Савельев - Курс общей физики Том 2 - Электричество (934756), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Уровни, заполненные в атоме более близкими к ядру (внутренними) электронами, возмущаются менг(- ше, чем уровни, заполненные внешними электронами. ') Может случиться, что одно и то же значение энергии будет соответствовать нескольким квантовым состояниям. Это явлеиам называется вырождением, а число различных состояний с одниаковой виергией — кратностью вырождения я.
В втбзг случае на каждом анергатическом уровне. может находиться не более ук влекзронов. т) Приннипу Паули подчиняются яе только влектроиы, но.,н все другие частнны с полупелым спниом [саь $ 51, текст, следующий ва формулой (51.4)]. На рис. 136 показано расщепление различных уровней как функция расстояния х между атомами. Отмеченные на рисунке значения г, и гэ соответствуют расстояниям между атомами в двух различных кристаллах. Из схемы видно, что возникающее в кристалле расщепление уровней, занятых внутренними электронами, очень мало. Заметно расщепляются лишь уровни, занимаемые валент- ными электронами. Такому же расщеплению подвергаются и более высокие уровни, не занятые электронами в основном состоянии атома. При достаточно малых ! расстояниях между атома- — ми может произойти пере/" — крывание зон, соответст- ! вующих двум соседним — — — УР— — — — — тирную прямую, отвечающую расстоянию гз между атомами).
Число уровней в ° г г~ г такой слившейся зоне равно сумме количеств уровней, Рис. 136. на которые расщепляются оба уровня атома. Взаимодействующие атомы представляют собой единую квантовую систему, в пределах которой действует принцип запРета Паули. Следовательно, 2Й электронов, которые заполняли какой-то уровень в изолированных атомах, разместятся в кристалле попарно (с противоположными спинами) на Й уровнях соответствующей полосы. Нижние, образованные слабо расщепленными уровнями зоны заполняются электронами, каждый из которых не утрачивает и в кристалле прочной связи со своим атомом. Эти зоны и заполняющие их электроны в дальнейшем интересовать нас не будут, Дозволенные значения энергии валентных электронов в кристалле объединяются в зоны, разделенные промежутками, в которых разрешенных значений энергии нет.
Эти промежутки называются за и решен ны ми во н ам и. Ширина разрешенных и запрещенных зон не зависит от размеров кристалла. Таким образом, чем больше атомов содержит кристалл, тем теснее располагаются уровни в зоне. Ширина разрешенных зон имеет величину порядка нескольких электронвольт. Следовательно, если кристалл содержит !Озз атомов, расстояние между соседними уровнями в зоне составляет — !О-м эв. При абсолютном нуле энергия кристалла должна быть минимальной'. Поэтому валентные электроны заполнят попарно нижние уровни разрешенной зоны, возникшей из того уровня, иа котором находятся валентные электроны в основном состоянии атома (мы будем называть ее в а л е н т н о й з о н о,й) .
Более высокие разрешенные зоны будут от электронов свободны, В зависимости Оаааоаоинап пана двиитиап опии : — аоиа лла Лпиоап ) о! оооллипол ф иапуиооооуиаи Рис. 137. от степени заполнения валентной зоны электронами и ширины запрещенной зоны возможны три случая, изображенные на рис. 137. В случае а) электроны заполняют валентную зону не полностью. Поэтому достаточно сообщить электронам, находящимся на верхних уровнях, совсем небольшую энергию (-1О хз —: 10-зз эв) для того, чтобы перевести их на более высокие уровни.
Энергия теплового движения (йТ) составляет при 1'К величину порядка 10-' эв (при комнатной температуре -'/по эв). Следовательно, при температурах, отличных от 0' К, часть электронов переводится на более высокие уровни. Дополнительная энергия, вызванная действием на электрон электрического поля, также оказывается достаточной для перевода электрона на более высокие уровни. Поэтому электроны могут ускоряться электрическим полем и приобретать дополнительную скорость в направлении, противоположном направлению поля. Таким образом, кристалл с подобной схемой энергетических уровней будет представлять собою металл. Частичное заполнение валеитной зоны (в случае металла ее называют также зоной проводимости) может произойти, если на последнем занятом уровне в атоме находится только один электрон; или имает место перекрывание зон (см. рис.
136, расстояние гг). В первом случае Ф электронов проводимости заполняют попарно только половину уровней валентной зоны. Во втором случае число уровней в зоне проводимости будет больше И, так что, даже если количество электронов проводимости равно 2Ж, они не смогут занять все уровни зоны. В случаях б) и в) уровни валентной зоны полностью заняты электронами — зона заполнена. Для' того чтобы увеличить энергию электрона, необходимо сообщить ему количество энергии, не меньшее, чем ширина запрещенной зоны ЛИ7. Электрическое поле (во всяком случае, такой напряженности, при которой не происходит электрический пробой кристалла) сообщить электрону такую энергию не в состоянии. При этих условиях электрические свойства кристалла определяются шириной запрещенной зоны ЛЮ.
