Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K.). Tom 4. Funkcii kompleksnogo peremennogo (2001)(ru)(T)(365s) (940504), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Тогда 1пп а" = оо и 1!ш — '„= О. Записывая общий член последовательности ((„) в виде Гл. 2. Комплексные числа и функцив комплексного переменного 57. Доказать сходимость последовательности (Ь„), где и+ 1-Ь па+ (и — 1)з~+ ... + з" 1+и если !4 ( 1 и з Ф 1. Найти ее предел. м Рассмотрим последовательность (г) ), где и„= з(„!гп б г(, и образуем разность и„— („= — 1. Тогда („= -„-'--р-,-'--; Ь вЂ”, ,- з +2 Поскольку /з/ ( 1 и з ~ 1, то последовательность ('...*) ограничена и 1!гп,* ...„', = О. Поэтому последовательность ((„) сходится и !пп („=— 1 — з 58.
Доказать, что все предельные точки последовательности (а„), где 1'+ 2п+ ... -Ь и" а„= 1Е $'., п принадлежат окружности 7 = (з б С: )з) = — ' — ) . 1гыи м Из очевидного неравенства следует, по все предельные точки последовательности (е" '"") принадлежат окружности радиуса 1 с центром в начале координат, а 1 ь=~ 1+В о Поскольку ),~,, ! = -; —;г, то все предельные точки последовательности (а„) принадлежат окружности з. Эдесь воспользовались тем, что функции комплексного переменного можно интегрировать по известным правилам интегрирования функций действительного переменного: если у(*) = Л(э) + (гз(э), У~ б гг(а, Ь), уз б К(о, Ь), то Г Е В(а, Ь! и наоборот, т. е.
г" б )2(а, Ь) «з Д б )2(а, Ь) Л )з б )2(а, Ь). Если à — любая первообразная функции у, то ич ~ и Функция э ~-~ — ',, является первообразной функции э ~-~ э' . ° 59. Пусть А С С, В С С, где А = (з Е С: з = д + (я; р б Е, д б Х, пз б г(, и б Ы), В = (з Е С: !з' — 1~ < 1) . Найти предельные точки этих множеств, замыкания и границы, Установить также, будут ли эти множества открытыми, замкнутыми и областями, м Точки множества А на плоскости Гс' имеют каждая обе рациональные координаты.
Из анализа известно, что множество () всюду плотно в К. Поэтому в каждой окрестности Оа(з) точки з б С имеется бесконечное множество точек из А. Поэтому А' = С, где А' — множество предельных точек А. Следовательно, А = С. Отсюда следует, что множество А незамкнуто. Поскольку множество всех иррациональных чисел также всюду плотное в К, то ни одна точка множества А не является внугренней. Поэтому А не является открытым множеспюм, а значит не яюгяегся областью. Установлено, что !уз Е С в каждой ее б-окрестности Оз(з) есть точки множеств А и С!А, т.е. дА =С. б 3. Непрерывные я гладкие кривые. Одяосвязиые я многосвязные области 59 Полагая х = ке з, у = (т е, множество В заладим в виде В = ((х, у) Е 32 : (х + у ) < (х — у ) ). Перейдя к полярным координатам, получим: В = ((р, уг) Е Гс~: р' < 2соз 2)г).
Граница этого множества дВ = ((р, р) Е !к'; р = 2соз2уг) — лемниската Бернулли. Поэтому множество В есть внутренность этой лемнискаты. Пусть (ро, )го) Е В, тогда ро < 2соз2)го, ро — 2соз 2уго < О. г г Поскольку функция зг г р — 2соз2зг непрерывная, то по свойству устойчивости строгих неравенств для непрерывных фуггкций существует окрестность Ог(ро, )оо) С В, в которой строгое неравенство сохраняется. Поэтому  — открытое множество. Пусть В = В, гг В,, где В,— множество всех точек из В, принадлежащих левой полуплоскости, В, — множество всех точек из В, принадлежащих правой полуплоскости плоскости 22~. Точка (О, 0) не принадлежит множеству В. Поэтому любую пару точек зг и зг, где з, б Вг, зг б Вг, нельзя соединить ломаной, все точки которой принадлежат множеству В. Поэтому В не является областью.
