Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K.). Tom 4. Funkcii kompleksnogo peremennogo (2001)(ru)(T)(365s) (940504), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Пм Опрелеление 4. Функция > коиформно отображает окрестность От тачки г = оо аи окрестность О, точки ве, есаи функция в = > (С) кон4орина отображает окрестность точки й = О иаО л. Опралеление 5. Функция >' каи4армна отображает окрестность 0 тачки г = со яа окрестяость 0' тачки в = со, если 4>акция в = -+т кае4армиа отображает окрестность тачки (с) 6 = О иа окрестность точки в = О. 4.6. Плоские физические поля и пх связь с апялптпческпмп фупкцпямп.
Пусть в некоторой области С б С задано плоскопараллельное векторное поле Е = (Р, Гх). Функции Р, = Г,(я, р), Рх = Р (х, р) считаем дифференцируемыми в области С. Пусть поле Р потенциальное, т.е. дРх дР. гог Р = — х — — = О, д* др 72 Гл. 2. Комплексные числа и функции комплексного переменного и соленоидальное, т. е дР, дР„ О)т Р = — * 4 —" = О. (2) дх ду Из (1) следует, что дифференциальная форма Р дх + Р„!(у = и (3) является полным дифференциалом некоторой фунюзии и = п(х, у), которую называют лотелциалом поля Р: Р = 'уи =. пгаб и. Из (2) получаем -Рт !(х 4 Р !(у = !(е Фу!!кция е = е(х, у) называется функцией тока.
Рассмотрим функцию (4) (5) (6) ю = 7"( ) = а(х, у) Ч !е(х, у). Из (3) и (5) имеем ди де дп дс Р = — = —, Гт= — = — —. дх ду' " ду дх (7) Следовательно, 7 Е А(6). Таким образом, всякому потенциальному и солепоидальному плоскопаркщельному векторному полю Р соответствует аналитическая функция, полностью определяющая это поле.
Эту функцию называют комплексным потенциалом векторного поля Р. Наоборот, каждой аналитической в обласги 6 функции 7 соответствует плоскопараллельное векторное поле Р, для которого 7 является комплексным потенциалом. Ил!еем очевидное равенство 2. Электростатическая ннтерпретаюва векторного паля. Рассмотрим плоское электростатическое поле, заданное вектором напряженности Е. Известно, что оно потенциальное, т.е. Е = — 37р, (11) где (а — потенциал электростатического поля.
Для произвольной замкнутой гладкой или кусочно- гладкой кривой Г С С имеем й,!Ь= О, (12) г поскольку этот интеграл равен работе по перемещению единичного заряла вдоль контура Г, Интеграл й„!(а г (13) Р = ~'(г). (8) Векторное поле Р может иметь различную природу. Рассмотрим некоторые конкретные поля. 1. Гилродииамическая интерпретация векторного поля. Пусть Р— поле скоростей стационарного плоскопараллельного потока несжимаемой жидкости, плотносгь которой р = сопя!. Это поле потенциальное и соленондальное.
Его соленоидальность означает, что в данной области 0 отсутствуют источники жидкости, другими словами, поток жидкости через произвольный замкнутый контур Г С 6 равен нулю: Р„г(а = 1 -Рт !(х+ Р„г(у = О. !' г Потенциальносгь поля скоросгей жидкости означает, что циркуляция жидкости вдоль произвольного замкнутого контура Г С С равна нулю: Р, (а = ~ Р„!(х + ~„!(у = О.
(1О) г г в4. дифференцируемые и аналитические функции. С- и Кз-дифференпируемость 71 согласно теореме Гаусса равен 2л, умноженному на алтебранческуто сумму зарядов, содержащихся в области, ограниченной контуром Г. Отсюда следует, что в области, в которой заряды отсутствуют, поле Е будет соленоидальным. Таким образом, при изучении плоскопараллельных электростатических полей в областях, в которых отсутствуют заряды, удобно пользоваться аппаратом аналитических функций. 4.7. Нерввецство Лагранжа.
