Савельев - Курс общей физики Том 2 - Электричество (934756), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Поэтогну (и+н)'= а+из Следовательно, упорядоченное движение увеличивает кинетическую энергию электронов за в среднем на Ьер= (70.3) Закон Ома. Друде считал, что сразу после очередного соударения электрона с ионом кристаллической решетки скорость упорядоченного движения электрона равна нулю. Предположим, что напряженность поля не изменяется. Тогда под действием поля электрон получит постоянное ускорение, равное еЕ/т, и к концу пробега скорость упорядоченного движения достигнет в среднем значения (70.4) где т — среднее время между двумя последовательными соударениями электрона с ионами решетки.
Друде не учитывал распределения электрбнов по скоростям н приписывал всем электронам одинаковое значение скорости о. В этом приближении Л о' где Л вЂ” среднее значение длины свободного пробега„ и — скорость теплового движения электронов (мы воспользовались тем, что )и+ н) практически равен )т)), Подставим это значение т в формулу (70.4): (70.5) ') Если две случайние величины а и Ь везависнны друг от друга (что справедливо для скоростей й н «), то среднее значение их произведения равно произведению средних аначеяий из=о Ь. Скорость и изменяется за время пробега линейно.
Поэтому ее среднее (за пробег) значение равно половине максимального: 1 ейЛ Й= — Й мее 2„ Подставив это выражение в формулу (70.2), получим Л (= — Е, 2еиг Если бы электроны не сталкивались с ионами решетки, длина свободного пробега, а следовательно, и проводимость были бы бесконечно велики. Таким образом, электрическое сопротивление металлов обусловлено соударениями свободных электронов с ионами, помещающимися в узлах кристаллической решетки металла. Закон Джоуля — Ленца. К концу свободного про. бега электрон приобретает дополнительную кинетическую энергию, средняя величина которой согласно формулам (70.3) и (70.5) равна — ий, „еЛ -2 22 Ьее "'" = — Ет. 2 2иФ (70.7) Столкнувшись с ионом, электрон по предположению полностью теряет приобретенную им за время пробега скорость, т.
е. передает энергию (70.7) кристаллической решетке. Эта энергия идет на увеличение внутренней энергии металла, проявляющееся в его нагревании. Каждый электрон претерпевает за секунду в среднем 1/т = о/Л соударелий, сообщая всякий раз решетке энергию (70.7). Следовательно, в единице объема за единицу времени должно выделяться тейло 1 — иееЛ га = п — Ьзе = — Ее, т 2ие Плотность тока оказалась пропорциональной напряженности поля. Следовательно, мы получили закон Ома.
Согласно (33.4) коэффициент пропорциональности между 1 и Е представляет собой проводимость ие% о=в 2ИР ' где и — число электронов проводимости в единице объема. Величина ш есть не что иное, как удельная мощность тока (см. 3 34). Мноиситель при Ез совпадает со значением (70.6) для о. Таким образом, мы пришли к выражению (34.5) закона Джоуля — Ленца. Закон Видемана — Франца. Из опыта известно, что наряду с высокой электропроводностью металлы отличаются также большой теплопроводностью.
Видеман и Франц установили в 1853 г, эмпирический закон, согласно которому отношение коэффициента теплопроводности и к коэффициенту злектропроводности о для всех металлов приблизительно одинаково и изменяется пропорционально абсолютной температуре. Так, например, при комнатной температуре это отношение равно для алюминия 5,8 ° 10 е, для меди 6,4 10-' н для свинца 10 — г дж ам сеа град ' Способностью проводить тепло обладают и неметаллические кристаллы, Однако теплопроводность металлов значительно превосходит теплопроводность диэлектриков. Из этого можно заключить, что теплопередача в металлах осуществляется в основном не кристаллической решеткой, а электронами. Рассматривая электроны как одноатомный газ, для коэффициента теплопроводности можно заимствовать выражение кинетической теории газов (см. т.
1, формулу (113.6)) 1 к = — ллсойсг з (через пт обозначена плотность газа, вместо Р взято о). Удельная теплоемкость одноатомного газа равна 3 я 3 а с, — — = — —. Подставляя зто значение в выраже- 2 и 2т' ние для и, получим н = — л1гиХ. ! 2 Разделим и на выражение (70.6) для о х Ьпо' о ег тот 3 Произведя замену —, = —, лТ, приходим к соотно- 2 2 шению которое выражает закон Видемана — Франца.
