Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K.). Tom 4. Funkcii kompleksnogo peremennogo (2001)(ru)(T)(365s) (940504), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

20 видно, что в криволинейном треугольнике длина стороны, равная ~з — Ц, не превышает суммы длин двух других сторон, одна из которых есть дуга окружности радиуса ~з~, центральный угол которой равен ~ агах), а длина другой равна ~ (х~ — 1!. Знак равенства возможен вишь в случае, когда агд е = О. М вас. 19 29. Доказать тождество ~в, ч-з,Г+ ~г, — гз1' = 2(~х1~~ -ь ~х,~~) и выяснить его геометрический смысл. < Пусть х, = х, + (ры х, = х, -Ь (Ш. Тогда е, + гз — — х1+ хз+ 1(у, + уз), х~ — вз = х, — хз + ((ул — УИ, + ~2 ( + )з ( + )2 — 1' = (х — )' + (у — р ), (~, + ~~! + /~, — ~~! = 2(х, + хз) + 2(р~ + уз) = = 2Дх| -ь у, ) + (хз + уз)) = 2(~ в~1 + Ц ). В каждом параллелограмме сумма квадратов длин диагоналей равна сумме квадратов длин его сторон, и ЗО.

Доказать, что если )з,) = 1аз! = !хз~, то хз — вз 1 вз агв — = — агв —. ез — е, 2 ° Точки еы аз, хз лежат на некоторой окружности с центром в начале координат. Рассмотрим векторы вз — в,, вз — хы х,, хз (рис.21), угол агй-,"зг-*,-з = агй(хз — хз) — агБ(хз — х,) опирается на *3 дугу окружности, соединяющей точки х, и х,. центральный угол агв-,з = агй ез -агй х, опирается на тУ же самУю дУгУ.

По известной теоРеме из элементаРной геометРии шй-*з=лз = ' агвах *э *! з в 1. Комплексные числа и комплексная плоскость 39 31. Доказать, что если г, + гз + гз + г4 = О и ! гз( =? гз! = ~гз? = 1ггй то точки г,, гз, гз, г4 либо являются вершинами прямоугольника, либо попарно совпадают. м Все четыре точки лежат на окрузкности с центром в начале координат и при этом а~ +г, = -(аз+ г„), Векторы аз Ч-гз и -(аз+ад) совпадают но модулю и по направлению лишь в случае, когда, например, л, = л,, У гз г4 — — лз или г, = гз, гз = гя В первом случае точки л,, г„ гг гз, гз — вершины прямоугольника, М 3-г 32.

Найти вершины правильного п-угольника, если его центр находится в начале координат, а одна из вершин г, г известна. 1 м Известно, что значения (гг лежат на окружности ра- в диуса ~г~ и являются вершинами правильного п-угольника. Поэтому у=О, и — 1, м у .зг 33. Точки г, и гз — смежные вершины правильного и-угольника. Найти вершину г,, смежную с гз (гз Ф г|). , 3 , 3 М На Рис.22 видно, что гз — лз — — (г, — г,)ез . Следовательно, лз — — г, +(гз — г,)е* .

Если зз вершины занумерованы в обратном порядке, то г, = г, + (г, — г,)е ' 34. Даны три вершины параллелограмма г,, г,, г,. Найти четвертую вершину л„, противоположную вершине гз. У гз м Рассмотрим рис. 23. Поскольку векторы г, — г~ и гз — гз коллинеарны, и их модули равны, то л, — лз = г, — г,, л, = дх г~ + гз гз г ~,з 72 35.

При каком условии три попарно не совпадающие точ- хх ки г... г, лежат на олной прямой? м Если эти точки лежат на одной прямой, то аргументы 1 чисел гз — г, и гз — г, либо равны, либо отличаются на х. Поэтому отношение -'з: — "- является действительным числом. 3 1 Полученное условие является необходимым. Докажем его до- Х статочность. Пусть -*з=-'-з = а, а б )к. Тогда 1т -*': — '~ = О„что г- ~ *2 равносильно соотношению -"':-хз = -*з:-*-з.

