одной стоячей полуволне, позволяет поспроить картину поля для любого более сложного колебания типа Е. При этом изображенное здесь распределение следует «повторить» такое число раз, которое равно значению индекса требуемого типа волны по той или иной координатной оси. Поскольку зависимости составляющих полей описываются гармоническими функциями координат, направление стрелок на силовых линиях в соседних пучностях стоячих волн должно чередоваться. Следует отметить, что по п~ричинам, которые станут ясными при дальнейшем изложении, волны типа Е в прямоугольном металлическом волноводе находят весьма ограниченное практическое применение.
!05 6.3. Вычисление критической длины волны и длины волны в волиоводе Основываясь на приведенном здесь анализе волн типа Е, найдем связь между продольным волновым числом, двумя геометрическими параметрами волновода — размерами сечения а и Ь и длиной волны возбуждающего генератора Л0. На основании материала,,приведенного в й 6.2, имеем (6.27) Напомним, что входящие в (6.27) постоянная распространения в свободном пространстве у и продольное волновое число й очень просто связаны с длиной волны генератора Лв и длиной волны в волноводе Лын (6.28) у='2п/Л0' й=2п7Лв В свою очередь, поперечное волновое число д, определяемое формулой (6.26) зависит лишь от геометрических ~размеров сечения и от индексов выбранного типа волны и совершенно не зависит от частоты. Формула (6.27) позволяет вскрыть важнейшую особенность.работы любого волновода рассматриваемого типа.
Если у>д, то продольное волновое число является вещественным, а это, как уже известно, означает распространение данного колебания в виде бегущих волн. Если длина волны генератора увеличена настолько, что у<у, то вместо бегущей волны в волноводе существуют нераспространяющиеся колебания, амплитуда которых экспоненциально уменьшается по координате г. Об этом свидетельствует мнимый характер продольного волнового числа Ь. Граничный случай возникает, когда т,равна д'. Прн этом й=й и, как следствие, Л„=ос. Принято говорить, что в данных условиях рассматриваемый тип колебаний находится в критическом ~режиме. Значение длины волны генератора, соответствующее случаю у=у, называется критической длиной волны для данного типа колебаний в исследуемом волноводе и обозначается Л„р.-Во избежание недоразумений в ряде случаев приходится указывать, к какому типу колебаний эта величина относится, или, по крайней мере, обозначать индексы рассматриваемого типа колебаний, )06 Из приведенных рассуждений следует, что (6.29) уир — — 2пфвр=д, откуда 2и 2 Лир и 'в'(вл/а)в+ (о/Ь)в (6.30) Связь между тремя волновыми числами (6.27) может быть выражена через соответствующие длины волн следующим об!разом: 1/Л,",= 1!Л', — 17Л'„,.
Это равенство показывает, что при изменении величины Л, длина волны в волноводе изменяется не пропорционально ей. Закон зависимости длины волны в волноводе от длины волны в свободном пространстве носит название дисперсионной ха р а ктер исти к и волновода.
В явном виде эта характеристика описывается фор. мулой, вытекающей из (6.31): Лв Лв— )7'1 — (л,7л„,)в ' (6.32) Легко заметить, что вывод формулы (6.32) основан только на двух предпосылках: пропорциональности комплексных амплитуд бегущих волн множителю е — 1"' и существовании понятия критической длины волны.
Поскольку обе предпосылки справедливы для любого ти- ла па колебаний в полом метал- ла лическом волноводе с произ- 1 1 вольной формой поперечного сечения, то полученный ре- 1 зультат имеет универсальное 1 значение для всех рассмат- 1 риваемых волноводов. Разница будет обнаруживаться лишь в различных способах р лвр ла вычисления величины Лир. Рис. 63. дисперсиопиаи ха- Диспероионную характе- раитеристииа аолиоиола. ристику волновода весьма удобно изобразить на,г!рафике, подобном приведенному на рис. 6.3. Вся область длин волн, меньших, чем й„р, является областью «прозрачности» данного' волновода на рассматриваемом типе колебаний; причем, если Ла((Лир, то длина волны в волноводе лишь в очень ма- 107 лой степени отличается от длины волны в свободнбм пространстве, всегда превосходя ее.
Если Хл на графике рис. 6.3 стремится к Л,ч, слева, то длина волны в вол оводе стремится к бесконечности. П~ри переходе Х, через граничное значение Х„р в волноводе имеются уже не бегущие, а экспоненциально затухающие волны. Всю область частот, которой соответствуют Х~)Х„р, называют областью «непрозрачности» или областью отсечки.
То, что длина волны в волноводе всегда превосходит длину волны в свободном пространстве, обусловлено тем, что как волны типа Е, так и волны типа Н в волноводах с идеально проводящими стенками распространяются с фазовыми скоростями, большими, чем скорость света в вакууме с (см, й 5.4). Поскольку фазовая скорость, длина волны и частота связаны .очевидным соотношением, из (6.32) следует формула для вычисления фазовой скг1рости пф= с~р 1 — (1 /З. р) (6.33) 6.4. Волны типа Н в прямоугольном волноводе Н„= Е„=- х — ~ д (6.34) Н )Ь дн~ я' ду ~<о;~, ддН Е,= — ',' — „', д' дх По аналогии с рассмотренным в й 6.3 составляющая Н, должна удовлетворять уравнению Гельмгольца, решение которого должно искаться в виде Н, (х, у, з) = Н, (х, у) е '"'. (6.35) 108 Волны типа Н характезизуются тем, что здесь магнитное поле имеет продольную составляющую Н„в то воеья как электрическое поле поперечно, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