м бО. На примерах множеств Е, = (з Е С; 0 < !е( < -,' ) и Ег —— С убедиться в существенности условий теоремы Бореля — Лебега (см. теорему 3, п. 2.4). м Множество Е, не замкнуто, поскольку ему не принаддежит его предельная точка г = О. Полагаем Уп Е )4 0„= (з 6 С: —,-„-';т < гз( < —,'„). Семейство (б„) ен открытых множеств б„ покрывает множество Е,. Однако, никакое конечное семейство (Ог)гол (А — конечное множество) не покрывает множество Е,, поскольку их объединение ( С 0 не содержит множества гол Е', ' = (з Е С: ~г! < г,— „',т), где гп 6 СС вЂ” максимальный элемент множества А.
Следовательно, условие замкнутости в теореме Бореля — Лебега играет существенную роль. Ег = С вЂ” замкнутое, но не ограниченное множество. Открытые множества семейства (6 ) ен, где О„= (з б С: (4 < и), покрывают множество Ег. Вместе с тем, никакое конечное семейство (б„)еел гге образует покрытия комплексной плоскости С.
Таким образом, условие ограниченности множества в условиях теоремы Бореля — Лебега является существенным. М 61. Определить кривые, заданные следующими уравнениями !)з=1 — гС, 0<!<2; 2) з = С + гС, -со < С < +со; Зл 3) г = С -'; Ы, — оо < С < чсо; 4) з = а(соз С+ г'ып С), — < С < —, а > 0; 2 2 ' 5)а=С+-, -со<С<0; 6)с=С+о~/1-1, — 1<!<1; 7) з = — С + С~/1 — Сг, — 1 < С < 0; 8) г = а(с + г — ге ' ), -оо < С < +оэ, а > 0; 9) з = га + аС вЂ” гье ™, -гю < С < +со, а > О, Ь > О.
м 1) Пусть г = х + гу. Тогда х = 1, у = -с, -2 < у < О. Кривая, заданная уравнением а = 1 — гС, 0 < С < 2, есть отрезок у = ((х, у) Е !к':х = 1, -2 < и з< О). 2) Если з = х 4-гу = С + Вг, то х = С, у = С', т.е. у = х, -оо < х < 4-оо. Уравнение определяет параболу с вершиной в начале координат и осью симметрии — лучом 7, = (г Е С: Бег = О,!ще > 0).
3) По аналогии с предыдущим х = Сг, у = Сг = хг, 0 < х < +со. При изменении параметра С от -оо до 0 подвижная точка (х(С), у(С)) пробегает всю правую ветвь параболы сверху вниз, а при изменении параметра С от 0 до +ос она пробегает ту же самую ветвь снизу вверх. Уравнение определяет две противоположно ориентированные непрерывные кривые с одним и тем же множеством точек 7 = (а Е С: 0 < Ке з < +ос, 1т е = х') . 4) Уравнение определяет левую полуокружностгь заданную параметрически: * = асозг, у=аз(пС, -"<С<'— . 5) Пусть е = х+ гу. Тогда х = С, у = -, = —,, -со < х < О.
Уравнение определяет гиперболу г г (одну ее ветвь, лежащую в третьем квадранте плоскости хОу). 6) Из условий примера следует, что у = г/Т вЂ” х~, )х) < 1. Уравнение определяет верхнюю полуокружность Радиуса ! с центром а точке е = О. бО Гл. 2. Комплексные числа и !Ьункции комплексяого переменного 7) Из условий примера следует, что у = Л вЂ” хз, 0 ( х ( 1. Уравнение опредеяяет четвертую часть окру;кности радиуса 1 с центром в точке л = О. Все точки кривой принадлежат первому ква- М 2а дразпу плоскости хОу. 8) Уравнение определяет плоскую трансцендентную кривую — цихлоиду, О х являющуюся траекторией точки окруж- ! нос!и, катящейся по прямой линии без вас.
