Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K.). Tom 4. Funkcii kompleksnogo peremennogo (2001)(ru)(T)(365s) (940504), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Следовательно, г7г б Р ('(з) = О, т, е, у(а) ы сопзг в Р. р 75. Пусть функция / является аналитической в области С, Доказать, что если !7(з) ~: — сопя в С, то функция г также постоянна в С, м Если ~Т(г)~ = О ддя всех г б С, то у(г) = О в каждой точке области С, т. е. ((г) = сопц. Пусть )2'(з)) ьв С гуз б С, С га О и Г(г) = и(х, у) + ге(х, у) гу(х, у) б С. Тогда в области С выполняется тождество и'(х, у) + о'(х, у) ьч Сг, которое с помощью функции у(а) = и(х, у) — го(х, у) запишется как произведение 7(е)г(з) = с' уг б С.
Из последнего равенства следует, что у(з) ~ О для всех з б С, вследствие чего функция У(г) = о,г является аналитической в области С. Условия Коши — Римана для функций 7 н 7 приводят к равенствам ди ди до де дх ду д ду в каждой точке области С. Значит, функции и и е постоянны в области С, следовательно у также постоянна в С, м 7б Гл. 2. Комплексные числа и функции комплексного пеуемяоиого Ду"(»о, Д») 1цп ' — А, = 1В1~, ь*-о Д» т. е. все частичные пределы частного ~ ь" о принадлежат окружности 1 = (» Е С1(» — А,) = ~В1().
° . 77. Записать уравнении Коши — Римана для функции У = и+ зс в 1юлярных координатах х = 1' сов 11, у = г 5!п (о, г = Х/ х м Применяя правило дифференцирования сложных функций, имеем ди ди дх ди ду ди ди СО5Х+ 51П1Р, дг дх дг ду дг дх ду ди ди дх ди ду ди ди — — — — — = — — г яп (а + — г соз х. дх дх др ду др = д ду Решив этУ системУ относительно а" и а", находим: ди ди ди яп(о ди ди, ди соыр соз(о ~ = 51пх+ дх дг дх г ' ду дг дх Аналогично дс ди ди сов оо — = — 5!ПЯ+ ду д. др ди ди ди япх — = — СО5 Х вЂ” — —, дх дг дуг г Теперь запишем условия Коши — Римана: ди ди япуз — соз уа — — — = д. дя г ди, ди со51р — яп(о + — — = дг дуа 1 ди, де соз(о дг др — япоо+ — —, ди ди япя — — созя+ —— дг ду г (2) 76.
Пусть 7' 1 С вЂ” 1 С, 22) — — 6, 6 — область, 7(») = и(х, у) + ос(х, у) и функции и, и дифференцируемы в точке»о — — (хо, уо) б 6. Доказать, что множество всех предельных значений Д» (»о~ Д») частного ' при Д» -а О есть либо точка, либо окружность. Д» ° Ф если у дифференцируема в точке»о, то 1пц -ь(ь — "* —" = 7'(»о) и 7'(»о) — единственное ь*-о предельное значение указанного частного при Д» -а О, Пусть 7 не дифференцируема в точке»а. Поскольку в этой точке дифференцируемы функции и и о, то ДТ(»а Д») Ди(хо1 уа) -Г(До(хо, уо) Д» Д» 1 /ди(хо, Уо) ди(*о Уо), Х 1 /да(хо, Уо) да(хо, Уо) — — ДУ вЂ” о()Д»1)) 1- — ( ' Д»-1- ' ДУ~-ойь»О) = Д» '5 дх ду ,) Д» (, дх ду 1 о()Д»1) = — (АД» ч-ВДУ) + Д» Д» оо после несложных преобразований получим: Ду(»о, Д») ДУ 0(!Д»)) =А,+В,— + (1) Д» Д» Д» где А, и В, — некотоРые комплексные числа. Так как ~ ь, =~ = 1, то ь', = е ьг, (а Е Агу Д».
Запишем соотношение (!) в виде ДТ(»„Д») .1. о(~Д»~) — А,=В1е * ч- (2) Д» Д» Поскольку 11т -'Оьо "1 = О, то прн каждом фиксированном 1р (О ~ ((о ~ (2л) получим ь -о 04. Дифференцируемые и аналитические функции. С- и К -диффереипируемость 77 Умножив (1) на соз)о, (2) — на з!и 72 и складывая полученное, имеем ди 1 да дг ад' (3) Умножая (1) на — з1п то, (2) — на соя)в, сложим полученные 1ди ди г дуо дг Таким образом, уравнения Коши — Римана для функции 7 имеют вид результаты. Находим: (4) = и + !и в полярных координатах ди ! ди ° а~' 1ди дх ° др д.' (5) 78.
