STOXAST (932351), страница 3
Текст из файла (страница 3)
независимыми) приращениями имеет следующие свойства:()r(s, s), если s ≤ tr(s, t) = r(t, t), если t ≤ s =cov[x(min(s, t)), x(min(s, t))].Таким образом, поскольку винеровский процесс имеет независимыестационарные приращения и w(0) = 0, то для него получаем varw(t) =ct иr(s, t) = cov[w(s), w(t)] = cmin(s, t),т.е.
r(s, t) = ct или cs. Величина c называется параметром дисперсии. Если c = 1, то процесс называется стандартным броуновскимдвижением.Производную v = dw/dt принято называть белым шумом, причемcovv = E[v(t + h)v(t)] = δ-функция Дирака, а ее преобразование Фурье(т.е. спектральная плотность процесса белого шума) есть константа.Отсюда следует, что средние мощности различных частот колебаний вэтом разложении одинаковы. Отсюда и происхождение термина “белыйшум”. Марковские диффузионные процессы оказываются результатомрешения стохастических дифференциальных уравнений, возмущениемв которых является белый шум.СВОЙСТВАКОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ9Уже из определения двойного интеграла следует, что корреляционная функция симметрична, т.е.
rx (t, t0 ) = rx (t0 , t), Это означает, чтоесли на плоскости (t, t0 ) построить биссектрису первого координатного угла t0 0t, то в точках, зеркально отражающихся относительно этойбиссектрисы значения корреляционной функции одинаковы.q4 qДалее, абсолютная величина |r(t, t0 )| ≤ r(t, t)r(t0 t0 ) = Dx (t)Dx (t0 ).Это означает, что значение корреляционной функции в любой точке Aне превосходит среднего геометрического из ее значений в точках пересечения биссектрисы с прямыми t = const и t0 = const, проходящимичерез эту точку.Кроме того, корреляционная функция является положительно определенной в том смысле, что для любой неслучайной вещественнойфункции f (t) выполняется неравенство4J=Z Zrx (t, t0 )f (t)f (t0 )dtdt0 ≥ 0.Это свойство является следствием коммутативности (по существудля всех практически интересных случаев, включающих, например,стационарные нормально распределенные процессы с независимымиприращениями) операций (E) взятия математических ожиданий и операций интегрирования, что позволяет представить интеграл J также ив видеZ ZJ =E[x − Mx (t)][x0 − Mx0 (t0 )]f (t)f (t0 )dtdt0 .Но этот интеграл распадается на произведение совершенно одинаковых интеграловJ = E{[ [x − Mx (t)]f (t)dt] E [ [x0 − Mx0 (t0 )]f (t0 )dt0 ]} =RE [ [x(t) − Mx (t)]f (t)dt]2 ≥ 0.RRКорреляционная функция не изменяется от прибавления к случайной функции любой неслучайной функции, а при умножении случайной функции на любую неслучайную функцию f (t) корреляционнаяфункция умножается на произведение f (t)f (t0 ).Можно строить корреляционную функцию не обязательно в отношении рассматриваемой случайной функции X(t), а и в отношении кдругому случайному процессу Y (t), так что возникает корреляционнаяфункция, которую называют взаимной, имеющая вид0rxy (t, t ) =Z Z[x − Mx (t)][y − My (t0 )]dF (x, t, y, t0 ).Подобная взаимная корреляционная функция не изменяется при одновременной перестановке в ней аргументов и индексов, т.е.
