Савельев - Курс общей физики Том 2 - Электричество (934756), страница 32
Текст из файла (страница 32)
(зй.т» В соответствии с (59.6) размерность ро равна размерности индуктивности, деленной иа размерность длины (напомним, что относительная магнитная проницаемость »г — безразмерная величина). Следовательно, в СИ ро измеряется в генри на метр (см. (38.3)). Прн изменениях силы тока в 'контуре возникает з.д.с. самоиидукции д'„равная (см. формулу (56.11)) д' = — — = — — = — ~Š— '+1,— ). (59.8) аУ а(е1) / еп .
ае т и лч '1 а .'Пг )' Если Е при изменениях силы тока остается постоян« ной (что, как уже отмечалось, возможно лишь при отсутствии ферромагнетиков), выражение для еТ, имеет внд ~ дг (59.9) В гиуссоиоа системе Ю = — — й —. 1 гн ст ос (ов.10) Соотношение (59.9) дает возможность определить индуктивность Ь как коэффициент пропорциональности между скоростью изменения силы тока в контуре и возникающей вследствие этого э. д. с. самоиндукции. Однако такое определение правильно лишьвслучае,когда Е = сопи!. В присутствии ферромагнетиков Е недеформируемого контура будет функцией от 1 (через Н); сле- Ж Ж Ж доаательно — можно записать как —.—. Произведя о1 сл мт ' такую подстановку в формуле (59.8), получим (59.11) откуда видно, что при наличии ферромагнетиков коэфгд фициент пропорциональности между — н Р, отнюдь не равен Е.
В случае, когда 1. сопя(, изменение силы тока со скоростью ! а/сек в проводнике с Е = 1 гн приводит согласно (59.9) к возникновению д', = 1 в. в 60. Ток при замыкании н размыкании цепи По правилу Ленца дополнительные токи, возникающие в проводниках вследствие самоиндукции, всегда направлены так, чтобы воспрепятствовать изменениям тока, текущего в цепи. Это приводит к тому, что установление тока при замыкании цепи и убывание тока при размыкании цепи происходит не мгновенно, а постепенно.
Пайдем сначала характер изменения тока при размыкании цепи. Пусть в цепь с не зависящей от (индуктивностью Е и сопротивлением )с включен источник тока, имеющий э. д. с. о (рис. 113). Под действием этой э. д. с. в цепи будет течь постоянный ток )о= о — и (60.1) (сопротивление источника тока считаем пренебрежимо малым). В момент времени ! = 0 отключим источник тока замкнув одновременно цепь накоротко переключателем П.
Как только сила тока в цепи станет убывать, возникнет э. д. с. самоиндукции. Следовательно, после отключения источника э. д. с. сила тока в цепи будет в соответствии с законом Ома удовлетворять уравнению гп Я=В = — Е— 5 ~! Перепишем это выражение так: — + — 1= О. Ж й л! г. (60.2) з Уравнение (60,2) представляет собой Рис 1!3. линейное однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Его легко проинтегрировать, разделив переменные, т. е. записав в виде ч! и —. = — — б! 1 откуда !п 1= — — 1+!и сопИ Х (имея в виду дальнейшие преобразования, мы постоянную интегрирования написали в виде 1п сопз1).
Потенцирование этого соотношения дает 1= сопИ ° е (60.3) Выражение (60.3) является общим решением уравнения (60.2). Значение сопИ найдем из начальных условий. При ! = 0 сила тока имела значение (60.!), Следовательно, сопИ = 1в Подставив это значение в (60.3), получим (60.4) Итак, после отключения источника э. д. с. сила тока в цепи не обращается мгновенно в нуль„а убывает по экспоненциальяому закону (60.4).
График убывания 1 дан на рнс. 114 (кривая 1). Скорость убывания опреде. ляется имеющей размерность с времени величиной ~ю т — , (60.5) Е которую называют п о с т о я иной времени цепи. Использовав обозначение (60.5), формуле Ю (60.4) можно придать вид Ркс. 114. 1= 1 е т. (60.6) В соответствии с этой формулой т есть время,в течение которого сила тока уменьшается в е раз. Из соотношения (60.5) видно, что чем больше индуктивность цепи Е и меньше ее сопротивление Й, тем больше постоянная времени т и тем медленнее спадает ток в цепи. Теперь рассмотрим случай замыйання цепи. После подключения к источнику тока, до тех пор, пока сила тока не примет установившегося значения (60.1), в цепи кроме э. д.с.
