STOXAST (932351)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Курс лекций Э.Р. СмольяковаСЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ И УПРАВЛЕНИЕ ИМИ1. Случайные функции и процессыСлучайной функцией называется функция, которая при всех (илихотя бы при некоторых) значениях аргумента является случайной величиной. Например, скорость ветра в турбулентной атмосфере является случайной функцией трех координат и времени или, например,поверхность волнующегося моря, или же движение молекул воздухаи др. Конкретная же функция, которая может быть зарегистрированапри одном наблюдении случайной функции называется ее реализацией.

Подобной реализацией является, например, осциллограмма записислучайной функции. Подобные записи, произведенные в разные моменты времени, дадут разные реализации.Однако следует все же признать, что в природе не существуетслучайных процессов, а существует лишь наше неполное знание оних. Невозможность получить истинное знание о процессах вынуждает нас искать метод описания возможных реализаций этих процессов.

Этим методом является теория вероятностей. Однако о теориивероятностей, вполне удовлетворительно разработанной для конечномерных пространств, не скажешь, что она столь же удовлетворительна в отношении и функциональных пространств, поскольку в основевсех ее теоретических результатов лежит довольно грубая аппроксимация функциональных пространств конечномерными. Ввиду понятныхтрудностей определения вероятности на функциональном пространстве, эта аппроксимация основывается на дискретизации процессов,в основе которых лежит отказ от поиска вероятности на функциональном пространстве и подмена исходных процессов с неизвестными вероятностными характеристиками искусственными процессами с заранееобусловленными вероятностными характеристиками. Однако подобныйподход не может оптимальным образом решать проблему оптимального управления, если эта оптимизация проводится в рамках вышеуказанной аппроксимации функциональных пространств.

Скорее, можноожидать, что гораздо более лучшие результаты можно получить напути поиска синтеза оптимального управления как можно более точносмоделированной детерминированной модели движения. Однако, придерживаясь этого последнего мнения, мы все же приведем базовыерезультаты теории стохастического управления.Если случайная функция x(t) = (x1 (t),...,xn (t)) — векторная, то ееможно представить в виде скалярной функции x(t, k) двух аргументовk = 1, ..., n и t, так что можно ограничиться рассмотрением только скалярных функций x(t) переменной t, которую можно считать как параметром времени, так и любым набором любых координат.

В основном,мы будем рассматривать независимую переменную t как время.1При любом фиксированном t значение случайной функции x(t) является случайной величиной x, характеризующейся распределениемвероятности P (x, t), в общем случае зависящим от параметра t. Чтобыполучить полное представление о случайной величине x(t), в общемслучае, вообще говоря, может оказаться недостаточным знание дажевсех законов распределения P , отвечающих всем моментам t. Для полного описания случайной функции необходимо знать совместное распределение вероятностей всех величин x(t), а не только распределения вероятностей в каждый момент t. Другими словами, для полногоописания случайных процессов x(t) требуется знание распределениявероятности на самом пространстве функций x(t). Однако подобноераспределение даже теоретически сформулировать едва ли представляется возможным.В самом деле, множество всех функций имеет мощность большемощности континуума (т.е.

больше мощности конечномерного пространства E n ). А ведь даже на E n вероятность определяется не навсех подмножествах, а всего лишь на некоторой их части, например на борелевских множествах, причем определения вероятности вE n всего лишь на борелевских множествах оказывается вполне достаточным для рассмотрения любых случайных величин на E n . Однакона пространстве функций {x(t)} едва ли существует столь же универсальное подмножество, каким является борелевское множество наE n . А если из пространства функций начать исключать какие-либоподмножества, чтобы приемлемым образом определить на оставшемсясемействе множеств понятие вероятности, то совершенно непонятно,какие необходимо исключать, а какие оставлять.У истоков теории случайных процессов лежат работы А.Н.Колмогороваи А.Я.Хинчина, написанные в начале 30-х годов XX века.

Они построили основы теории процессов без последействия (т.е. процессовмарковского типа) и стационарных случайных процессов. В большинстве физических задач задание начального состояния системы не определяет однозначно состояние в любой другой момент, а всего лишьопределяет вероятность P , что система будет находиться в одном изсостояний некоторого множества состояний. Если знание состоянийсистемы в моменты t, предшествующие моменту t0 , не влияет на этувероятность, то такой процесс называют процессом без последействия,или марковским процессом.

Случайный процесс можно рассматриватьили как совокупность случайных величин x(t), зависящих от параметра t, или как совокупность реализаций процесса x(t). В любом случаедля полного описания процесса требуется знание вероятностной мерыв функциональном пространстве {x(t)}.Пусть (Ω, Σ, P ) — вероятностное пространство, где Ω — некотороемножество, Σ — σ-алгебра подмножеств множества Ω и P — вероят2ностная мера на Σ.