rxy (t, t0 ) =ryx (t0 , t).10Если задана сумма двух случайных функций Z(t) = X(t) + Y (t), то,очевидно, математическое ожидание этой суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых.Что же касается корреляционной функции суммы двух случайныхфункций z = x + y, то операция E[z(t) − Mz (t)][z(t0 ) − Mz (t0 )] после выполнения перемножения, очевидно, приведет к четырем интегралам,определяющим две взаимные и две обычные корреляционные функции:rz (t, t0 ) = E{[(x(t) − Mx ) + (y(t) − My )][(x(t0 ) − Mx0 ) + (y(t0 ) − My0 )] =E[(x(t) − Mx )(x(t0 ) − Mx0 )] + E[(y(t) − My )(y(t0 ) − My0 )]+E[(x(t) − Mx )(y(t0 ) − My0 )] + E[(y(t) − My )(x(t0 ) − Mx0 )] =rx (t, t0 ) + ry (t, t0 ) + rxy (t, t0 ) + ryx (t, t0 ).Аналогичным образом можно построить взаимную корреляционнуюфункцию любого числа слагаемых.Широкий класс практически важных случайных функций можнодифференцировать.
Рассмотрим случайную функцию X(t), любые реализации которой являются гладкими дифференцируемыми функциями. Обозначим Y (t) = dX(t)/dt и вычислим математическое ожиданиеслучайной величины Y (t).Если при ∆t → 0 законна операция [X(t + ∆t) − X(t)]/∆t, то можновыполнить и операцию [Mx (t + ∆t) − Mx (t)]/∆t. А это приводит наск операции дифференцирования математического ожидания Mx (t).
Имы можем сказать , что математическое ожидание производной от случайной функции равно производной от ее математического ожидания,т.е. эти операции можно менять местами.Вычислим теперь корреляционную функцию от производной от случайной функции Y = dX(t)/dt:ry (t, t0 ) = E dtd [x(t) − Mx (t)] dtd0 [x(t0 ) − Mx (t0 )]∂ 2 rx (t,t0 )∂200∂t∂t0 E[x(t) − Mx (t)][x(t ) − Mx (t )] = ∂t∂t0 .hi=Аналогично определяется взаимная корреляционная функция пары— функции X(t) и ее производной Y :rxy (t, t0 ) = E (x − Mx (t)) dtd0 (x − Mx (t)) =∂rx (t,t0 )∂0∂t0 E[x − Mx (t)][x − Mx (t )] =∂t0 .hiПусть X(t) — случайная функция, а f (s, t) — заданная детерминированная функция, и пусть известны Mx (t) и rx (t, t0 ).
Нетрудно подсчитать, учитывая коммутативность операций математического ожидания11и интегрирования и учитывая свойства корреляционной функции, чтоRbслучайная величина Y (s) = f (s, t)X(t)dt имеет следующие матемаaтическое ожидание и корреляционную функцию:My (s) =Zbf (s, t)Mx (t)dt,ary (s, s0 ) ="ERbaRb RbaaE[y(t) − My (t)][y(t0 ) − My (t0 )]f (s, t)f (s0 , t0 )dtdt0 =Rb0000#f (s, t)[x − Mx (t)]dt f (s , t )[x − Mx (t )]dt =af (s, t)f (s t )E[x − Mx (t)][x − Mx (t0 )]dtdt0 =f (s, t)f (s0 , t0 )rx (t, t0 )dtdt0 .Аналогично можно получить следующую формулу для взаимнойкорреляционной функции rxy (t, s) переменных X и Y , где Y — этоинтеграл от X:R R0 0R Rrxy (t, s) =Zbf (s, t0 )rx (t, t0 )dt0 .aДля дисперсии получаемDy (s) = ry (s, s) =Z Zf (s, t)f (s, t0 )rx (t, t0 )dtdt0 ,откуда видно, что для расчета дисперсии интеграла от X(t) требуетсязнать корреляционную функцию rx (t, t0 ).ПОНЯТИЕСПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ.Рассмотрим понятие спектральной плотности.
