NORMSPAC (932348)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Нормированные векторные пространства

Пусть – векторное пространство. В этом пространстве каждому вектору можно поставить в соответствие число, по аналогии с тем, как, например, в эвклидовом пространстве каждой паре точек можно поставить в соответствие число, определяющее расстояние между ними. Аналогом расстояния в векторном пространстве является понятие нормы вектора, ставящей в соответствие вектору некоторое число, обозначаемое . Норма вектора обладает следующими свойствами:

1. для и ;

2. для любого вектора и любого числа ;

3. для любых - аксиома треугольника, или условие выпуклости.

В нормированном векторном пространстве можно определить расстояние между его элементами (векторами), удовлетворяющее всем аксиомам расстояния, по формуле: . Таким образом, любое нормированное векторное пространство автоматически является метрическим пространством.

Пусть и - два нормированных векторных пространства над полем вещественных или комплексных чисел. Отображение называется линейным, если

Если пространство конечно, то линейное отображение в удовлетворяет условию Липшица, а следовательно, равномерно непрерывно. В самом деле

Теорема Линейное отображение одного нормированного пространства в другое, непрерывное в нуле, непрерывно всюду и удовлетворяет условию при всех ; кроме того, это отображение удовлетворяет условию Липшица, а значит, равномерно непрерывно.

Точная нижняя грань чисел k, с которыми выполняется неравенство , называется нормой линейного отображения и определяется следующим образом:

Отсюда следует, что для любого вектора : .

Множество непрерывных линейных отображений векторного нормированного пространства в подобное же пространство является нормированным векторным пространством (с нормой ). Если же пространство является полем скаляров (те ), то называется пространством линейных форм (или функционалов) на . Пространство непрерывных линейных форм называется сопряженным к и обозначается .

Следует иметь в виду, что если пространство не конечномерно, то существуют линейные разрывные отображения.

Как уже говорилось выше, через норму в векторном пространстве можно определить понятие расстояния (метрики), а следовательно, можно рассматривать сходимость по метрике в построеном метрическом пространстве. Последовательность в метрическом пространстве называется фундаментальной, если . Если любая фундаментальная последовательность сходится в этом пространстве, то пространство называется полным. Полное нормированное пространство называется банаховым.

Если - нормированное векторное пространство, а - банахово пространство, то пространство также банахово; в часности, банаховым будет и сопряженное к пространство .

Если и - нормированные векторные пространства с нормами и , то на произведении все нормы эквивалентны. Можно, например, на произведении пространств ввести любую из следующих норм:

Всякое линейное непрерывное отображение задается единственным образом в виде: , где и - линейные непрерывные отображения.

Функциональным пространством называют пространство, элементами которого являются функции. Пусть и – произвольные множества, – множество всевозможных отображений в . Если является топологическим, метрическим или еще каким-либо пространством, то почти всегда и можно сделать таковым же. Если, например, и , то можно следующие суммы и произведения

для ,

для

принять за новые отображения и , что превращает пространство в векторное пространство. Если же является нормированным векторным пространством, то пространство можно сделать таковым же, если ввести в нем норму по формуле

,

где через обозначена норма в , а через – норма в ; через мы обозначили множество ограниченных отображений в .

Если – банахово пространство, то нормированное векторное пространство тоже оказывается банаховым.

Приведем пример линейного разрывного отображения. Пусть – векторное пространство, составленное из полиномов , в котором введена норма

.

Нетрудно убедиться в том, что это определение нормы удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к норме. Рассмотрим произвольное отображение , такое, которое каждому полиному ставит в соответствие его значение в точке , т.е. . Это отображение линейно, т.к. и . Чтобы убедиться, что оно разрывно (в нуле), рассмотрим последовательность полиномов вида . Поскольку , то (по норме) в пространстве . Однако и, следовательно, при . Отсюда следует, что отображение разрывно в .