Если ЛК невелико (порядка нескольких десятых электронвольта), энергия теплового движения оказывается достаточной для того, чтобы перевести часть электронов в верхнюю свободную зону. Эти электроны будут находиться в условиях, аналогичных тем, в которых находятся валентные электроны в металле.
Свободная зона окажется для них зоной проводимости. Одновременно станет возможным переход электронов валентной зоны на ее освободившиеся верхние уровни. Такое вещество называется э л е к т р о н н ы м и о л упроводником. .Если ширина запрещенной зоны ЛЮ велика (порядка нескольких электронвольт), тепловое движение не сможет забросить в свободную зону заметное число электронов. В этом случае кристалл оказывается изолятором. Таким образом, квантовая теория объясняет с единой точки зрения существование хороших проводников (металлов), полупроводников н изоляторов. Рассмотрим распределение электронов по уровням зоны проводимости в металле. При абсолютном нуле на каждом нз Ф/2 нижних уровней будет находиться по два электрона, остальные уровни будут свободны.
Такоераспределение показано на рис. !38 сплошной линией. По оси ординат отложено число электронов на данном уров- не [смысл обозначения 21(%') станет ясен в дальнейшем1. В качестве индекса для обозначения уровня использована его энергия %'. Собственно, в соответствии с тем, что уровни энергии дискретны, распределение изображается слева от )Р',х совокупностью точек сординатой 2, а спРава от (4" „х — точками с оРДинатой О. Но так как расстояния между уровнями очень малы, эти точки располагаются весьма густо и образуют сплошную линию.
и .. 1ЗЗ. Для верхнего заполненного при абсолютном нуле уровня квантовая теория дает значение В',„= — (Зпсп)"з, где й = 1,05 10-'4 дж*сек, л4 — масса электрона, ив число свободных электронов в единице объема. Принимая и = 10хэ м з, получим Ю,44„= ' (3 3,14 ° 10 ) ~ =1,25.10 ~ дж = 8 эв. 2.0,91 ° 10 44 Если бы уровни зоны распределялись по осн энергии с постоянной плотностью (т. е. число уровней д», приходящееся на интервал энергий 4Пр, не зависело от ях)„ среднее значение энергии электронов было бы равно половине максимального.
В действительности, плотность уровней пропорциональна3/Т) , т. е. 41» Г' 1Г 4(йх. Вычисления дают для средней энергии электронов прн абсо- 3 лютном нуле значение В' —. )Р„,„. Следовательно, даже при 04К электроны проводимости в металле обладают огромной кинетической энергией, равной в среднем примерно 5 эв. Чтобы сообщить классическому электронному 201 газу такую энергию, его нужно нагреть до температуры порядка четырехсот тысяч градусов Кельвина.
Столь же быстро движутся и валентные электроны в изоляторах. Однако они находятся в таких условиях, что электрическое поле не может изменить их состояние и 'вызвать преобладание движения в одном направлении. Выясним, какова. вероятность нахождения электронов на различных уровнях при температурах, отличных от 0'К. В классической физике распределение частиц по состояниям с различной энергией характеризуется функцией Больцмана: [в ())7) = Ае ег (71.1) где А — коэффициент пропорциональности [ср. т.
1, формула (-109.6)). Эта функция определяет вероятность того, что частица будет находиться в состоянии с энергией В'. Распределение (71.1) было получено в предположении, что в каждом состоянии с данной энергией может находиться неограниченное количество частиц '). Функция распределения, учитываюшая принцип запрета Паули, была найдена Ферми. Она имеет вид 1 1(~ ) и-тт )уаг е( л +1 (7!.2) Здесь О7 — энергия данного уровня, Р7~ — параметр системы, называемый уровнем Ферми. Функция (71.2) дает вероятность заполнения электронами данного уровня. Легко убедиться в том, что сплошная кривая на рис. 138 с точностью до множителя 2 совпадает с графиком функции (71.2) для Т = О. В самом деле, в этом случае 1(й7)= 1, если йт< 67л и 1(1(7)=О, если (Р') И7„. Таким образом, при О'К уровень Ферми совпадает с верхним заполненным электронами уровнем %', Йля Ю' = )т'„функция (71.2) при любой температуре имеет значение, равное 1)з. Следовательно, уровень Фер- ') При Т О функция (71.1) обращается в нуль нри всех значениях энергия, кроме й7 = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