8' будет действовать э. д.с. самоиндукции. Следовательно, в соответствии с законом Ома можно написать, что 11г = д'+ с" = д' — А — . ья З Ф' Преобразуем это уравнение к следующему виду: — + — 1=— ш и. ь' ш А е.' (60.7) Мы пришли к линейному неоднородному уравнению, которое отличается от уравнения (60.2) .лишь тем, что в правой части вместо нуля в нем стоит постоянная величина Е/Е.
Как известно из теории дифференциальных уравнений, общее решение линейного неоднородного уравнения можно получить, прибавив любое его частное решение к общему решению соответствующего од. породного уравнения. Общее решение однородного уравнения имеет вид (60.3). Легко убедиться в том, что 1 = 1ч = д'Я представляет собой частное решение урав- пения (60.7). Следовательно, общее решение уравнения (60.7) можно написать следующим образом; — ю и 1 1э+сопз1 ° е ь . В начальный момент сила тока ! равна нулю. Отсюда для сонэ( получается значение сопз1 = — Ум Таким образом, (=Уо(1 — е ' ). (60.8) ф 61.
Энергия магнитного поля Рассмотрим цепь, изображенную на рис. !16. Сначала замкнем соленоид 7. на батарею д'; в нем установится ток 1; который обусловит магнитное поле, сцепленное с витками соленоида. Если, отклюяив соленоид от батареи, замкнуть его через сопроо тивление Я, то в образовавшейся цепи будет некоторое время течь постепенно убывающий ток. Работа, совершаемая этим током за время сУ, равна дА д;гЖ = — — (Ж = — 1ИЧ'.
(61,1) ИЧ . Если индуктивность соленоида не зависит от ((. = сонэ!), то ИЧ'= Ей и выражение (61Л) принимает следующий вид: (61.2) Функция (60.8) описывает нарастание тока в цепи после подключения к ней источника э.д.с. График этой функции дан на рис. 1!4 (кривая 2). Мы предполагали индуктивность Ь постоянной.
Если цепь содержит катушку с железным сердечником, д', будет определяться формулой (69.8). В этом случае за . Ж счет слагаемого 1 — э. д. с. самоиндукции может до. а стигать очень больших значений. При этом сила тока может значительно превзойти !д. Проинтегрировав это выражение по 1 в пределах от первоначального значения 1 до нуля, получим работу, совершаемую в цепи за все время, в течение которого происходит исчезновение магнитного поля: ыт А= — ) Пдт= — ' 2 (61.3) (6! .4) которая локализована в возбуждаемом током магнитном поле [ср. эту формулу с выражением (29.1) для энергии заряженного конденсатора).
В гауссовоз системе выражение лая энергии контура с током навет внн Заметим, что выражение (61.3) можно трактовать как ту работу, которую необходимо совершить против э.д.с. самоиндукции в процессе нарастания тока от 0 до 1, н которая идет на создание магнитного поля, обладающего энергией (61.4). В самом деле, работа, совершаемая против э. д. с. самонндукцни, А'= ~ ( — Ю,)1Л. в Работа (61.3) идет на приращение внутренней энер.
гнн проводников„т. е. на их нагревание. Совершение этой работы сопровождается исчезновением магнитного поля, которое первоначально существовало в окружающем соленоид пространстве.' Поскольку никаких других изменений в окружающих электрическую цепь телах не происходит,. остается заключить, что магнитное поле является носнтелем энергии, за счет которой и совершается работа (61.3). Таким образом, мы приходим к выводу, что проводник с нндуктнвностью т'., по которому течет ток 1, обладает энергией Произведя преобразования, подобные тем, которые привели иас к выражению (61.2), получим 1.И А'= ~ ИВ= —, а (61.6) откуда с=— и Подставляя эти значения (.
н 1 в (61.4) н производя преобразования, получим (61.7) Как было показано в $42, магнитное поле бесконечно длинного соленоида однородно и отлично от нуля только внутри соленоида. Следовательно, энергия (61.7) заключена в пределах соленоида и распределена по его объему с постоянной плотностью ю, которую можно получить, разделив Ю' на К Произведя это деление, получим п,фн' га =— 2 (61.8) '1 Оиа равна 14 и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