Перейдем теперь к определению меры Радона на компактном топологическом пространстве . Пусть – пространство непрерывных скалярных функций на , которое мы можем нормировать, положив . Поскольку непрерывная функция на компакте ограничена, то пространство (как частный случай пространства ) является банаховым. Мерами Радона в пространстве называются элементы пространства , сопряженного к , т.е. меры Радона – это непрерывные линейные отображения пространства в вещественную ось, ставящие в соответствие каждой функции некоторые числа . Линейность отображения означает, что

;

,

а непрерывность эквивалентна удовлетворению требования , где .

Примером меры Радона может служить, например, линейное отображение , где – замкнутый интервал в . Нормой этой меры является число .

Еще пример: , где , , где – вероятностная мера.

Мы определили меру Радона на компактных пространствах. Однако можно дать определение меры Радона и для более общих локально компактных пространств (т.е. пространств, каждая точка которых имеет окрестность, замыкание которой компактно, в частности, для замкнутых неограниченных множеств конечного евклидова пространства). Для этого требуется, однако, несколько сузить класс функций . Потребуем, чтобы эти функции имели компактный носитель, т.е. чтобы они, оставаясь непрерывными на всем локально компактном пространстве , обращались бы в нуль всюду вне некоторого компакта , причем компакта, зависящего от функции, а не общего для всех функций. Тогда мы можем дать следующее определение, обозначив через множество непрерывных скалярных функций с компактным носителем, а через – его подмножество, состоящее из функций, определенных на всем и равных тождественно нулю на - , где – фиксированный компакт в . Заметим, что – это объединение пространств по всем возможным компактным подмножествам пространства .

Определение. Мерой Радона на локально компактном пространстве называется линейная форма на пространстве , непрерывная на каждом подпространстве , где компакт в .

Если мера такова, что ее , то ее можно рассматривать как вероятностную, причем пространство подобных мер будет банаховым пространством.

В теории вероятностей, как и в общей теории функций, используется несколько видов сходимости функций (случайных величин ). В зависимости от того или иного вида сходимости рассматривают разные формулировки закона больших чисел – одного из фундаментальных законов в теории вероятностей: слабого закона больших чисел и усиленного закона больших чисел.

Слабый закон больших чисел основан на следующем определении сходимости по вероятности: говорят, что по вероятности, если для любого :

при .

В основе же формулировки усиленного закона больших чисел лежит понятие сходимости почти всюду (п.в.) [почти наверное (п.н.), с вероятностью единица]. Прежде чем дать определение этой сходимости, напомним, что множества Р-меры нуль определяются как множества , для которых . Говорят, что некоторое утверждение справедливо почти всюду на множестве (или почти наверное, или с вероятностью 1), если оно справедливо для всех за исключением (т.е. за исключением множества, имеющего нулевую вероятность). Говорят, что последовательность почти всюду, если

,

т.е., если последовательность может не сходиться к разве что на множестве P-меры нуль. Подобную сходимость обозначают в виде .

Если учесть, что для сходимости (с вероятностью 1) необходимо и достаточно, чтобы для любого :

при ,

то, приняв это отношение за определение сходимости почти всюду и сравнив его с определением сходимости по вероятности, нетрудно заметить, что если последовательность сходится к почти всюду, то она тем более сходится и по вероятности.

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

В теории вероятностей законы больших чисел выражают закономерности во множествах очень большого числа случайных величин, происходящие с вероятностью, сколь угодно близкой к единице. Математически в достаточно общей форме закон больших чисел можно выразить следующим образом. Пусть, например, произвольная последовательность случайных величин , на множестве которых определены некоторые симметричные относительно своих аргументов функции , сами являющиеся случайными величинами. Если существует последовательность постоянных такая, что при любом удовлетворяется предел

,

то говорят, что последовательность подчиняется закону больших чисел. На практике обычно вместо рассматривают среднее арифметическое из случайных величин , а вместо берут среднее арифметическое из математических ожиданий этих случайных величин.

В 1866г. Чебышев доказал весьма полезное неравенство, с помощью которого удалось как ему, так и ряду других авторов доказать полезные теоремы, касающиеся закона больших чисел.

Неравенство Чебышева. Если случайная величина имеет конечную дисперсию , то при любом удовлетворяется неравенство

.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций