Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K.). Tom 4. Funkcii kompleksnogo peremennogo (2001)(ru)(T)(365s) (940504), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Окрестностью точки» в множестве М называется множество О', = О„. г) М. Совокупность всех окрестностей О', и» б М будем называть относительной топологией т' множества М. В дальнейшем окажется полезным следующее утверждение. Теорема. Пусть М С С вЂ” связное множество и А — его иепустое подмножество. Если А одновременно замкнуто и открыто в топологии т', то М = А. < Применим метод доказательства от противного. Пусть А' = М)А Фв. Рассмотрим замыкание А в топологии т. Очевидно, что оно состоит из точек его замыкания Л„в топологии г' и некоторого множества, не принадлежащего М.
Поэтому АпА =А ° гзА. Поскольку множество А замкнуто в юпологии г', то А, = А. Итак, А гз Л' = Л гз Л' =сз . Если Л вЂ” открытое множество в топологии т', то его дополнение А' — залзкнугое в той же топологии (предельные точки множества Л' не могут принадлежать А вследствие его открытости, следовательно, они принадлежат А'). Поэтому к пересечению А' гз А можно применить те же рассуждения, по и к А П А', в силу чего А' Г! А =!д. Соотношения М = А и А', А г) А' =в, Л' гз А =й!, Л Фа, Л' Фа противоречат связности множества М. Источник противоречия — в предположении, что МФА. м Рассмотрим примеры.
48 Доказать: » 1) если»„0 при и со, то (1+ — З! 1; 2) если»„1 при и со, то (! -1- — ) е. < 1) Оценим разность (1+ — *" ) — 1. Поскольку (1+ — *) = 1+ д,'С„ф, то ь ылв. 1,„1+ог-) 1~1 =е ( ") — 1=е" Х"з — 1 0 прим»со. Следовательно, (1+ гк) — 1. 2) Полагая зи„= »„— 1, получаем, на основании 1), что (!+-.) м(!+='+=.) =(!+-.') (!+а) .-(! 11 + — „" ) — 1 при и — со. Так как + -*'") е. !» или бесконечном количестве. Область С С С называется односвлзной, если ее граница дС является связным множеством. Поскольку дС вЂ” замкнутое множество, не имеющее внутренних точек, то граница односвязной области есть линейный континуум, Область, граница которой не являетсн связным множеством, г!азывается иеодносвлзной.
При этом, если число связных компонент границы дС конечное, то оно называется порядком связности области С. Если же множество таких компонент бесконечное, то С называется бесионечносалзной областью. Область С назовем компактной и обозначим С ~~ С, если существует круг Кл — — 1» б С: ~»~ ( Е < +со), содержащий в себе С. Считаем, что множество Е компактно принадлежит области С и записываем Е с С, если замыкание Е приналлежит С, т. е. Гл. 2. Комплексные числа н функции комплексного переменного 54 где (а„= з~ з! Тогда х !пв з„= О, !пп рзь = —, ь-, 4' т.
е. последовательность (у!„) Расходящаяся. М гг !пп рзь Ь гч В 50. Пусть ~~! 'Рь +ос при и — оо, где р„> О. Доказать, что если последоватеяьность ь=! Р!з!+Рзаз+ . +Р з (а„) комплексных чисел сходится к з, то и последовательность Я„= Р!+Рз+ +Р сходится к з. М Оценим !߄— з!. Имеем !߄— з! = < Р!(з! — з)+Рз(а! — з)+" +Р (х — з) Р!!г! — з!+р!)з! — 4+ ... +Р„)г„— з! Р|+Рз+ Р!+Рг+ +Р т. е. Рьр ) г=! р(Я„, л) < 2 Р.
ь=! Так как 2 Р„+со, то по теореме Штольца лля последовательностей действительных чисел ь=! Е Ргй(з ь=! !и! л) = 1пп Р„ч!Р(г„ч!, ?) = О. Р ы Следовательно, р(Я„, з) = о(1), т. е. 1пп Я„= а. и ч-~ (я!) 51. Найти предел последовательности (л„), где з ь=о м Докажем, что последовательность (а„) фундаментальная. Пусть е > О, и Е И, р Е М Тогда +г .ь~ +г (л!) 1 зг !як~я — а„! = ~~! — ( (~ — < е (ь= ы ' ь=+! !ч при всех достаточно больших и и УР Е р(, поскольку числовой ряд ~ — „, сходи но признаку Д'Аламбера, и сумма его остатка г„стремится к нулю при возрастании н р 4зль. Доказать, что последовательность (ага з„) может расходиться, если последовательность (з„) сходящаяся и 1пп а„ Ф О. м Рассмотрим последовательность (з„), где „= -1+!(=-О-.