Случайную функцию можно определить как функцию двух переменных: x(t, ω), t ∈ T , ω ∈ Ω. Функцию x(·, ω) = x(t)называют реализацией случайного процесса, или траекторией. Есливполне строго подходить к проблеме изучения случайных функций, тоследует определить вероятность P на пространстве выборочных функций x(t), что сделать строго, как указывалось выше, по существу непредставляется возможным. Однако если выбрано конечное число моментов tk , то вероятностое описание процесса в рамках подобной конечномерной модели распределения становится вполне законным.Случайная функция x(t) поддается достаточно полному описанию,если, например, почти все возможные ее реализации являются гладкими (особенно если при любых tk все x(tk ) нормально распределены) или если она задана в виде дискретной последовательностиx(0), .

. . , x(N ). Правда, если число N очень велико, то описать этупоследовательность совместным распределением вероятности оказывается все равно чрезвычайно трудно. К счастью, большинство из встречающихся в технике последовательностей и процессов обладает свойством марковости, состоящим в том, что распределение вероятностивеличины x(k+1) зависит только от знания величины x(k) и не зависитот всех предшествующих значений, т.е.P [x(k + 1)|x(k), .

. . , x(0)] = P [x(k + 1)|x(k)].(1.1)Совместное распределение случайной марковской последовательности вполне определяется заданием начального распределения вероятности P [x(0)] и условного распределения (распределения перехода)P [x(k + 1)|x(k)], как это видно из следующих равенствP [x(N ), . . . , x(0)] = P [x(N )|x(N − 1), . . . , x(0)]P [x(N − 1), .

. . , x(0)] =P [x(N )|x(N − 1), . . . , x(0)]×P [x(N − 1)|x(N − 2), . . . , x(0)] . . . P [x(1)|x(0)]P [x(0)] =P [x(N )|x(N − 1)]P [x(N − 1)|x(N − 2)] . . . P [x(1)|x(0)]P [x(0)],(1.2)показывающих, что совместное распределение вероятностей равно произведению вероятностей перехода и начальной вероятности.Заметим, что наиболее грубой аппроксимацией случайной функцииx(t) является описание ее с помощью двумерных вероятностей распределения P (x1 , x2 , t1 , t2 ), которые получаются, если рассматривать законы распределения вероятностей ординат функции x(t) в моменты t1 иt2 . Подобное рассмотрение позволяет, вообще говоря, вычислять производную от случайной функции, поскольку при расчете производнойрассматривается пара стремящихся друг к другу точек.

Однако дляинтегрирования случайной функции не только двумерных но и любых3n-мерных вероятностей распределения, очевидно, недостаточно.В некоторых случаях бесконечная последовательность вероятностейраспределения находится весьма просто. Например, в случае нормально распределенной случайной величины вся подобная последовательность полностью определяется, если задана двумерная плотность вероятности.На практике невозможно найти всю бесконечномерную вероятностьслучайной функции x(t) и стараются обойтись минимальной информацией об этой функции. Например, оказывается, что знания только двухпервых моментов случайной функции (математического ожидания икорреляционной функции или дисперсии) оказывается достаточно дляизучения любых линейных операций над случайными функциями.

Кроме того, исследование случайной функции значительно упрощается,если учесть, что большинство встречающихся на практике случайных последовательностей x(0), ..., x(N ) (получающихся, например, придискретном задании параметра t = 1, ..., N ) обладает свойством марковости.Последовательность является чисто случайной (независимой), еслипри всех k: f [x(k +1)|x(k)] = f [x(k +1)]. Такую последовательность образуют результаты вращения уравновешенного равномерно тормозящегося колеса, положение метки на котором относительно неподвижногопространства и определяет измеряемую величину x(t).

В этом случае плотность распределения вероятности равномерна и не зависит отпредшествующих вращений. Если всегда пользоваться только этим одним колесом, то последовательные результаты образуют стационарнуючисто случайную последовательность (т.е. все они подчиняются одному и тому же закону распределения). Если же использовать множестворазличных колес, то результаты измерений образуют нестационарнуючисто случайную последовательность.Разностное уравнение (первого порядка)x1 (k + 1) = c(k)x1 (k) + w(k)(1.3)задает скалярную марковскую последовательность, где w(k) — скалярная чисто случайная последовательность, а c(k) — известная числовая последовательность (пример с колесом соответствует случаю c=1).Если это уравнение обобщить до следующего разностного уравнениявторого порядкаx1 (k + 1) = c1 (k)x1 (k) + c2 (k)x1 (k − 1) + w(k),(1.4)то описываемая им последовательность формально не оказывается марковской.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций