STOXAST (932351), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

А следовательно e(t) можновыразить через измеряемые предшествующие состояния системыe(t) = y(t) + (a − c)t−1X(−c)t−i−1 y(i).i=−∞Это позволяет выразить оценку ŷ = ŷ(t + 1|t) упреждающего состояния y(t + 1) в момент t через измерения состояния, выполненныев предшествующие моменты времени. Проще всего получить подобную оценку не непосредственно, а с использованием оператора L−1сдвига назад во времени, действаующего следующим образом: x(t) =L−1 x(t + 1). Применяя этот оператор к уравнению (4.5), получаем(1 + cL−1 )e(t) = (1 + aL−1 )y(t),(4.5a)а если применить его к уравнению (4.5), переписанному в видеy(t + 1) + ay(t) = [e(t + 1) + ae(t)] + [ce(t) − ae(t)],то имеем[1 + aL−1 ]y(t + 1) = [1 + aL−1 ]e(t + 1) + [c − a]e(t).Отсюда следуетy(t + 1) = e(t + 1) +(c − a)e(t),(1 + aL−1(4.6)Вычитая из обеих частей этого равенства оценку ŷ упрежденного(на один шаг вперед) состояния и принимая во внимание, что случайная переменная e(t+1) не зависит от всех предшествующих состояний,а следовательно, дисперсия суммы в правой части полученного уравнения равна сумме дисперсий, получаем2(c − a)E[y(t + 1) − ŷ]2 = E[e(t + 1)]2 + E y(t) − ŷ  .(1 + cL−1Если ŷ(t + 1|t) =мальна и равна(c−a)(1+cL−1 y(t),(4.7)то дисперсия выражения (4.7) мини-E[y(t + 1) − ŷ]2 = E[e(t + 1)]2 = 1.23Следовательно, оптимальный одношаговый упредитель задается равенством(c − a)ŷ(t + 1|t) =y(t),(4.8)1 + cL−1которое после перехода от операторной формы к естественной задаетсяравенствомŷ(t + 1|t) + cŷ(t|(t − 1)) = (c − a)y(t).(4.8a)Ошибка построенного одношагового упредителя равна разности между уравнениями (4.6) и (4.8):y(t + 1) − ŷ(t + 1|t) = e(t + 1).Аналогичным образом можно вычислить двухшаговый (и вообще —многошаговый) упредитель.

Для этого, предполагая, что наблюденияпроводятся до момента (t + 1), перепишем сначала уравнение (4.5) воператорной форме для моментов (t + 2) и (t + 1):(1 + aL−1 )y(t + 2) = (1 + L−1 )e(t + 2).(4.9)В этом уравнении переменные e(t+2) и e(t+1) не зависят от наблюдений, а все предшествующие им переменные могут быть выраженычерез результаты наблюдений состояния y(t), y(t − 1),.... Уравнение(4.9) можно переписать в форме (4.6) и провести над ним следующиеэлементарные преобразования:(c−a)y(t + 2) = e(t + 2) + 1+aL−1 e(t + 1) =(c−a)+(c−a)aL−1 −(c−a)aL−1e(t + 2) +e(t + 1) =1+aL−1(c−a)(1+aL−1 )−a(c−a)L−1e(t + 1) =e(t + 2) +1+aL−1a(c−a)e(t + 2) + (c − a)e(t + 1) − 1+aL−1 e(t) =a(c−a)e(t + 2) + (c − a)e(t + 1) − 1+cL−1 y(t),(4.10)где последний член получен в результате применения уравнения (4.5a).Поскольку случайные переменные e(t + 1) и e(t + 2) не зависят другот друга и от предшествующих переменных, то дисперсия суммы в(4.10) равна сумме дисперсий, так что получаемE[y(t + 2) − ŷ(t + 2|t)]2 = E[e(t + 2)]2 + (c − a)2 E[e(t + 1)]2 +E ŷ(t + 2|t) +(4.11)2a(a−c)(1+cL−1 ) y(t) .Дисперсия выражения (4.11), очевидно, будет минимальной и равной (1 + (c−a)2 ), если обратить в нуль последний член в правой части,24т.е.

