Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K.). Tom 4. Funkcii kompleksnogo peremennogo (2001)(ru)(T)(365s) (940504), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Комплекснме числа и функции комнаексного переменного 30 2. Доказать, что для произвольного комплексного числа г Ф 0 существует такое единственное число ш, что (м! = Ь(е( ((о ) 0) и агйм = — агйг. Найти это число. 3. Доказать, что ни при каких значениях т (гп Е К) комплексное число вила ! — » » — » >> -> не может быть чисто мнимым. 4. Доказать тождества: а) (х! + гг(г + (е! — хг(г м 2 (,(х>(г Ч-(зг(г) б) ~ 1 — е! хг! — >>х! — ег( = ( ! + ! ! ег!) — (1з>( + (ег~) ; в) ! е ч- -,' ) -ь г ! г ч- †,' ( — ( 1 ч- !)!г (~ — -„' ( ! ч- г) = е; г) ( ††г + хг( Ч- ( ~г — зг! = !з>! + !гг!, если х, зг = =,', л) ~ ~! + -, ~ + т2, !!1 — †.
~ = " , "о>, если !г'( = и, и б Я; ь=! ь=! > ",';.;,'." ) = . ж) П ~е — 1) =(-1)" ' п(пб(>0. ь=! 5. Пусть хь (й = 1, и) и зо — произвольные комплексные числа и х = -' 2 , 'зь. Доказать ь=! равенство „2 (зо еь! = !зо — г( ч. — ~ !еь — г~ . ь=! ь=! б. Пусть при всех х, !з( ( 1, м(х) = г~ -Ь 2х+ 5. Доказать, что п>(е!) м(ег) «г г! гг.
7. Пусть ни одно из чисел го аг и х, не совпадает с е,. Доказать, что если из чисел -'":-*-г, -'-' — 'г, —,'--;г два — чисто мнимые, то таковым является и третье. Указание. Воспользоваться соотношением (гз — го!' Ке -„*": —,"--' + (х! — г '!г Ке -*г=-';г + (хг —: )~ Ке -*~: — *-! = О. > 8. Доказать, по а) если х Ф -1 и !г! = 1, то з = —,'+",,, где 1 — некоторое действительное число; б) всякое действительное число а представимо в виде а = г —,'+*, где з — некоторое комплексное число, причем !х~ = 1 и е й 1. 9.
Представить в тригонометрической форме число е = (! — сова Ч- г япа)", где и — делос число, не равное нулю. 10. Найти суммы Указание. Вычислить а„ч- г(߄— 1). 11. Пусть Ь б К, а Е С и а зо О. Доказать, что а) расстоянис от начала координат до прямой ах + ар = 2Ь равно —,; г>о! Ьй ! б) расстояние от точки е Е С до прямой ах + ау = Ь равно ! — '--'-': — !. о ! ! 12. Доказать, что точки ег, гг и зг лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда 1 1 =О. 1 х, г, хг гг хз з 13. Пусть е>, ем ез — соответственно вершины треугольника АВС, вписанного в елиничную окружность. 2~оказать, что АС = АВ (т. е. треугольник является равнобедренным) тогда и только тогда, когда х! = вгег.
81 Упражнения для самостоятельной работм 14. Доказать, что у(п Е (г(, ль . (ль( < 1) выполняется неравенство 15. Доказать, что а) !1+ л'! > 2(Вел) Хгл ! — 1 ( йел ( 1; 16. Решить систему уравнений л -!-ю =0 ф =1. ! — 4 17. Показать, что корни квадратного уравнения ах!+ Ьл + с = 0 с действительными о, Ь, с и отрицательным дискриминантом образуют пару взаимно сопряженных комплексных чисел. 18.
Доказать, что корни л! и л! уравнения л 4 2рл 4 д = 0 (р Е С, !) Е С, д ~ р ) лежат на прямой, проходящей через начало координат, в том и только в том случае, когда или р = О, или рФО,адгбйи дг<1. 19. Йайти множество точек л в комплексной плоскости С, удовлетворяющих следующим соотношениям. а) (л — а( = 22; б) Ке л + 1т л = 1; в) агв - = а, а Е ( — х, я); г) ) — ** ! = 1; д) Ке(л — л) = 0; е) (л — г( 4 !л + г~ = 4; ж) Ке(! 4 л) — ф = О. 20.
Написать в комплексной форме уравнения следующих линий: а) ху = 1; б) х'+ (у+ 1)' = 1; в) х' — у' = -,; г) у' = 2х+ 1; д) р =,„' 21. Найти множества точек л на плоскости С, которые определяются условиями: а) г < !л — ла( < 22; б) ! — *, ( < 1; в) а < кел < Ь; г) -' < Ке у+1щ —,' < -,'; д) 0 < аг8 — '.' ( —,. 22. Среди комгпексных чисел л, удовлетворяющих условию ~ — 25г( < 15, найти то, главное значение аргумента которого наименьшее.