уравнение прямой, у .зз зз г! 3 проходящей через точки (хз, у,) и (хз, уз), имеет вид ."--хь = —,* — -*~-. Точка (хз, уз) лежит на этой прямой. Ь Зб. Выяснить геометрический смысл указанных соотношений а)?г — 2~+?а+2~ = 5; б)?г — 21 — ?а+21 > 3; в) кег > с; г) !зпл < с. м а) Равенство определяет геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек Рз = -2 и Рз = 2 есть постоянное число 5. Из аначитической геометрии известно, что это по определению эллипс, большая полуось которого равна -.

Фокусы 5 эллипса — точки -2 и 2. б) Геометрическое место точек на плоскости С, удовлетворяющих условию ~?г-2~ — ?г+2 ~ ~ = 3, является гиперболой, первая полуось которой равна —. Равенство ?г — 2? — (г + 2~ = 3 определяет з левую ветвь гиперболы, а неравенство 1г — 2? — |г + 2~ > 3 — ее внутренность. в) Неравенство имеет вил х > с, Это множество точек, в которое входят прямая х = с и полуплоскость, Расположенная справа от нее. г) Поскольку 1ш г = у, то, записав данное неравенство в виде у < с, приходим к выводу, что ему удовжтворяют все точки полуплоскости, расположенной снизу от прямой у = с. ° . Гл.

2. Комплексные числа в )Ууикции комплексвого переменного 3 г). Выяснить геометрический смысл неравенств а) а < агйг <)Э; б) а< агу(г — го) <)у ( — )г < а < Д ~< х). м а) Уравнение агу г = а задает луч, наклоненный к действительной оси под углом а. Неравенства а ( агйг < )у задают бесконечный сектор, заключенный мехгду лучами агйг = а и агу г = )3, причем сами лучи исключаются. б) ПеРенесем начало кооРдинат в точкУ г,, полыаа г — го — — ю. НеРавенства а ( агу м < )У зздают внутренность такого же сектора с вершиной в точке го.

М 38. Выяснить геометрический смысл следующих соотношений. а) ~г( = Кеа+ 1; б) Кег+ !гпг < 1; в) 1гп =О, Ке =О, г)1г — 1~>2~г — г~; г — гт г — гг д) )г) ( Р, )о Е Агйг, 0 ~ (у) < 2х; е) )4 < у), у) 0 Агу г, 0 < (о < 2я. х+ — + у — — <-. Множество точек плоскости С, определяемое этим неравенством, есть замкнугый круг радиуса — с центром в точке го — — — — + —,. 1г 1 .4 д) Пусть!г( = г. Кривая, уравнение которой г = (о, называется слирсгою Архимеда. Поскольку 0 < у) < 2х, то речь идет об одном витке этой спирали.

Данному неравенству г < у) удовлетворяет множество внутренних точек плоскости С, ограниченное сегментом О < х < 2х действительной оси и од!им витком спирали Архимеда. е) Неравенство определяет множество из предыдущего примера, дополненное интервалом (О, 2ог) действительной оси. М 39. Определить семейства линий в плоскости С, заданных уравнениями: 1 1 а) Ке — = с, 1пт — = с (-оо < с <+со); г г б) Ке г' = с, 1п) го = с ( — со < с ( +со); в) =Л(Л>0); г — гг~ г — г) г) агу — = а (-)г < а < )г).

г — гг семейство окружностей (х — лзг) + у' = г, гле Ке —,' — о 1щ —,. Равенство -т-р = с определяет с, = —, с Ф О, касающихся в начале координат ) М а) Пусть г = х + гу, тогда 14 = зггх)-ь у', ке г + 1 = х + 1 и исследуемое равенство принимает вид Ь/х) + у' = х Ч 1, После возведения в квалрат обеих частей последнего равенства получим у' = 2х + 1.

Это уравнение параболы с вершиной в точке (-1, 0), для которой луч )' = ((х, У) 6 К ~х > — —,', У = Оу является осью симметрии. б) Неравенство запишем в виде х + у < 1. Множество точек плоскости С, удовлетворяющих этому неравенству — полуплоскость, ограниченная прямой, уравнение которой х+у = 1. Начало координат принадлежит этой полуплоскости. в) Поскольку -*;-*;" = -*-:-"-)(созу) Ь)яп(о), у) б Агл-"; — *-", (о = З)) — у)т, у)) Е Агу(г — г)), )р) Е Агу(г — г,), го в первом случае имеем з!ну) = О, О)) — хт = й)г, а во втором — созе) = О, (о) — !от — — —" + 2йх.