если положитьŷ(t + 2|t) +a(c − a)y(t),(1 + cL−1 )(4.12)а это последнее уравнение, определяющее двухшаговый упредитель,можно переписать в следующем видеŷ(t + 2|t) + cy(t + 1|t − 1) + a(c − a)y(t) = 0.Ошибка этого двухшагового упредителя, определяемая разностьюмежду уравнениями (4.10) и (4.12), равнаy(t + 2) − ŷ(t + 2|t) = e(t + 2) + (c − a)e(t + 1).Подобным же образом можно найти k-шаговый упредитель.Фильтр Калмана представляет собой решение задачи минимизации квадратичного функционала при ограничениях в виде линейныхдифференциальных уравнений. Уравнением Эйлера в подобной задачеоказывается дифференциальное уравнение Риккати.

Это уравнение вфильтре Калмана определяет дисперсию состояния системы.5. ДРУГОЙ ПОДХОД К УПРАВЛЕНИЮ СЛУЧАЙНЫМИПРОЦЕССАМИОсновная задача по управлению случайными процессами, которуютрадиционно пытаются решать теоретики и практики, состоит в том,чтобы минимизировать дисперсию. Как продемонстрировано выше, любые подходы к управлению случайными процессами, связанные с минимизацией дисперсии, аналогичны попыткам лечить болезнь средствами, облегчающими больному существование, и не пытаться понять корни болезни и воздействовать непосредственно на них, а не навозникшие последствия.К тому же, поскольку даже понятие интеграла в применении кслучайным процессам не представляется возможным определить однозначно без наложения на эти процессы предварительных крайне существенных и притом совершенно искусственных ограничений, то какможно ожидать от всех подобных подходов какой-либо эффективностиуправления этими процессами!Нами был еще давно опробован подход к управлению системами, накоторые воздействуют произвольные случайные процессы, суть которого состоит в следующем.

Поскольку в любых областях науки, техники, экономики представляют интерес не просто какие-то динамические25процессы (движение самолёта или ракеты, устойчивость конструкции,экономическая целесообразность и др.), а исключительно оптимальные процессы (например, полет с минимальным расходом топлива прилюбых возмущениях атмосферы; устойчивость и долговечность зданий в условиях торнадо и землетрясений; надёжность экономическогоразвития при любых внешних экономических воздействиях), то и системы управления следует строить не по принципу минимизации неподдающихся точному учету на этапе математического моделированиявредных (случайных) воздействий, а по принципу, в котором уже заранее "автоматически в каждое мгновение, отслеживается исходно заложенная в невозмущенную систему оптимальность, причем это "автоматическое"отслеживание исходно заложенного критерия оптимальностивсегда происходит в условиях любых возмущений без необходимостидополнительной минимизации воздействия этих случайных возмущений.Подобная "автоматически"отслеживаемая оптимальность поведениясистемы (при любых возмущениях) обеспечивается, если предварительно на основе математической модели динамики системы (без учетаслучайных возмущений) построен синтез (хотя бы численный, приближенный) оптимального управления.

Подобная схема управления случайно возмущаемыми системами была предложена автором и хорошозарекомендовала себя, в частности, при выведении космических аппаратов и самолетов на взлетно-посадочную полосу или в район посадкипри любых ветровых возмущениях.Заметим, что для широкого класса линейных динамических систем,как правило, удается найти даже аналитический синтез оптимальногоуправления [7]. Если же динамика системы описывается нелинейнымиуравнениями, то в условиях современных высокоскоростных вычислительных машин, обладающих огромной памятью, не представляетбольшой проблемы нахождение численного синтеза и хранение его впамяти бортовой вычислительной машины. В этих условиях становятся крайне неоправданными и малоэффективными любые подходы, основанные на минимизации дисперсии, причем по существу доступныетолько для линейных систем и притом в предположении, что реальныйслучайный процесс моделируется весьма искусственными "независимыми приращениями в противном случае даже грамотная поставка задачи минимизации дисперсии окажется принципиально неосуществимой.В свете сказанного мы рекомендуем специалистам по случайнымпроцессам использовать в своей практике теорию оптимальных процессов, в относительно полной (но, к сожалению, мало кому доступной) форме изложенную в [8] и дополненную наиболее полезными(с точки зрения практических приложений) новыми результатами (в26сравнительно элементарном изложении) в [9, 10].Отсылая читателя к работам [7–10], приведем, однако, некоторыенаиболее элементарные результаты в отношении решения задач оптимального управления, представляемые приведенной ниже теоремой.Пусть требуется найти оптимальную вектор-функцию управленияu(t) = (u1 (t), .