24 скольжения (рис. 24). Ее параметрцческие уравнения имеют вид х = а(1 — яп 1), у = а(1 — со!1), 1 Е К. Исключив параметр Г, получим уравнение циклоиды в декартовых прямоугольных координатах о — у х = а агссоз — зг 2ау — у'. а Циклоида — периодическая кривая, ее период (базис) 00, = 2яо. Точки О, 0„= (2йгго, 0), й б Х, — точки возврата. Точки А, Ас — — ((2Ь х 1)ло, 2а) — вершины. М 9) Из уравнения находим: а х=а 1 — — яп1, у=а 1 — — соз( О х Если Ь > а (Ь < а), то кривая описывается точкой, лежащей вне (внутри) окружности, которая катится по прямой.
В первом случае ее называют удлиненной циклоидой (рис. 25), а во втором — укороченной ццклоидой (рис. 2б). Иногда их называют глрохоцдой. Параметрические уравнения трохоиды записыва!отея в виде х = а! — дяпг, у = о — дсозг, где д — расстояние точки М от центра катящейся окружности. И вас. 24 л — л! )сл — л! 1 62.
Какая кривая определяется уравнением = 1 ~ ? — ~-( м Очевидно, что 1т -,--,з- = О, - —:";~- = а, а б В. Поэтому з = аз + а(л! — л!). Уравнение *! ! ' н *! определяет прямую, проходящую через точки л, и л!. и 63. Какие кривые определяются уравнениями 1) а=!а+па, а)0, -со<1<+ос; 2) л = -вЫсоз 1 — с яп 1), Ь > О, -со < 1 < +со? м 1) Рассматривая вектор а с началом в точке а = О, замечаем, что его конец описывает прямую, параллельную действительной оси (рис. 27). 2) Конец вектара л = Ысоз г4! з!и 1) с началом в точке а = 0 описывает окружность радиуса Ь в положительном направлении.
Вектор у = Ысоа(-! яп1) симметричен вектору л и, следова ьн 03. Непрермвные и гладкие кривые. Одиосвязиые и многосвязные области б1 точка г, = -гУ вЂ” результат поворота вектора У на угол — —,, пробегает указанную окружность в направлении движения часовой стрелки. Н 64. Для отображения м = з~ требуется: 1) найти образы линий а) х = с, б) у = с, в) * = у, г) !4 = )2, д) агу з = а и выяснить, какие из них преобразуются взаимно однозначно; 2) найти на х-плоскости прообразы линий и = с, в = с (и = и + !в).
М Пусть х = х + гу, тогда г' = х' — у + г2ху. Таким образом, и = хз — уз, в = 2ху. а) и = С'-у', в = 2Су и у = зо ~ и = С' — -,$~, если С и' О. Это уравнение параболы. Если С = О, то и = -у', в = О. Получили множество точек полуоси у = ((и, в) Е С: и ( О, в = 0) . б) и = хз — С', в = 2Сх ~ х = зо ~ и = —," г — С, есяи С и О. Линия у = С (С зч О) отображается на параболу в гшоскости вг.
Если С = О, то и = х, в = О. Мнолсество у = г ((и, в) Е С: и > О, в = 0) является пололсительной полуосью. В случаях а) и б) отображения взаимно однозначны, если С ~ О. в) у = х ~ и = О, в = 2хг. Множество т = ((и, в) Е С: и = О, в > 0) — положительная полуось. Отобралсение не взаимно однозначно, так как лучи, находяшиеся в первом и третьем квадрантах, переходят в одну и ту же полуось. г) Если ф = )2, то х = 2!е*в, Зр Е Агйз, г' = Н'енв, ~м) = тс'. Окружность радиуса )2 с центром в точке з = 0 отобрахсается на окружность радиуса тт с центром в точке м = О. Отображение не является взаимно однозначным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
