NORMSPAC (932348)
Текст из файла
Нормированные векторные пространства
Пусть – векторное пространство. В этом пространстве каждому вектору можно поставить в соответствие число, по аналогии с тем, как, например, в эвклидовом пространстве каждой паре точек можно поставить в соответствие число, определяющее расстояние между ними. Аналогом расстояния в векторном пространстве
является понятие нормы вектора, ставящей в соответствие вектору
некоторое число, обозначаемое
. Норма
вектора
обладает следующими свойствами:
В нормированном векторном пространстве можно определить расстояние между его элементами (векторами), удовлетворяющее всем аксиомам расстояния, по формуле: . Таким образом, любое нормированное векторное пространство
автоматически является метрическим пространством.
Пусть и
- два нормированных векторных пространства над полем вещественных или комплексных чисел. Отображение
называется линейным, если
Если пространство конечно, то линейное отображение
в
удовлетворяет условию Липшица, а следовательно, равномерно непрерывно. В самом деле
Теорема Линейное отображение одного нормированного пространства в другое, непрерывное в нуле, непрерывно всюду и удовлетворяет условию
при всех
; кроме того, это отображение удовлетворяет условию Липшица, а значит, равномерно непрерывно.
Точная нижняя грань чисел k, с которыми выполняется неравенство , называется нормой линейного отображения
и определяется следующим образом:
Отсюда следует, что для любого вектора :
.
Множество непрерывных линейных отображений векторного нормированного пространства
в подобное же пространство
является нормированным векторным пространством (с нормой
). Если же пространство
является полем скаляров (те
), то
называется пространством линейных форм (или функционалов) на
. Пространство непрерывных линейных форм называется сопряженным к
и обозначается
.
Следует иметь в виду, что если пространство не конечномерно, то существуют линейные разрывные отображения.
Как уже говорилось выше, через норму в векторном пространстве можно определить понятие расстояния (метрики), а следовательно, можно рассматривать сходимость по метрике в построеном метрическом пространстве. Последовательность в метрическом пространстве называется фундаментальной, если
. Если любая фундаментальная последовательность сходится в этом пространстве, то пространство называется полным. Полное нормированное пространство называется банаховым.
Если - нормированное векторное пространство, а
- банахово пространство, то пространство
также банахово; в часности, банаховым будет и сопряженное к
пространство
.
Если и
- нормированные векторные пространства с нормами
и
, то на произведении
все нормы эквивалентны. Можно, например, на произведении пространств ввести любую из следующих норм:
Всякое линейное непрерывное отображение задается единственным образом в виде:
, где
и
- линейные непрерывные отображения.
Функциональным пространством называют пространство, элементами которого являются функции. Пусть и
– произвольные множества,
– множество всевозможных отображений
в
. Если
является топологическим, метрическим или еще каким-либо пространством, то почти всегда и
можно сделать таковым же. Если, например,
и
, то можно следующие суммы и произведения
принять за новые отображения и
, что превращает пространство
в векторное пространство. Если же
является нормированным векторным пространством, то пространство
можно сделать таковым же, если ввести в нем норму по формуле
где через обозначена норма в
, а через
– норма в
; через
мы обозначили множество ограниченных отображений
в
.
Если – банахово пространство, то нормированное векторное пространство
тоже оказывается банаховым.
Приведем пример линейного разрывного отображения. Пусть – векторное пространство, составленное из полиномов
, в котором введена норма
Нетрудно убедиться в том, что это определение нормы удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к норме. Рассмотрим произвольное отображение , такое, которое каждому полиному
ставит в соответствие его значение в точке
, т.е.
. Это отображение линейно, т.к.
и
. Чтобы убедиться, что оно разрывно (в нуле), рассмотрим последовательность полиномов вида
. Поскольку
, то
(по норме) в пространстве
. Однако
и, следовательно,
при
. Отсюда следует, что отображение
разрывно в
.