Пусть материальная точка движется прямолинейно. Если ее начальное и конечное положения совпадают, или направления движения в начальный и конечный моменты времени противоположны, то она должна иметь в какой-то момент времени скорость равную нуяю, т.е. обязана остановиться. В математике эти простые физические явления описываются классическими теоремами Рол»ш и Дарбу.
Справедливы ли классические теоремы Роллл, Дарбу и Лагранжа для функций вида /: К С? Физическое истолкование производной как скорости движения матернальиой точки в плоскости С позволяет ответить на поставленный вопрос. Двнгалсь на плоскости, материальная точка может вернуться в исходное положение без остановки в какой-либо момент времени, и в этом состоит одно нз принципиальных различий движений на плоскости и на прямой. Примером, подтверждающим сказанное, является вращение материальной точки вокруг неподвижного центра, математической моделью которого служит функция /: К С, где /(х) = е**, Рт — — [О, 2л].
Действительно, /(0) =- /(2л) п /'(х) = те* ф 0»тх б [О, 2л]. Поэтому сушествукн такие функции / . К -ч С, лля которых утверждения теорем Ролла и Лагранжа несправелдивы. Теорема Дарбу бьша основана на том факте, как отмечалось выше, что при прямолинейном движении материальной точки для изменения его на противоположное требуется, чтобы скорость в какойгщ момент времени обратилась в нуль. Подтверждением того, что, двигаясь на плоскости, материальная точка может изменить направление движения на противоположное, имея в каждый момент времени ненулевую скорость, служит пример движения точки по полуокружности, задаваемого функцией /: К ч С, где /(х) = те*, Рг —— (О, тг]. Векторы скорости /~(0) н /'(л) противоположно направлены, и тем не менее вектор /'(х) ненулевой чх б [О, л].
Следовательно, утверждение теоремы Дарбу для функций из К в С несправедливо. Физическое истолкование производной указывает правильный аналог теоремы Лагранжа для функций /: К С. Если /(а) — начальное положение движущейся материальной точки и ее скорость по модулю не превосходит числа о = Ц/»Ц = шр (/'(х)(, то за время 1 = Ь вЂ” а она не *еот может попаси за пределы окружности у = [ш б С: (ш — /(а)( = о(Ь вЂ” а)]. Теорема (Лагранжа). Пусмь фупкция [а, Ь] — » С непрерывна по [а, Ь] и дифферепцируелто в / каждой гоочкг интервала (а, Ь). Тогда слроведливо неравенство (/(Ь) — /(а)( ( Ц/ Ц(Ь вЂ” а), (1) где Ц/'Ц = зцр (/'(х)(.
*ш ы ° Пустыр б Атя(/(Ь) — /(а)). ТОШа (/(Ь) — /(а)( = е тч(/КΠ— /(а)) = (е 'е/)(Ь) — (е ге/)(а). Полагаем е *'/(х) = а(х) + то(х) чх б [а, Ь]. Имеем (/(Ь) — /(а) ( = (и(Ь) + ъо(Ь)) — (а(а) + то(а)) = и(Ь) — н(а) + По(Ь) — о(а)). Начало цепочки равенств показывает, что ее конец является действительным числом. Поэтому о(Ь) — о(а) = О. По теореме Лагранжа лля функции и существует такая точка Ц б (а, Ь), что (/(Ь) — /(а)( = и'(Ц) (Ь вЂ” о) ( (/'(Ц)((Ь вЂ” а) ( Ц/ Ц(Ь вЂ” а). В Рассмотрим примеры, 70.
Доказать, что фунщтия со = з» + 2х + 3 однолнстная в области б = (е б С: (х( ( 1]. ~ Пусть (х,( < 1, (х»( ( 1 и х, Ф х», Покажем, что то(х») Ф ео(х»), т.е. (ш(щ) — со(х»)( > О. Действительно, ( = [ — х ((х» + е» + 2( > ( — х,((2 - (х,( - ]; О. 74 Гл. 2. Комилексиме числа и функции комплексного переменного 71. Доказать, что функция 5 хзуз хзуз О если х оо О, при а=О, не дифференцируема в точке г = О.