Пусть x(t) — стационарный в широком смысле случайный процесс, в котором Ex(t) =Mx (t) и ковариационная функция rx (t). Поскольку ковариационнаяфункция является неотрицательно определенной, то по теореме Бохнера для процесса с непрерывным временем ее можно представить ввидеZ∞D(t) = r(t) =eiωt dF (ω),−∞а для процесса с дискретным временем — в видеr(t) =Zπeiωt dF (ω),−π12где F — неубывающая функция, называемая спектральной функциейраспределения случайного процесса, которая может быть разложенана три компоненты: абсолютно непрерывную функцию Fa , дискретнуюнепрерывную Fd и сингулярную непрерывную Fs . Если Fs = Fd = 0,а функция Fa имеет плотность, т.е.
dFa /dω = ϕ, то для процесса снепрерывным временем1 Z∞ −iωter(t)dt,r(t) =e ϕ(ω)dω, ϕ(ω) =2π−∞−∞а для процесса с дискретным временемZ∞Zπr(n) =iωteinω ϕ(ω)dω, ϕ(ω) =−π∞1 Xr(n)e−inω .2π n=−∞Очевидно, D(x) = varx = r(0) = dF (ω), где интеграл имеет понятные пределы для случая непрерывного и дискретного времени. Отсюдаследует, что сумма элементарных дисперсий, распределенных по всемудиапазону частот, задает дисперсию случайного процесса.
Очевидно,площадь под кривой спектральной плотности равна общей дисперсиипроцесса.Стационарный случайный процесс можно разложить на три процесса — отвечающие абсолютно непрерывной, сингулярной непрерывнойи дискретной составляющей спектральной функции распределения:Rx(t) = xa (t) + xd (t) + xs (t).Если функция Fd имеет конечное число скачков, то процесс xd состоит из конечной суммы гармоник. Следовательно, этот процесс чистодетерминированный. Но и в случае счетного числа гармоник он тожеявляется детерминированным. Процесс xs тоже чисто детерминированный.
Только процесс xa может быть как детерминированным, так инедерминированным.Стационарный в широком смысле процесс с функцией F (ω) = cω,т.е. с функцией плотности ϕ(ω) = dF/dω = c = const, называетсябелым шумом. В случае белого шума Fd и Fs равны нулю.В случае белого шума для дискретного времени получаемr(n) =Rπc inπω π|−π =in ei sin nω]π−π = Cn [sin nπeinω cdω =−πc[cosnω+in− sin(−nπ)] =2cn sinnπ.Таким образом, для белого шума с дискретным временем получаем:r(n) = 2cπ при n=0 и r(n) = 0 при остальных значениях n. Отсюда13следует, что значения процесса белого шума в различные моментывремени не коррелированы, а для нормального белого шума также инезависимы, т.е. это чисто случайный процесс.Однако в случае непрерывного времени интеграл, определяющийr(t) для случая белого шума при ϕ(ω) = , обращается в бесконечность.Поскольку преобразование Фурье от постоянной величины означает распределение всей массы в начале координат, т.е.
является δфункцией Дирака, то формально ковариационная функция белого шума имеет вид r(t) = 2cπδ(t). Так что и в случае непрерывного временибелый шум некоррелирован.Несмотря на бесконечность дисперсии во всей полосе частот, белыйшум используется для моделирования случайных процессов с постоянной спектральной плотностью в ограниченной полосе частот, хотя вэтом случае процесс уже не оказывается некоррелированным.2.
Стохастический интегралПусть требуется вычислить интеграл от детерминированной функции по стохастическому процессу y(t) с независимыми нормальнымиприращениями. В частном случае процесс y(t) может быть винеровским процессом w(t), который, как уже указывалось выше, непрерывенс вероятностью 1, но, однако, имеет неограниченную вариацию. Еслифункция f (t) — детерминированная функция ограниченной вариации,то интеграл от нее можно определить следующим образомZbf (t)dy(t) = f (b)y(b) − f (a)y(a) −aZby(t)df (t).aИнтеграл в правой части существует почти для всех выборочныхфункций, а следовательно, существует интеграл и слева. Однако подобный интеграл не обобщается на случай, когда не только y(t), но иf (t) — случайный процесс.