Перейдем теперь к определению меры Радона на компактном топологическом пространстве . Пусть
– пространство непрерывных скалярных функций
на
, которое мы можем нормировать, положив
. Поскольку непрерывная функция на компакте ограничена, то пространство
(как частный случай пространства
) является банаховым. Мерами Радона в пространстве
называются элементы
пространства
, сопряженного к
, т.е. меры Радона – это непрерывные линейные отображения пространства
в вещественную ось, ставящие в соответствие каждой функции
некоторые числа
. Линейность отображения
означает, что
а непрерывность эквивалентна удовлетворению требования , где
.
Примером меры Радона может служить, например, линейное отображение , где
– замкнутый интервал в
. Нормой этой меры является число
.
Еще пример: , где
,
, где
– вероятностная мера.
Мы определили меру Радона на компактных пространствах. Однако можно дать определение меры Радона и для более общих локально компактных пространств (т.е. пространств, каждая точка которых имеет окрестность, замыкание которой компактно, в частности, для замкнутых неограниченных множеств конечного евклидова пространства). Для этого требуется, однако, несколько сузить класс функций . Потребуем, чтобы эти функции имели компактный носитель, т.е. чтобы они, оставаясь непрерывными на всем локально компактном пространстве
, обращались бы в нуль всюду вне некоторого компакта
, причем компакта, зависящего от функции, а не общего для всех функций. Тогда мы можем дать следующее определение, обозначив через
множество непрерывных скалярных функций с компактным носителем, а через
– его подмножество, состоящее из функций, определенных на всем
и равных тождественно нулю на
-
, где
– фиксированный компакт в
. Заметим, что
– это объединение пространств
по всем возможным компактным подмножествам
пространства
.
Определение. Мерой Радона на локально компактном пространстве называется линейная форма
на пространстве
, непрерывная на каждом подпространстве
, где
компакт в
.
Если мера такова, что ее
, то ее можно рассматривать как вероятностную, причем пространство подобных мер будет банаховым пространством.
В теории вероятностей, как и в общей теории функций, используется несколько видов сходимости функций (случайных величин ). В зависимости от того или иного вида сходимости рассматривают разные формулировки закона больших чисел – одного из фундаментальных законов в теории вероятностей: слабого закона больших чисел и усиленного закона больших чисел.
Слабый закон больших чисел основан на следующем определении сходимости по вероятности: говорят, что по вероятности, если для любого
:
В основе же формулировки усиленного закона больших чисел лежит понятие сходимости почти всюду (п.в.) [почти наверное (п.н.), с вероятностью единица]. Прежде чем дать определение этой сходимости, напомним, что множества Р-меры нуль определяются как множества , для которых
. Говорят, что некоторое утверждение справедливо почти всюду на множестве
(или почти наверное, или с вероятностью 1), если оно справедливо для всех
за исключением
(т.е. за исключением множества, имеющего нулевую вероятность). Говорят, что последовательность
почти всюду, если
т.е., если последовательность может не сходиться к
разве что на множестве
P-меры нуль. Подобную сходимость обозначают в виде
.
Если учесть, что для сходимости (с вероятностью 1) необходимо и достаточно, чтобы для любого
:
то, приняв это отношение за определение сходимости почти всюду и сравнив его с определением сходимости по вероятности, нетрудно заметить, что если последовательность сходится к
почти всюду, то она тем более сходится и по вероятности.
ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
В теории вероятностей законы больших чисел выражают закономерности во множествах очень большого числа случайных величин, происходящие с вероятностью, сколь угодно близкой к единице. Математически в достаточно общей форме закон больших чисел можно выразить следующим образом. Пусть, например, произвольная последовательность случайных величин , на множестве которых определены некоторые симметричные относительно своих аргументов функции
, сами являющиеся случайными величинами. Если существует последовательность постоянных
такая, что при любом
удовлетворяется предел
то говорят, что последовательность подчиняется закону больших чисел. На практике обычно вместо
рассматривают среднее арифметическое из случайных величин
, а вместо
берут среднее арифметическое из математических ожиданий этих случайных величин.
В 1866г. Чебышев доказал весьма полезное неравенство, с помощью которого удалось как ему, так и ряду других авторов доказать полезные теоремы, касающиеся закона больших чисел.
Неравенство Чебышева. Если случайная величина имеет конечную дисперсию
, то при любом
удовлетворяется неравенство
Характеристики
Тип файла документ
Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.
Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.
Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.