доказать, что функция ы = г = О. Найти 7~(0). ° й Поскольку у(г) = и -ь (и = х + Следоватеяьно, — = — ео х = О, —" в а в„ в в„во лишь в точке г = О. По определению 7(г) = г Кег, Юг = С дифференцируема только в точке оху„то и = х, и = ху, — = 2х, †" = х, — = О, — = у.
2 в а в а ао в, в в; = — а— '„оо у = О, т.е. условия Коши — Римана выполнены г(г) (хз + !ху)(х — !у! хз г оху хз — охту -1- охзу+ хуз 1(0).= !пп — = йо2 2 2 — — !вл = !2ю г = О. М о г -а хз -1- уз * о х + оу -о хз-1- у2 -о о-о о-о о-а ди(0, 0) и(х, 0) — и(0, 0) ди(0, 0) и(О, у) — и(0, О) = !пп =О, ' =1'пп = О. дх -о х ' ду „, у Так как и гл О, то в— " — — а— " — — О. Следовательно, в точке г = 0 выполняются условия в Коши — Римана. Рассмотрим отношение -~й — '.=' = о,, т. к. 2!У(0 23г) = 7(г) — 7(0) = З/)ху( 23г=г — О=х-ь(у.Еслиг=(х,О), х-~О,тогзг-оОи !цп хг)й =2 —— О.Пустьх-~О, х>0 й -о и у = х.
Тогда гзг — О, если х -+ 0 и -й(д *-! — — —,„*,, — — ','. Таким образом, 1)т -г(й; — '-2 не сушествует и функция 7" не имеет производной в точке г = О. Здесь нет противоречия с теоремой о необходимом и достаточном условии дифференцируемости функции 7: С о С в фиксированной точке. Поскольку функция и(х, у) = о,/!ху) не дифференцируема в точке (О, О), то не выполнено одно из условий упомянутой теоремы. м 80. Доказать следующие утверждения: 25ю 1 1) если у функции ю = 7(г) в точке г существует предел 1пп Ке — ~, то частные проз -оо Ьг,~ ди ди изводные — и — существуют и равны межлу собой; дх ду дою т ди ди 2) если существует предел !цп 1ш — 71, то существуют частные производные — и —, й о) Ьг ду дх ди ди причем — = — — ; ду дх) 3) если заранее предположить, что функции и и и днфференцируемы, то существование любого из пределов, указанных в п.п.
1) и 2), обеспечивает существование другого н, следовательно, дифференцируемость функции у. 79. Доказать, что лля функции ((г) = „/)ху), 7)à —— С в точке г = О выполняются условия Коши — Римана, но производная не сушествует. м Если рассматривать функцию 7: С С в виде У(г) = и(х, у) + !и(х, у), то в данном случае и = „4ху(, е = О. По определению частных производных функции двух независимых переменных имеем Гл. 2. Комплексные числа и функции комплексного переменного М 1) Пусть 2(з) = и(х, у) -Ь ге(х, у), х = х -Ь гу.
Тогда гэу(з) ггв 2ги+ ! гзе (гги + ( гье) (бх — ( гзу) гзи ба + т!ге тзу 2зе гзх — гзи гЬу ьэ Ьа дх езду гтхг -ь дуг дхг+ дуг 2зхг -ь дуг гзв 2!и гзх -ь гЬе гЬу 2ьв 2ге гзх — гЬи бу Ке — = 1щ — = гзз !Ьхг+ !зуг ' туз гухг+ дуг Поскольку !пп Ке ь, существует, то он не зависит от способа стремления 2гг к нулю. Взяв ь,-э гзз = ггх и гзэ = г гьу, соответственно получим гЬв гьи ди гзе де ди де !пп Ке — = 1цц — = — = 1!т — = —, т.е.
