Савельев - Курс общей физики Том 3 - Оптика, Атомная физика, элементарные частицы (934757), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Следовательно, теория Эйнштейна дает лишь качественно правильный ход теплоемкости при низких температурах. Количественного согласия с опытом удалось достигнуть Деба ю. Теория Дебая. Дебай учел, что колебания атомов в кристаллической решетке не являются независимыми. Смещение одного из атомов из положения равновесия влечет за собой смещения других соседних с ним атомов. Таким образом, кристалл представляет собой систему !у упруго связанных друг с другом материальных точек, обладающую з = ЗУ степенями свободы.
Рассмотрим без вывода результаты решения задачи о малых колебаниях такой системы. Положение системы с з степенями свободы определяется з независимыми координатами хь которые могут 407 быть выбраны различными способами. Можно показать, что такая система имеет з собственных частот м!. При произвольном выборе координат х! общее решение урав- нений движения имеет вид: х,= ~~.", А!!соз(ат(+а!!) (!=1, 2, ..., з). ! ! Следовательно, каждая из функций х; представляет со- бой суперпозицию з гармонических колебаний с часто- тами !з!.
Энергия системы определяется выражением: Е = 2 „7~ и!ах!ха+ 2 7~ Ь~х!х~, !.А ! с,ж-! где первая сумма дает кинетическую, а вторая — потенциальную энергию системы; ам и Ьь — размерные коэффициенты. Как мы видим, в выражение для энергии входят, вообще говоря, не только квадраты координат х! (или их производных. по времени х!), но и произведения координат (или производных), соответствующих различным степеням свободы системы. Оказывается, можно выбрать координаты системы таким образом, что изменение каждой из них будет представлять собой простое гармоническое колебание, совершающееся с одной из собственных частот гз!з Обозначив эти координаты $!, можно написать: ~! — — В!сов(!з!1+'р!) (!'=1, 2, ..., з).
Величины $! называют н о р м а л ь н ы м и (или г л а в- ными) координатами, а совершаемые ими гармонические колебания — н о р м а л ь н ы м и к о л е б ан и я м и системы. Изменения во времени произвольно выбранных координат к! могут быть представлены как суперпозиция нормальных колебаний в!: з х!= Х СыЬ ( = 1, 2, ..., 8).
/-! Энергия системы, выраженная через нормальные координаты, имеет вид: Е = —, ~~аД+ — ~ Ьйзг= ~~ ~ — аД+ — ЬЯ~! 408 откуда следует, что энергия системы равна сумме энергий, приходящихся на каждое из нормальных колебаний в отдельности. Поясним сказанное следующим примером. Пусть имеется система из двух одинаковых связанных невесомой пружиной математических маятников (рис. 237).
Предположим, что маятники могут совершать колебания только в плоскости чертежа, так что система имеет две степени свободы, Положение системы может быть задано углами отклонения обоих ма- ф ятников от вертикального положения, либо углом отклоне- Риа 237. ния одного нз маятников и длиной пружины и т. д. Решение уравнений движения дает для углов отклонения маятников от положения равновесия х~ и хт выражения: х, = А, сов(в(+а)+ Ат сов(вк2+ак), хз = А, соз(в,4+ а ) — Ак сов(вк2+ак), где Аь Аь а~ и ак — постоянные, определяемые из начальных условий, в~ и вз — собственные частоты системы, равные: ,Гх /й аЬа (т — масса, 1 — длина маятников, й — коэффициент жесткости пружины, Ь вЂ” расстояние от точки подвеса до точки крепления пружины).
Очевидно, что колебания х, и хк можно представить в виде: «1=Ь+$м хк=Ь вЂ” 5в где = А, соз(в,2+а,), к, +к1 ) (64.6) ьз — 2 — — Ак соз (вкг + от). Функции (84.6) и представляют собой нормальные колебания данной системы. Если маятники отвести в одну н ту же сторону на одинаковый угол хм= хм и отпустить без толчка, то в системе будет совершаться только 409 первое нормальное колебание (А~ ФО, Ах = 0), причем х~ = хх = ~~ (рис.
237, а). Если отвести маятники на одинаковый по величине угол в противоположные стороны (хм = — хм), то в системе будет совершаться только второе нормальное колебание (А~ = О, Арчь 0), причем х~ = †= Ь (рис. 237, б). В первом случае маятники колеблются с частотой ыь во втором — с частотой ах. большей чем ыь При иных начальных условиях будут одновременно совершатьт я ся оба нормальных коле- бания. и) л — — — — — — — —,д В качестве второго примера рассмотрим систему из трех одинако- 7 вых шариков, соединен- г ных невесомыми одннако- 4 л -- — -- — — — Ю вымн пружинами (рис. 238).
Концы пружин А Я и В закреплены непог г движно. Предполагается, что шарики могут переб~ " З мешаться только в пло- скости чертежа в направг пениях, перпендикулярРис. 238. ных к линии АВ. В зтом случае система обладает тремя степенями свободы. Нормальные колебания показаны на рис. 238 (ср. с т. 1, рис. 206). В случае а все шарики движутся в одинаковой фазе; в случае б шарики 1 и 3 колеблются в противофазе, шарик 2 неподвижен; в случае и шарики 1 и 3 колеблются в одинаковой фазе, а шарик 2 по отношению.
к ним движется в противофазе. В случае сплошной закрепленной на концах струны каждое нормальное колебание представляет собой стоячую волну, длина которой ) связана с длиной струны1 соотношением: 1 = а)12 [см. т. !, формулу (85.1)). Аналогично, каждому нормальному колебанию кристаллической решетки соответствует стоячая волна, устанавливаюшаяся в объеме кристаллического тела. Действительно, из-за связи между атомами колебание, возникшее в каком-то месте кристалла, передается от одного атома к другому, в результате чего возникает упругая 4!О волна. Дойдя до границы кристалла, волна отражается.