. . , um (t)) и соответствующую ей вектор функцию фазовых координат y(t) = (y1 (t), . . . , yn (t)), доставляющие максимум функционалуJ=Zf0 (u, y, t)dt + F (y(t0 ), t0 , y(t1 ), t1 )(5.1)Tпри ограниченияхdyi 4= ẏi = fi (u, y, t),dtu ∈ Q,i = 1, n,t ∈ T = [t0 , t1 ],(5.2)Gk (y(t0 ), t0 , y(t1 ), t1 ) = 0, k = 1, p,(5.3)где u : T → Q — измеримая (по Лебегу) вектор-функция, Q — компакт4в Rm ; отображение f = (f0 , f1 , . . . , fn ): Q × Rn × T → Rn+1 непрерывновместе с частной производной по y; функция |f | мажорируется на Tфункцией s(t)(|y| + 1), где s(t) — интегрируемая (по Лебугу) функция;y : T → Rn —абсолютно непрерывная вектор-функция; функции F иGk непрерывны.Теорема.

Если задача (1)–(3) имеет решение (u, y), то найдется4ненулевая непрерывная на T вектор-функция p(t) = (p0 , p1 (t), . . . , pn (t)),p0 = const ≥ 0, удовлетворяющая почти всюду на T уравнениям(Эйлера-Лагранжа)∂Hṗi = −, i = 1, n,(5.4)∂yiгде H = (p, f ) — гамильтониан (скалярное произведение вектора множителей Лагранжа и вектора f ), и краевым условиям (называемымусловиями трансверсальности):∂(l,G)∂yj0 ,∂(l,G)∂yj1 ,∂F−pj (t0 ) = p0 ∂y0 +j∂Fpj (t1 ) = p0 ∂y1 +jj = 1, n,5.5где yj0 = yj (t0 ), yj1 = yj (t1 ), а (l, G) — скалярное произведение (постоянного) вектора множителей Лагранжа l и вектора краевых условийG.27Гамильтониан H непрерывен на T , а в концах этого интервала удовлетворяет условиям∂FH t0 = p0 ∂t+ ∂(l,G)∂t0 ,0∂Ft1−H = p0 ∂t1 + ∂(l,G)∂t1 .(5.6)Оптимальное управление u(t) почти всюду на T удовлетворяет условию (Вейерштрасса):H = max H.(5.7)u∈QПродемонстрируем, с одной стороны, применение этой теоремы (Принципа максимума Понтрягина) на следующей простой задаче, а с другойстороны, покажем, как целесообразно изучать стохастические задачи,пользуясь понятием синтеза оптимального управления, полученногопредварительно для изучаемой задачи, в модели которой устраненыслучайные возмущения.Задача 1.

Пусть материальная точка движется прямолинейно поддействием управляющего ее движением ускорения u(t) (|u(t)| ≤ 1)возмущаемого случайным ускорением w(t) (|w(t)| < 1). Возмущенноедвижение описывается уравнениемd2 y1= u(t) + w(t).(5.8)dt2Детерминированную модель этого движения запишем в виде системы уравнений первого порядка:dy1dy2= y2 ,= u(t), t0 = 0, t1 = T.dtdtТребуется перевести точку из начального состояния4(5.9)4G1 = y1 (0) − y10 = 0,G2 = y2 (0) − y20 = 0в конечное состояние44G3 = y1 (T ) = 0,G4 = y2 (T ) = 0за минимальное время T , т.е. максимизировать функционал J = −T .Решение. Уравнения (5.4) принимают вид ṗ1 = 0, ṗ2 − p1 и имеютрешение p1 = C1 = const, p2 = −C1 t + C2 .

Характеристики

Список файлов лекций