м Покажем, что бщ К552 не существуе~, откуда и будет следовать справедливость утверждеа ния. Пусть 2 = х+ оу, тогда Пусть у = х — О, тогда з -7 О и 1пп — '*' = 1цп З-*т — — -'. Если а = х — О, то 1!гп Оз = О. *-о о * г о следовательно, 1цп -" — ~*-1 не существует и функция в не дифференцируема в точке 2 = О. м =-о 72. доказать, чго функция в = хз -Зху'4 !(Зх у — у' — 1), 17 = С, является аналитической. м действительно, функции и = хз — зхуг, е = зхгу — у — 1 дифференцируемы, и условия Коши — Римана выполняются: г — = Зх — Зу, дх д" 2 г ди — = Зх — Зу, — = -бху, ду ' ду ди де — -1-о' — = Зх — Зу + обху.
М дх дх де — = бху, дх 73. Функция в = 5(з) = и(х, у)+ ос(х, у) имеет в точке з б )77 свойства: 1) и и е — дифференцируемые функции; дв 2) существует 1!ш а* о дг Доказать, 'по либо 5, либо 7 дифферснцируема в точке 2. М Поскольку дв = ди + 7 де, дз = дх Ч- 2 ду, то дв диг 4- дог дг дхг 4.
дуг По условию сугцествует 1цп ~ о ~, Этот предел не зависит от способа стремления Дг к нулю. ь*-а Взяв дг = дх, получим 1нп — = — + Если Дз = 7 Ду, то !лп — = — 4- Следовательно, 7 5 5 7 хзуз +хзуз х — — ( г+ 2)г у О О 4 4 О хзуз — хзуз +5, если з~О, (х2 ! у2)2 при а=О. яд. Дифференцируемые и аналитические функции. С- и 1К~-днфференцнруемосгь 75 Из дифференцнруемости функций и и о в точке г = (х, у) следует, чго их приращения в этой точке имеют вид ди г5и = Ж+ о( Ьхг+ гзуг) = — ггх+ дх д» Ло = гЫ- о( Ьхг+ гауз) = — гух -1- дх ди — ь, +.(,/д'тгьр), ду де — ьг чотатЖ ду д„г, д„г Выражение — -т д "г записывается в виде Ьи' ч Ье' —,— г(г — — . — —.") даду га а а.а (а аг а ао о(ггх +гад ) г + Дхг.г Д г гг.г ч дуг Принимая во внимание равенство (1), имеем + о(1).
Ьхг+ гауз 1,дх) 1,дх) Ьхг+ гууг и и /в/=гг(ау+(;— .)', ди ди до до — — ч — — = О. дх ду дх ду Последнее возможно лишь в случаях: а) — = —, — = — — "; б) — = — —, — = — В а а а а . а а а а а = а, а, = а а = аз' а„ = а случае а) функция Т дифференцируема, так как для нее выполняются условия Коши — Римана. В случае б) условиям Коши — Римана удовлетворяет функция У. Таким образом, либо (, либо Г" днфференпируема в точке г. р 74. Пусть ((з) = и(х, у) Ч- го(х, у) — аначитическая в области Р функция.
Доказать, что если гуз б Р и + по+ о = а (и = сопзг), то Х = сопзг в Р. м Проднфференпнруем тождество из+ ив+ ог = а по х н по у. Получим ди до ди до (2и+ о) — ь (и ч-2о) — = О, (2и+ о) — -ь (и+ 2о) — = О. (1) дх дх ду ду Допустим, что существует точка за Е Р, в которой /'(за) ~ О. Тогда система уравнений (!) относительно 2и+ о, и+ 2» имеет лишь тривиальное решение Уг б 0„, т.е. и = о рз О, что противоречит предположению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