Она сходится„и !!ш х„= — !. Поскольку ззь — — -1 + — *,, зм ! — — — 1 — — ' — т, то агяззь — — !г — агсгд — г а!вязь-! = -!г + ! 4ь ' !зг-!! гь агсга;;„--лт. Так как !пв агдам — — зг, (пп а!аз!а ! — — -х-, то гюследовательность (агля„) имеет ь- ь две предельные точки, в силу чего является расходяшейся. Заметим, что и в случае 1пп з„= О последовательность (ага з„) мохсет расходиться. Пусть, например, е !ям если и = 2(г, и если га = 2й — 1. вЗ.
Непрерывные н гладкве кривые. Одиосвязные н мяогесвязные областв 1нп Кех„= сося = — 1, 1)ш ! гп х„= з)п х = О. Следовательно, 1!ш х„= -1. ° . ах 52. Найти 1пв з„, если х„= 11+ — ), а = и в!)3. и Н Записывая х„= х„+ гу„= г„(соз р„+ ! Вп р„), имеем "="= ° -' =((" )'"®')'+'-:" ' ')' а У)3 а ю„= агах„= нага (1+ -) = пагсгд ( — (1+ — ) так как при больших значениях и точка х„находится в правой полуплоскости Я = (х Е С ! Кех > О). При и со 1-Ь ~ + — )тд- 1 Ь вЂ” ' -('-( .-) )--( .-) -"Р( -.) )- (-) Следовательно, 1!ш г = ехр ~ йт — . -1 = с, йш р„= У), йш х„= с" (соз)3+ Уз!п)3) = е ь Е.
!ь з) 53. Пусть последовательность (х„) комплексных чисел такая, что последовательность (ю„), где ю„= з„— (у „н ~д! < 1, сходится. Доказать, что последовательность (х„) сходится, и найти ее предел. Н Поскольку последовательность (ю„) сходится, то она ограничена (см, п.2.3), т.е. ЗС > О: тгп Е Ут' )ю ( < С. Пусть М = шах((хз), С). Докажем, что тгп Е О( М )х ((~ (1) 1 ! я Оценим хо Из условия примера получаем х~ = ю1+ сам /х1' < /ю1/+)юу)/ха! < С -~- )д/)ха! < М(1+/у)). Пусть ус б уч', й > 1, и справедливо неравенство !хь ~ < М(! + !д!+ ...
+ ~д!"). В силу высказанного предположения имеем ! ь,1! < !юь!+ !р! !хь! < М+ !р!М(1+ !р!+ " + !р! ) = МП + 1р!+ ". + 1р! ' ) Методом математической инаукнии доказано, что )гп б 1Ч выполняется оценка ) ! „!(М~ ~~!" =и <, ь=о (2) (3) Неравенство (1) установлено. Из соотношений 2 2 з + Ч» ~ = ю„+ ею„г+ д х„з = ю +гую„~ + Е ю„, + р х„, = было показано (см.
теорему 1, п. 2.3), что сходимость последовательности комплексных чисел равносильна сходимости последовательностей ее действительной и мнимой частей. Поскольку 2 -1 Кез„= 1 — в + ... + (-1) Т "—,, если и четное, и Ке х„= 1 — —, + ... + ( — 1) з —,„„„если и 1 -ы 3 нечетное, 1гпз„= х- —, +... +(-1) з — „„если и четное, 1гпх„= я — —, +... + (-1) з если и нечетное, то !"л.
2. Комплексные числа н функции комплексного переменном) бб имеем о'(и Е И, р < и — 1) Р . = 'Е ш-- Ч' -Ч"" --,— . (4) й=о Принимая во внимание, что последовательность (ш„) сходится, и обозначая го = 1пп ш„, получаем: — — = ) . Ч"+Ч"" з,.—,— — ~~ „Ч' = ~>,( .— — )Ч'-(Ч"" .— — — ~~, Ч (б) Ч й=о й=о й=о й=рй! Поскольку !Ч! < 1 и !г ! < , ! !, то р-!- ! 1 — !Ч! при р — ! оо, при возрастании р. Следовательно, ш 2, Чй =. о(1). Каким бы ни было фиксированное р Е (Ч, й=рй! !уг > О 3п, Е И !'оп > п, справедлива оценка г Р Р (ш„й — ш)1 <~ ~ (ш„й — ш! (Ч! < е ~~! !Ч! < г ~~! (Ч! = г = е!, 1 — !Ч! й=о й=о й=о й=о г т.е.
