Баскаков С.И. Основы электродинамики (1973) (944136), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Однако важно подчеркнуть, что на критической длине волны 6=0, оф=оо. Теперь можно сформулировать основной вывод из приведенных рассуждений. Каждый тип колебаний с индексом т может существовать как бегущая волна в области длин волн, удовлетворяющих неравенству 1'0~ (Хк» т. Волны, более длинные, чем Х„р, по волноводу на данном типе колебаний распространяться не могут. П~ринято говорить, что область частот, удовлетворяющая неравенству Х»>А„р, является о б л а с т ь ю о т с е ч к и данного типа колебаний. Тип волны, обладающий наибольшей критической длиной, носит название о с н о в и о г о (или низшего) в данном волноводе. Для рассматриваемого здесь двухплоскостного волновода низших типов волн два — это типы Е~ и Нп для них Х,»=2а.
Итак, если длина волны генератора превосходит удвоенную ширину волновода, то никакие волны Е- или Н-типов распространяться в нем не могут. Если 2а~)»>а, то в волноводе могут 94 существовать лишь волны низших типов. При 1е(а появляется возможность возникновения двух волн высших типов Ез и Ня и т. д. Знание критической длины волны позволяет для конкретной длины волны генератора определить фазовую скорость на любом типе колебаний: Аналогично находитсп длина волны в волноводе: (5.11) Формулы подобного вида будут часто встречаться в даль- нейшем. 5.7. Связь между продольными и поперечными составляющими поли направляемых волн Результаты, полученные в предыдущих параграфах, носили скорее качественно-геомет!рический характер. В данном параграфе будет развит метод анализа направляемых волн, основанный на решении уравнений Максвелла н при~годный для весьма обширного класса волноводных структур.
Основным здесь является то, что анализируемая направляемая волна представляет собой неоднородную плоскую волну. В случае, когда за ось распространения выбрана ось г, комплексная амплитуда любой составляющей электромагнитного поля может быть записана в виде А=А,(х, у) е и'. (5.12) Этот, вообще говоря, довольно частный вид зависимости поля от пространственных координат позволяет весьма просто выразить производные от поля по ьч дА ° д'А д — 1ЬА, д, — — Ь'А и т. д.
(5.13) Пусть элекпромагнитный процесс в области, свободной от источников, описывается уравнениями Максвелла го! Н = уае, Е; го! Е = — )ар,Н. 95 В развернутой форме будем иметь дН дНх дН„. дН, д "— -д * =ухе Е„, (5. 14) дН,„дй„ вЂ” — "=)ом Е дх ду дЕ дЕд — — — )ххх Н, ду дх дЕ„ дЕ, — — -1"рчНх (5.15) Если теперь выразить производные по з в соответствии с (5ЗЗ), то системы (5.14), (5.15) упростятся: дН д + )йНа)хехЕх дН, — 1й Н вЂ” — *=раз Е, дх (5.16) дНд дН„ —" — — "=)ахи Е дх ду — '" +16 Ех — — — 1 рхН, дЕ ду дЕ,, (5.17) дйх дŠ— —.= -1 и Н, дх да Здесь принципиально важно то, что в соответствии с (5.!5) и (5.17) поперечные составляющие Е„, Е„, Н„и Н„представляются в виде линейных комбинаций из производных продольных составляющих Е, и Н, по поперечным координатам х и у. Действительно, рассматривая, например, совместно первое уравнение из (5.16) и второе уравнение из (5.17), получаем систему линейных 96 алгебраических уравнений относительно Е„и Н„, причем в правой части этой системы окажутся производные дЕа(дх и дН,~ду.
Решая подобные системы уравнений, приходим к следующему результату; — 17 дЕ, дБ Еу — — —,1 Ь вЂ”." — аР,, — *) д' (а ду ' дх ) / дЕа дН 1 На — (ааа й )' у' ~ ду дх ) (5.18) Здесь д — поперечное волновое число данного процесса, определяемое в соответствии с (5.5) следующим образом: а=г~* — а =Г ч',а,— а'. (5.19) 7 — 1443 Равенства (5.18) могут рассмаприваться как формулы перехода между продольными и поперечными составляющими направляемого электромагнитного процесса.