Подставив й = 1,38.!О аа дж/град и е = 1,60 10 'в к, получим — 2,23 ° 10 Т. При Т = 300' К для отношения х/о получается значе— 6 дЖ ОМ ние 6,7 ° 10, д, очень хорошо согласующееся с сеа град ' экспериментальными данными (см. приведенные выше значения для А1, Сп и РЬ). Однако, как выяснилось впоследствии, столь хорошее совпадение оказалось случайным, ибо когда Лоренц уточнил расчеты, учтя распределение электронов по скоростям, для отношения х/о полу/в~2 чнлось значение 2 1 в 1 Т, которое хуже согласуется с данными опыта ').
Итак, классическая теория смогла объяснить законы Ома и Джоуля — Ленца, а также дала качественное объяснение закона Видемана — Франца. Вместе с тем эта теория встретилась с весьма существенными затруднениями. Из них основными являются два. Из формулы (70.6) вытекает, что сопротивление металлов (т. е. величина, обратная о) должно возрастать как корень квадратный из Т. В самом деле, для предположений о зависимости от температуры величин л и Х нет никаких оснований. Скорость же теплового движения пропорциональна корню нз Т. Этот вывод теории противоречит опытным данным, согласно которым электрическое сопротивление металлов растет пропорционально первой степени Т (см. % ЗЗ), т.
е. быстрее, чем, ф'Т. Второе затруднение классической теории заключается в том, что электронный газ должен обладать молярной ') Согласно квантовой теории — — — Т = 2,45 ° 1О Т. и ит Гаге -а о З(е1 теплоемкостью, равной: — 1т. Добавляя эту величину к 3 теплоемкости решетки, составляющей 31т (см. т. 1, ф 141), мы получим для килограмм-атомной теплоемкости ме- 9 телла значение — 1с. Таким образом, согласно классиче- 2 ской электронной теории килограмм-атомная теплоемкость металлов должна быть в 1,5 раза больше, чем у диэлектриков. В действительности же теплоемкость металлов не отличается заметно от теплоемкости неметаллнческих кристаллов. Объяснение такого несоответствия смогла дать лишь квантовая теория металлов.
Несмотря на неспособность классической теории дать объяснение ряда явлений, она сохранила антенне и до настоящего времени, потому что в случае малых концентраций свободных электронов (что имеет место в полупроводниках) она дает вполне удовлетворительные результаты. Вместе с тем по сравнению с квантовой теорией классическая обладает значительной простотой и наглядностью.
ф 71. Основы квантовой теории металлов В классической теории металлов считалось само собой разумеюшнмся, что электроны проводимости могут обладать любыми значениями энергии. Согласно квантовой теории энергия электронов в любом кристаллическом теле (в частности, в металле) так же, как н энергия электронов в атоме, квантуется, Это означает, что она может принимать лишь дискретные (т. е. разделенные конечными промежутками) значения, называемые уровнями энергии.
Дозволенные уровни энергии в кристалле группируются в зоны. , Чтобы понять происхождение зон, рассмотрим воображаемый процесс обьединения атомов в кристалл. Пусть первоначально имеется У изолированных атомов какоге-либо вещества. Каждый электрон любого атома обладает одним из разрешенных значений энергии, т. е. вжимает один из дозволенных энергетических уровней. Вэосновном, невозбужденном состоянии атома суммарная энергия электронов имеет минимальное возможное значение. Поэтому, казалось бы, все электроны должны находиться на самом низком уровне. Однако электроны подчиняются принципу запрета Паули, который гласит, что в любой квантовой системе (атоме, молекуле, кристалле и т. д.) на каждом энергетическом уровне') может находиться не более двух электронов, причем собственные моменты (спины) электронов, занимавших одновременно один и тот же уровень; должны иметь проти.воположные направленияг).
Следовательно, на самом низком уровйе атома может разместиться только два электрона, остальные заполняют попарно более высокие уровни. На рис. (35 показано размещение электронов по уровням в основном состоянии атома, имеющего 5 электронов. Схема уровней изображена условно, .без соблюдения масштаба. Электроны обозначены кружками со стрелкой. Разные направления стрелок соответствуют противоположным направлениям спннов.
Пока атомы изолированы друг от друга, они имеют полностью совпадающие схемы энергетических уровней. Заполнение уровней Рис. !35. электронами осуществляется в каждом атоме независимо от заполнения аналогичных уровней в других атомах. По мере сближения атомов между ними возникает все усиливающееся взаимодействие,.которое приводит к изменению положения уровней. Вместо одного одинакового для всех гт' атомов уровня возникают Ф очень близких, но не Совпадающих уровней. Таким образом, каждый уровень. изолированного атомй расщепляется в кристалле на гЧ густо расположенны)г уровней, образующих полосу или зону. Величина расщепления для разных уровней не одинакова.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