В первом случае векторы г — г) и г — г, лежат на прямой, проходящей через точки г, и гт (исключая последнюю), во втором случае угол между этими векторами с точностью до кратного 2х равен х-). Поэтому множество Ке -';-';" = 0 является окружностью, диаметром которой служит отрезок, соединяющий точки г, и г, (при этом из окрухоюсти удалена точка г,).

)о = ' .г ) — ь ~) (( — ))).*.*. ') — ))'+ 'о) й) ) — ))'. Возведя обе части полученного неравенства в квадрат, после несложных преобразований находим: Ф 1. Комплексные числа и комплекспвя плоскость 41 мнимой оси. Если с = О, то х = О, т.е. семейство вклзочает в себя и мнимую ось. Равенз ство -р~~ = с определяет семейство окружное~ей х + (у+ -',з) = з, где с, = —,, с ~ О, касающихся действительной оси в начале координат, и включает в себя также действительную ось, поскольку при с = 0 у =О. б) Пусть * = х -ь зу, тогда зз = х — уз 4 з2ху, Ке аз = х' — уз, (таз = 2ху.

Если с Х О, то уравнения х — у = с и 2ху = с определяют семейства гипербож Если с = О, то уравнение х — у = 0 определяет пару прямых у = х и у = -х, а уравнение ху = 0 — пару прямых х = 0 2 3 и у=О. в) Пусть х = х + зу, х, = х, 4 зуз, хз = хз 4 зуз. Тогда равенство ! — ':*-з = Л (Л > 0) -з равносильно такому: (х — х,) + (у — у,)' = Л' ((х — х,)' ч- (у — у,)') . Каждая кривая — окруж- ность, являюшаяся геометрическим местом точек, отношение расстояний которых от точек х, и гз посюянно (охрулсность Алоллонол относительно точек зз и сз). г) Поскольку агу -*:-=' = агу(х — х,) — агу(з — х,) = а, -я < а < я, то это равенство определяет семейство дуг окружностей с концами в точках х, и х, (угол между векторами з — хз и г — хз равен а), В это семейство входит конечный отрезок с концами в точках хз и х, (при а = хя) и бесконечный отрезок, содержащий бесконечно удаленную точку (при а = 0).

м 40. Какие необходимые и достаточные условия того, чтобы уравнение х'+ 2ас + Ь = 0 с комплексными коэффициентами а и Ь имело: 1) действительные корни; 2) чисто мнимыс корни; 3) комплекснозначные корни. м 1) Необходимость. Пусть х, и хз — действительные корни.

Тогда по теореме Виста зз+ з=-2а, х~зз=Ь, аЕК, ЬЕК, 3 4а = зз-1- з,'-1-2Ь > 2;Яг~)-' + 2Ь > 4Ь, а" > Ь. Достаточность. Пусть а б К, Ь б К и а > Ь. Тогда нз формулы для нахождения корней з, з = — а х ч'а' — Ь следует, что х~ и сз — действительные числа, 2) Необходимость. Пусть х, и с, — чисто мнимые.

Тогда из формул Виста следует, что а — чисто мнимое, Ь вЂ” действительное. Поэтому 4а = з,'+хзз+ 2Ь < -2)Ь|+ 2Ь < 4Ь, откуда Ь>а. Достаточность. Если Ь > а' и а — чисто мнимое число, то из формулы для нахождения корней уравнения следует, что оба они чисто мнимые. 3) Уравнение второго порядка всегда имеет два комплексных корня. М 41. При каких значениях а корни уравнения х' 4 12 (1 4 зззЗ) с + а = 0 лежат на олной прямой? м Пусть корни этого уравнения з,, х,, зз лежат на одной прямой. Тогда л, — х, = Ь(зз — з,), Ь = сопи, й Е К.

Характеристики

Список файлов книги