2 (ш„-й. — ш)Ч = о(1), так как !!гп ш„=ш. Таким образом, ш и г„— = о(!), 1!гп з„= - п(' 54. Пусть а„= а, + (и — 1)!(, где а, > О, г( > О, и пусть „= П 1+ ! — ~, п Е (й(. ай ~ Доказать: 1) (г„! — г„! = г!! —; '(! а,' к где г„= г„е'г", г„> О, О < Ог„г! — Чг„< —. 2 М 1) Поскольку (" —.',) =П". ай а, й=! (-!'= -==П то !з ! — г (= !г„! 1+! (— 2) Из условнб задачи следует, что П '+' —.„=Е" ага!а ~/ —, ай' й-..! откуда непосредственно следует равенство (о„й! — )о„= ага!а ~/ —.
Ч -. т.е. Ч""'г„„, = о(1). Так как (ш! Е ширял 2 ,'Чй сходится, тосуммаегоостатка гр —— 2,' Чй О й=о о=ой! й 3. Непрерывные и гладкие кривые, Односвязиьге и многославные области 57 Поскольку агсгй* х прн е- О и ]пп — „=О, то о„, — Ээ„,/ — прн п- со. Поэтому э Иэ г„м — г„1 э/а„ээ — /а„.„э/о,,э — э/о„.„)] 1 агс]й . Ч .Ч -,.и 1+ — — 1 = ]4- — ч-о — — 1 = — — +0(1), ээ„.„— ]э„2 Ч а, 55. Найти !пп (! -Ь э ) м Пусть э„= (1 ь э'-]"--;), тогда и (э„( = 14-, аэйэ„= лаге!и (пэ — !)э ) ' пз Поскшгьку э гэп22 п л = 1, агс]й и п 1]пэ и агсгй !пп — = ], и — 1 ° — и — 1 2 э Ьи 1пп ]з„( = е"- 1 1 1 ~„=! — — =1 — —.
1+ а" а" 1+ — '„ находим: 1!и ь = 1. Пусть теперь !а(= 1 и Чп Е ]э] а" и' — 1. Тогда а = е'е, ]э = агйа, а" = ее" е и соэп]э и' — 1. Для укаэанных значений а имеем Эч ег"' еэ"е(1+е э"") ег""+1 2(сшз эн+]э!а-знсгн-"зн) ! пр + ]!в 1+еэ" (1+ег" )(1+е-ы ) 2(1+с пр) 4соаэ ек 2 2 Последовательность (галан) сходитсЯ лишь пРи ]э = О, т.е. а = 1. ПРи этом полУчаем 1!ш О = -. Слеловательно, последовательность (О„) сходится, если )а( < 1, ]а) > 1 и а = 1. а то 1пп э„= соэ] 4- гэ]о! = е'.
М 56. Выяснить, при каких значениях комплексно~о параметра а сходятся последовательно- а" стн (э„) и (('„), где э„= а ]4-а" и Если ]а( < 1, то иэ равенства (э„( = (а(" следует, что !пп ]з„( = О и Ит " = О. Если Ж ]а~ > 1, то ]э„| +со и з„оо, т.е. последовательность расходящаяся. Пусть ]а! = 1, тогда а = е*", р = ага а и э„= а" = е*"". Поскольку ]э„( = 1, то 1пп (э„) = 1. Последовательность (пр) при р и' О предела не имеет, а при ]э = О йгп пр = О.
В последнем случае а = 1, э„= 1, 1]гп з„= 1. Таким образом, последовательность (э„) сходится лишь для ]а( < 1 и а = 1. Для последовательности ((„) рассмотрим те не сяучаи значений параметра а, которые изучены выше. Если (а| < ], то 1!гп а" = О, 1]ш (1+ а") = 1, 1пп —,„= О, т.е. ]пп ('„= О. Пусть (а( > 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