Когда f (t) — детерминированная функция,более естественно определить интеграл стандартным образом:J=Zf (t)dy(t) = limXf (τi )(y(ti+1 ) − y(ti )).Можно вычислить математическое ожидание и дисперсию этого интеграла:EJ = limXf (τi )E[y(ti+1 ) − y(ti )] =D(J) = varJ = varPif 2 (τi )[r(ti+1 ) −PZf (t)dmy (t),f (τi )[y(ti+1 ) − y(ti )] =ir(ti )]= f 2 (τ )dr(τ ), i → ∞.14RПусть w(t)- броуновское движение на интервале T = (0, T ). Определим интеграл Римана-Стилтьеса в виде суммыZtf (τ )dw(τ ) = limmXk∆k→0 k=1sf (τ ∗ )[w(τk ) − w(τk−1 )],(2.1)где τk−1 ≤ τk∗ ≤ τk , s0 = τ0 < τ1 < .
. . < τm = t, k∆k = max (τk − τk−1 ).1≤k≤mЭтот интеграл существует, если, например, f (t) — детерминированнаяфункция.Однако этот интеграл перестает существовать, если f (t) —случайнаяфункция, например равная w(t). Чтобы доказать это, построим “нижний”(J0 )и “верхний” (J1 ) интегралы Римана-Стилтьеса, полагая в (2.1) соответственно τk∗ = τ и τk∗ = τk−1 и вычисляя разность H = J1 − J0 междуэтими двумя интегральными суммамиEH = EEmPmPk=1{w(τk )[w(τk ) − w(τk−1 )] − w(τk−1 )[w(τk ) − w(τk−1 )]} =[w(τk ) − w(τk−1 )]2 = Ek=1mPk=1ηk2 (τk − τk−1 ) =mP(τk − τk−1 )E(ηk2 );k=1здесь в последних равенствах использовано свойство независимостиприращений процесса w(t) и нормальности этих приращений, задаваемых гауссовскими случайными величинами ηk , удовлетворяющимиусловиям Eηk = 0 и Eηk2 = 1 (заметим, что для винеровского процессаE[w(τk ) − w(τk−1 )]2 = τk − τk−1 ).Для обоснования полученого результата подсчитаем еще и EH 2 , такчто окончательно получаемmXEH =(τk − τk−1 ) = t − s,k=1EH 2 =mP(Eηk4 )(τk − τk−1 )2 +k=1PE[ηk2 ηi2 ](τk − τk−1 )(τi − τi−1 ),k6=ilim EH 2 = (t − s)2 .k→∞22Поскольку varη = EH − (EH) → 0, то H сходится в среднеквадратичном при k → ∞ к ненулевой постоянной (t − s).Итак, для стохастических интегралов J0 и J1 найдено, чтоJ1 − J0 = limNX[w(ti+1 ) − w(ti )]2 = t − s,i=115т.е.
интегралы зависят от выбора точки τi , а следовательно, стохастический интеграл не определяется единственным образом. Можноопределить континуум подобных интегралов формулойEH = Jα = (1 − α)J0 + αJ1 , 0 ≤ α ≤ 1.(2.2)Среди этих интегралов нижний интеграл J0 называется интеграломИто, а средний интеграл J0,5 — интегралом Стратоновича. ИнтегралИто обладает следующими свойствами:E fR (t)dy(t) = R E(f (t))dm(t),Rcov[ f (t)dy(t), g(t)dy(t)] = E[f (t)g(t)]dr(t),RR(2.3)означающими, что операции математического ожидания и интегрирования перестановочны; в то же время все остальные интегралы Jα привсех остальных α этим свойством не обладают.Однако у интеграла Стратоновича имеется то преимущество передостальными определениями интеграла (при α 6= 1/2), что только длянего справедлива стандартная формула интегрирования по частям.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