Важность их состоит в том, что теперь задача сведена к нахождению лишь двух функций Е, и Н,; остальные составляющие определяются через них путем дифференцирования. Это еще раз подчеркивает принципиальное значение составляющих Е, и Н„по наличию или отсутствию которых условлено проводить классификацию направляемых волн.
Фактически решение даже несколько проще, поскольку для волн Е-типа составляющая Н,=О, а для волн Н-типа будем иметь Е,=О. ГЛАВА ШЕСТАЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ МЕТАЛЛИЧЕСКИЙ ВОЛ НОВОД В данной главе на основе методов, развитых в гл. 5, будут рассмотрены свойства полого металлического волновода прямоугольного сечения — линии передачи, находящей в настоящее время наибольшее п~рименение на практике. Сама задача об электромагнитных волнах в трубах с замкнутой формой поперечного сечения представляет большой интерес и требует для своего решения математических методов более общих, чем те, которые использовались при рассмотрении волн между двумя проводящими плоскостями. 6.1.
Постановка задачи Изучаемая здесь линна передачи представляет трубу с,прямоугольной формой поперечного сечения, изображенную на рис. 6.!. Размер сечения по широкой стенке будем всегда обозначать через а, размер по узкой 'стенке — через Ь. Данный волновод жестко связан с декартовой системой координат х, у, г способом, обозначенным на ФЪ рисунке. Отметим, что Внс здесь, как и всюду вдальл и нейшем, волновод пред- полагается 'бесконечно Рнс.
6Н. Прямоугольный метал- протяженным по оси г, колнческнй волновол. торая принимается за ось распространения электромагнитных волн. Будем полагать также, что в области внутри волновода находится воздух или вакуум, т. е. среда с электродинамическими параметрами за †вЂ, па=ив. Такая ситуация чаще всего встречается на практике. Стенки волновода предполагаются идеально проводящими, т. е. изготовленными из материала с удельной объемной проводимостью о=оо. Этим самым вводится предположение об отсутствии потерь в волноводе. 98 Наконец, следует сразу оговорить, что будут рассматриваться процессы в волноводе, п~роисходящие на всем протяжении оси з от — со до +со. Другими словами, не будем интересоваться тем, каким образом те или иные сторонние источники возбуждают колебания в волноводе.
Проводя аналогию с задачами, изучаемыми в курсе теории цепей, можно сказать, что здесь рассматриваются процессы свободных колебаний в волноводе. Изучение вынужденных колебаний в волповодах, т. е. решение задач о возбуждении волноводов заданными сторонними токами, требует ~развития математических методов, выходящих за пределы изучаемого курса. 6.2. Волны типа Е в прямоугольном волноводе Как уже упоминалось, волны Е-тнпа в линиях передачи характеризуются тем, что в их электромагнитных полях присутствуют продольные составляющие электрического поля, в то время как магнитное поле этих волн поперечно. Другими словами, здесь Е,~О, Н,=О. Этот несколько особый характер составляющей Е,,позволяет однозначно выразить все поперечные составляю.
щие электромагнитного поля любой волны типа Е через частные производные от Е, по поперечным координатам на основании формул (5.18). Поскольку здесь Н,=О, формулы перехода принимают следующий весьма простой вид; — )а де, х — дв ах )чы дЕ, Н„= — ' —" и' дц (6.1) — )а де~ Š— а к у К'Ег + Т'Ет = О. (6.2) 99 7' Таким образом, если удастся найти составляющую поля Е, в каждой точке внутренней области волновода, то задача будет решена полностью.
Для этого необходимо воспользоваться у~равнением Гельмгольца, которому удовлетворяет любая составляющая, в том числе н Е;. Решение этого уравнения будем искать в виде, характерном для всех волноводных задач, которые будут рассматриваться в дальнейшем: Е, (х, у, г) = Е, (х, у) е '"'. Здесь Е,(х, у) — подлежащая определению вещественная функция, описывающая распределение поля в поперечной плоскости волновода.
Независимость амплитуды поля от продольной координаты а объясняется тем, что, по исходному предположению, источники потерь в исследуемом волноводе отсутствуют. Изменение фазы вдоль оси распространения описывается экспоненциальным множителем вида е — м". Знак в показателе экспоненты указывает на то, что решение вида (6.3) соответствует бегущей волне, распространяющейся в положительном направлении оси з. Продольное волновое число й в отсутствие по~ерь является вещественным и должно быть найдено, исходя из геометрических размеров сечения волновода и рабочей длины волны генератора 3а. Избранный вид решения позволяет несколько упростить исходное уравнение (6.2).
Действительно, подставив (6.3) в (6.2) и воспользовавшись правилом дифференцирования экспоненты, будем иметь следующее уравнение относительно неизвестной амплитуды Е,(х, у): Е,+ я'Ет =О. (6.4) х=О, х=а, Е,=О при у=о, у=Ь. (6.5) Здесь р' = д'/дх'+ д'/ду' — поперечный оператор Лапласа, действующий на неизвестную функцию лишь по координатам х и у; д= ~/у' — й' — поперечное волновое число. Необходимо найти не просто общее решение уравнения (6.4), а найти такое решение, которое на идеально проводящем контуре сечения волновода удовлетворяло бы очевидным граничным условиям Е, =О. В общем случае следует предполагать наличие всех трех составляющих электрического поля.
При этом составляющая Е, является тангенциальной ко всем четырем стенкам волновода и должна обратиться на них в нуль: Составляющая Е„должна обратиться в нуль лишь на широких стенках волновода, параллельных оси х: Е„=о при у=о, у=Ь. (6.6) Наконец, на узких стенках следует требовать обращения в нуль составляющей Есл Е„=О при х=о, х=а. (6.7) Е,=о при х=о, х=-а, (а) у=О, у=Ь, — *=О при у=о, у= — Ь (б) (6 6) дх дЕ, дз — *=О при х=о, х=а. (в) Очевидно, что условие (а) обеспечивает постоянство Е, на контуре сечения волновода и автоматическое выполнение условий (б) и (в).
Таким образом, волны типа Е в прямоугольном волноводе описываются ~решениями следующей краевой задачи: т7'Е, + д'Е, = О, Е,= О при х=о, х=а, у=О, у=Ь. (6.9) В математической физике краевая задача, в которой искомая функция должна обратиться в нуль на границе области,,носит название однородной краевой задачи Дирихле. 1о( Однако легко убедиться в т и,, что граничные условия (6.5) — (6.7) не независимы.
Действительно, согласно формулам перехода (6.1) в случае волн Е-типа поперечные составляющие электрического поля Е„ и Е„ пропорциональны частным производным дЕ,(дх и дЕ,/ду соответственно. Таким образом, приведенная система граничных условий может быть выра кена через Е, и ее производные по поперечным координатам; Интересно отметить, что для,рассматриваемой электродинамической задачи легко найти механическую аналогию. Оказывается, что краевая задача вида (6.9) возникает при рассмотрении колебаний однородной жесткой мембраны прямоугольной формы с размерами сторон а и о. Роль искомой функции выполняет смещение точки мембраны относительно положения равновесия в направлении, перпендикулярном ее плоскости. Нулевое условие на границе эквивалентно жесткому закреплению краев мембраны. Попьпаемся подытожить основные результаты на данном этапе исследования.
Итак, получена строгая математическая формулировка проблемы распроспранения волн типа Е в прямоугольном волноводе в виде краевой задачи, причем уравнение (6.4) принципиально проще исходного уравнения (6.2), поскольку первое из них описывает лишь колебания поля в поперечной плоскости, в то время как второе относится к Прехмерному волновому процессу. Решать данную краевую задачу будем с помощью так называемого метода разделения переменных, часто называемого также методом Фурье (отметим, что этот метод не имеет ничего общего с рядами или интегралами Фурье).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