гм о гЬз ь -о гзх дх ьэ-э сну ду' дх ду 2) Рассужлал анщюгично, имеем гЬв гзе де -гуи ди ди де 1пп 1т — = 1!т — = — = 1цп — = — —, т.е. ь -ь тьз ь -е гьх дх ье-ь гзу ду' ду дх 3) Пусть функции и и е дифференцируемы и существует !нп Ке ь . Тогда, по доказанному, ь*-о э э — ' = э— ". Приращения гзи и Ле днфференцируемых функций и и е имеют вид ди ди де де гзи = — гЬх -!- — гзу-Ь о(!гза!)> бе = — Лх + — "у -Ь с((гЬз!). дх ду дх ду Тогла дх деде-~-гтеду ! /де г де г /де де'г Ке — д* -' — гзу + ( — + — дхдуе(дхтдуЮ(!гьг!)) . 2гг дхг - дуг дхг т дуг ~ дх ду (, ду дх ) Поскольку — = — ', то э а, а э„ 2!в ди Г' ди де г ьгхьгу (гзх+ (Зу)оЦЬл!) Ке — = — -ь ~ — -ь — ~ + туз дх 1, ду дх,/ 2тхг+ !туг гухг + тууг из сУществованиЯ пРедела ке ь", пРи ьзз О, котоРый Равен э,", следУет, что (~"„-ь э" ) = О, т.
е. э— " = — э' — — 1пп 1гл ь . Поскольку для Функции )' выполнены условия Коши — Римана в точке з, то у дифференцнруема в этой ючке. ° аг -ьЬ 81. Найти множество точек Я плоскости С при отображении в =, с Ф О, длл сз + г(' которого: 1) коэффициент растяжении равен единице; 2) угол поворота равен нулю. м 1) Имеем а4 — Ьс 1в'(з)! = (се+ Л)г =1, откуда а „/!аг( — Ьс! !аг( — Ьс) = !сэ+г(!г, или э+в с !с~ Таким образом, ,/!«г-ь ! — множество точек окружности радиуса „с центром в точке з = --,. 2) По усдовию агу в'(э) = О, т. е.
агу(аг( — Ьс) — агу(са + г()~ = О. Отсюда получаем (сз + г()г = (аг( — Ьс)г, г > О. Таким образом г( егаа — Ьс 1, — <!<+ос. с с Мнолгество Я вЂ” это множество точек прямой, заданной уравнением (1), ° . Упражнения лля самостоятельной работм 82. Пусть функция и = 1(г) аналитическая в точке ге, У'(ге) н О, а гладкие кривые (1 и ут имеют свойство: (ы(г)! = (ы(ге)), если г б уп агй ш(г) = агйы(ге), если г Е ты Доказать, что кривые т, и тг пересекаются в точке ге под прямым углом. и Из условия задачи следует, что образом кривой ~, при отобракении ) является дуга окружное~и Г = (ы б С; (ы! = ~ы(ге)!), а образом кривой Тч — отрезок луча, выходящего из начала координат под углом агй ы(ге).
Отсюда следует, что образы т, и уг пересекаются в точке ы(ге) под прямым углом, следовательно, кривые у, и .(г также пересекаются в точке г, под прямым углом. м 83. Потенциальные яинии заданы уравнением (г — а! = Ь, а = а, + ган Ь > О. Найти комплексный потенциюг 1(г) потока жидкости, а также скорость. и Имеем !п (г — а! = Ьг Ь = сопз1, или Ке1п(г — а) = сопи, Таким образом 1 1 1(г) = 1п(г — а), е = !'(г) =; е(2а) = —. м - — а а 84. Пусть функция 1: С С является аналитической в замыкании области Р, а С вЂ” образ области Р при отображении у. Доказать, что если отображение у в области Р однолистно, то для плошали л(С) области С справедлива формула р(С) = (У'( 8 беату. м Пусть г = х + гу, гс = 2(г) = и + (е, г е В, ы Е 6.
Тогда функции ц = Ке у, е = !ш ! осуществляют с помощью уравнений и=и(х,у), с=с(х,у) (1) биективное отображение области В на С (см. и. 4.4). Из курса математического анализа известно, что мера (плошаць) жорданова множества С вычисляется по формуле р(С) = цх бу, (2) и где ~,'" ", — якобиан преобразования (1). В и. 4.4 показано, что ! — „,'" „,'(х, у)( = (~'(г))'. Следо- вательно, р(6) = О ~У'(г)!'Охйу. и и 85. Найти плошадь р(С) образа С области В = 1г Е С: 1 < (г~ < 2, ! агйг! < -„~.
м По доказанной в предыдущем примере формуле получаем: ° ю= Ц~з~т .~=9Ц(~ и и Полагая х = рсоа(г, у = рйп)г, имеем — —, <)г < —, 1 < р < 2, г Р(х, у) /' /', я 1 г~' 189я — =р, р(С)=18 4(г р г(р=18.—. -р е Унрялшения длн самостоятельной работы 1. Упросппь выражение ы 2ы„ ,а а), (х б 81): б) * *.' ', если г = е'а. ы*г н 1л. 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