23. Доказать, что отличные от О и !У точки А(л,) и А(л,) сферы Римана диаметрально противопшгожны тогда и только тогда, когда гочки л, и л, плоскости С связаны условием л,у, = — 1. 24. При каких значениях параметра а следующие окружности комплексной плоскости С отвечают большим кругам на сфере Римана: а) !л — а(=а(а>0); б) (л — г( =а(а)0); в) !л — г(=а(а>0); г) (л — 2аг(=а(а>0). 25. Найти: а) !и~ (и (! — соз -) 4 г(чгп! + ! — „гй) з!и -„); б) !!т (1-Ь 2л+ 3лг+ ... 9 пл" '), если !л! < !. 26. Доказать, что предельные точки последовательности (с„), где с„= П (! ч- —,') лежат на ь=! окружности у = ( л Е С:!л~ = г/ , 27. Пусть а н г5 (а ф )уг !а! < 1, !г5( < !) — заданные комплексные числа, а последовательность (л„) определена рекуррентными соотношениями л„= (а+)))л„! — аг5л„! гуп ) 2.
Доказать, что !пп л„= О, 28. пусть л, = а, л, = ь(а ~ О, ь~О, аФь) и,г = —,' 4- — '.Доказать, что Бш л„= О. 29. Доказать, что если области Р, и Р, плоскости С имеют общую пгчку, то Р, ГЗ Р, также является областью. ,г 30. Дана функция / ! С вЂ” С, гле 7(л) = — *,,*..* ', л = езг и гр — произвольное действительное число; а) доказать, что 7 — действительйая функция от уг; б) найти образ отрезка у = ( зг б и ! 0 < (в ( 4 2 при отображении у. 31. для отображения и = —, (ш = и+ гх, л = х + гу) найти: Гл.
2. Комплексные числа и функции комплексного переменного а) образы линий: 1) х = С; 2) у = С; 3) х+ у = 1; 4) агд х = а; 5) (х -ь !! = 1; 6) у = (х(! б) образы множеств: 7) полосы, заключенной между прямыми х = 0 и х = 1; 8) полосы, заключенной между прямыми у = 0 н у = 1; в) прообразы линий: 9) и = С; 10) е = С. 32.
Для отобрюкения ю = —* ,г найти прообразы множеств: а) 1У=(игбС:(ю! <2); б) (У=(юбС:!ге(>1). ЗЗ. Доказать, что функция ю = а~ -ь 2х+ 3 однолистна в круге 76 = (х б С: (х! < 1). 34. Определить кривые и построить их графики: 1) х=хе+ае*'ч-)уе *'(0<1<в"! абК, ДОИ); 2) к=о!е*',0<!<э.ж, абЖ; 3) х = !' 9 —,',, 0 < ! < +ос; 4) з = (а 6 )3)е* — г5е д, где 0 < ! < ч-сс, а, )3 — положительные постоянные. 35.
Найти (если существуют) пределы: г г г 1) 1пп — *; 2) 1пп — *г'; 3) !пп — '+,'; 4) !пп ","',; 5) 1пп ( Д вЂ” ~ 6 2г); О зк к г 6) 1пп х; 7) !пп агйа; 8) !1ш -*; 9) йп Зг' — ',г-. *-.г- — г =-О *-о 36.Исследовать на непрерывность в областях существования следующие функции: ( х 9 гу, если х или у рациональные, О, если х и у иррациональные. 4) ш = —,',; 5) ю = !8(аг8 в). 37. Пусть функции и = и(х, у), е = е(х, у) дифференцируемы в области 27 и 7(х+ гу) = и(х, у) 9 ге(х, у) для всех (х, у) б В. Доказать, что для лифференцируемости функции 7 в точке зе = хо -ь гуе б Р необходимо и достаточно, чтобы вырюкение г(и(хо, уо) -1- г Фг(хш уе) было пропорционально дх = дх -ь г 4у. 38. Пусть функции и = и(х, у), в = е(х, у) дифференцируемы в области Р, 7(х -1- гу) = и(х, у) + ге(х, у) для всех к =.
х ч- гу Е П и '7и = (~", в ), те = (в', д") — градиегпы соответственно функций и и е. Доказать, что условия дифференцируемости функции 7 как функции комплексного переменного х б С вырюкаются равенствами (р., ъ) = о, !р.! = (р (, где (37и, 37е) — скалярное произведение градиентов, а ! си), (туе! — нх длины. 39. Доказать,что функция 7(х) = 'зкг непрерывна в окрестности 0 при к=О точки х = О, пределы 1пп ~-'-г ~-З существуют, если х стремится к нулю вдоль произвольной -е прямой, и равны между собой, однако 7 не дифференцируема в точке х = О. 40. Исследовать на аналитичность в областях определения функции: 1) 7(х ч- гу) = х -1- —,, -ь г (у — --+~); 2) 7(г) = )х !' -> 2х; 3) 7(з) = -'(ю .
41. Пусть все корни многочлена Р(х) лежат в некотором круге. Доказать, что в этом же круге лежат и все корни его производной Р'(х). 42. Доказать, чзо если функции 7 и д являются аналитическими в точке хе и 7(хе) = д(хе) = О, но д'(ае) Ф О, то 1!ш ~Я = 2гг;з). Найти !пп —,'тзп. *о 43. Пусть функции 7 — аналитическая в области 27, и = Ке 7, е = 1ш 7, Доказать, что линии и = сонат всегда пересекают линии в = сопят перпендикулярно в тех точках, где 7'(х) = 0 44.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