При наложении прямой и отраженной волн образуется стоячая волна. Стоячие волны могут возникать лишь для частот (или длин волн), удовлетворяющих определенным условиям. Если взять кристаллическое тело в виде параллелепипеда со сторонами а, Ь и с, то зги условия, как было выяснено в $ 52, имеют вид (52.5). Согласно формуле (52.7) приходящееся на единицу объема нисло стоячих волн, т. е. нормальных колебаний кристаллической решетки, частоты которых заключены в интервале от вз до о> + Ав, равно и> лм г>У =-— а онзоз > где о — фазовая скорость упругой волны «в формулу (52.7) вместо п входила скорость света в пустоте с]. В твердой среде вдоль некоторого направления могут распространяться три разные волны,с одним и тем же значением оз, отличающиеся направлением поляризации: одна продольная и две поперечные с взаимно перпендикулярными направлениями колебаний '). Это обстоятельство можно учесть, придав формуле (84.7) следующий внд: г~>~а з .> + з > где о„— фазовая скорость продольных, а пх — поперечных упругих волн.
Положим для простоты, что о1 = = пх = о. Тогда гггт'о = (84.8) Дебай предположил, что число нормальных колебаний равно числу степеней свободы кристаллической решетки, т. е. Зн (а — число атомов в единице объема кристалла). Частоты зтих колебаний заключены в пределах Ч В случае электромагнитных волн возможны только две поперечные волны, поляризованные во взаимно перпендикулярных направлениях (см. $ Зх). 411 от нуля до в, где е — максимальная частота колебаний решетки. Максимальную частоту можно найти, проинтегрировав (84.8) в пределах от нуля до ы и приравняв получившееся выражение числу степеней свободы, т. е.
Зп, В результате получим: откуда (84.9) Отметим, что- в соответствии с (84.9) наименьшая длина волны, возбуждаемая в кристалле, получается равной: Л,м„— — — ~ а зло 2 где д — расстояние между соседними атомами в решетке. Это обстоятельство может служить дополнительным оправданием для введенного Дебаем ограничения числа частот колебаний кристалла, так как волны„длина которых меньше межатомного расстояния, не имеют физического смысла. Заменив в (84.8) и через «ь согласно (84.9), получим для числа нормальных колебаний ЙЧ„в интервале частот Йо, приходящегося на единицу объема кристалла, следующее выражение: в~ кв ~('~в 9н з (84ЗО) Если среднее значение энергии нормального колебания решетки частоты е обозначить е (гз), то внутренняя энергия единицы объема кристалла может быть представлена в виде: Подставив сюда выражение (84.2) для средней энергии колебания частоты е, получим: ~'т вв Ц, ам+ ) м2,(м р,з В аьвФг аО о где Уа = За (Чзйв ] — нулевая.
энергия кристалла. Продифференцировав выражение (84Л1) по Т, найдем теплоемкость единицы объема кристалла: '~т д0 эвй ~ е""'~М сы дт дз ~ (, мг 1)з ауа '~ о Величину О, определяемую условием: аем= йО, называют характеристической температурой Деба я. По определению: О= —. Ьй~~ А Введем переменную х = аиНТ.
Тогда выражение для теплоемкости примет вид: (84.! 3) Где хт = йеьи/ЙТ = О|Т. Характеристическая температура Дебая указывает для каждого вещества ту область, где начинает становиться существенным квантование энергии колебаний, При Т;« О верхний предел интеграла в выражении (84.!3) будет очень большим, так что его можно-приближенно положить равным бесконечности (х,„- "со). Тогда интеграл будет представлять собой некоторое число и теплоемкость С окажется пропорциональной кубу температуры: С жТз. Эта приближенная зависимость известна как -за кон Т' Деба я.
Прн достаточно низких температурах этот закон выполняется во многих случаях очень хорошо. 413 При Т » О, т. е. при йы /ФТ <.1, выражение (М.11) можно упростить, положив е"~~г = 1+ йв/ФТ. Тогда для внутренней энергии получается выражение: и=и,+ —,. ~ — зг1 =и,+3лйт, 221' ьт ' 1 а ~' а а для теплоемкости значение С = Зла, фигурирующее в законе Дюлонга и Пти.
Насколько хорошо дебаевское выражение для тепло- емкости согласуется с опытом, можно судить по рис. 239, , УР РР Р7 РР РР Р4 РУ Р УРР Л7Р РЛУ А17 у ~л. РУР УР РР дР Р7 РЮ РУ Рг Р УРР Я7Р ЛЮ 7, '~' Ряс. 239. на котором приведены данные для теплоемкости алюминия (О = 396'К) и меди (О = 309'К); С вЂ” классическое значение теплоемкости, получающееся из квантовых формул при Т- оо. Кривые построены по формуле (84.13), кружками .
показаны экспериментальные точки. 414 Однако формула Лебая хорошо передает ход тепло- емкости с температурой лишь для тел с простыми кристаллическими решетками, т. е. для химических элементов и некоторых простых соединений (например, галоидных солей). К телам с более сложной структу)той формула Дебая неприменима. Это вызвано тем, что у таких тел спектр колебаний оказывается чрезвычайно сложным. В рассмотренном нами выше случае простой кристаллической решетки (у которой в элементарной ячейке содержится только один атом) каждому значению волнового вектора к соответствовали три значения .собственной частоты колебаний решетки [одно для продольной л' аглвтмтглл н два совпадающих друг с дру- отгл лтглла гом ') значения для поперечных лр волн).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
