ответы на билеты (928559), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Второй интеграл характеризует статический момент этой пло­щади относительно оси ординат, т.е.

где Zц.т - координата центра тяжести первой эпюры. Теперь получаем

Но = f₂(z_ц.т.) Следовательно,

Таким образом, по способу Верещагина операция интегри­рования заменяется перемножением площади первой эпюры на ординату второй (линейной) эпюры под центром тяжести первой.

В случае если обе функции f₁(z) и f₂(z) - линейные, операция перемножения обладает свойством коммутативности.

В этом случае безразлично, умножается ли площадь первой эпюры на ординату второй или площадь второй эпюры на ординату первой.

В каждый из интегралов Мора (5.8) входит произведение функций М_ХРМ_Х1, М_КРМ_К1 и т.д. Способ Верещагина применим к любому из шести интегралов.

Изменение моментов инерции стержня при параллельном переносе осей.

В дополнении к статическим моментам рассмотрим ещё три следующих интеграла:

Где по прежнему через х и у обозначены текущие координаты элементарной площадки dF в произвольно взятой системе координат xOy. Первые 2 интеграла называются осевыми моментами инерции сечения относительно осей х и у соответственно. Третий интеграл называется центробежным моментом инерции сечения относительно х, у. Осевые моменты всегда положительны, т.к. положительной считается площадь dF. Центробежный момент инерции может быть как положительным, так и отрицательным, в зависимости от расположения сечения относительно осей x, у.

Выведем формулы преобразования моментов инерции при параллельном переносе осей. (см рис). Будем считать, что нам заданы моменты инерции и статические моменты относительно осей х₁ и у₁. Требуется определить моменты относительно осей х2 и у2.

Подставляя сюда x₂=x₁-a и y₂=y₁-b Находим

Раскрывая скобки, имеем.

Если оси х₁ и у₁ – центральные, то S_x1= S_y1=0 и полученные выражения упрощаются:

При параллельном переносе осей (если одна из осей – центральная) осевые моменты инерции изменяются на величину, равную произведению площади сечения на квадрат расстояния между осями.

Билет 17.

Кручение незамкнутого открытого профиля (определение напряжений и перемещений).

В машиностроении, авиастроении и вообще в технике широко применяются тонкостенные стержни с замкнутыми (рис. 4.7, а) и открытыми профилями (рис. 4.7, б) поперечных сечений. Поэтому расчеты на кручение таких тонкостенных стержней имеет большое практическое значение.

Характерной геометрической особенностью тонкостенных стержней является то, что их толщина существенно (на порядок и более) меньше других геометрических размеров (длиной срединной линии контура поперечного сечения и длины стержня).

Х арактер распре­деления напряжений по толщине тонкостенного стержня открытого профиля близок к равномерному (рис. 4.7, б), а замкнутого профиля меняется по ли­нейному закону, как это показано на рис. 4.7, а. Откуда следует, что напряжения в поперечных сечениях открытого профиля прак­тически не изменятся, если профиль сечения распрямить. Иначе говоря, напряжения в криволинейном открытом профиле будут примерно такими же, как и в прямом.

Обращаясь к формулам (4.14) (_A  _max = ), (4.16) ( ) и при предельном пере­ходе , получим:

; , (4.17)

где   толщина профиля; s  длина контура профиля; l  длина стержня.

где   угловое перемещение

Основные механические характеристики свойств материалов при растяжении-сжатии.

Свойства материалов

Отметим наиболее важные свойства материалов которые обнаруживаются при их испытаниях. Эти свойства имеют фундаментальное значение при построении физических уравнений механики твердого деформируемого тела.

Упругость - это способность твердого деформируемого тела восстанавливать свою форму и объем после прекращения действия внешних нагрузок.

Пластичность - это свойство твердого деформируемого тела до разрушения необратимо изменять свою форму и объем от действия внешних сил.

Вязкость - это свойство оказывать сопротивление за счет трения происходящего при перемещении элементарных частиц тела относительно друг друга в процессе деформирования. Отметим, что при этом, как показывают результаты экспериментов, сила сопротивления, возникающая за счет внутреннего трения материалов, прямым образом зависит от величины скорости перемещения элементарных частиц относительно друг друга.

Упругость, пластичность и вязкость являются главными физическими свойствами твердого деформируемого тела.

Ползучесть - это явление характеризующееся изменения во времени величин деформаций и напряжений в теле при действии статических нагрузок.

Выносливость - при действии периодически изменяющихся по времени нагрузок, это явление, которое характеризуется чувствительностью и изменениями прочностных свойств материалов в зависимости от числа циклов нагружения

Билет 18.

Определение перемещений при изгибе. Интеграл Мора. Использование метода Верещагина для вычисления интеграла Мора.

Интеграл Мора для определения перемещений

Если необходимо найти перемещение точки, к ко­торой приложены внешние силы, мы сами прикладываем в этой точке внешнюю силу Ф в интересующем нас направлении. Далее, составляем выражение потенциальной энергии системы с учетом силы Ф. Дифференцируя его по Ф, находим переме­щение рассматриваемой точки по направлению приложенной силы Ф. Теперь остается вспомнить, что на самом деле силы Ф нет, и положить ее равной нулю. Таким образом, можно определить искомое перемещение.

П риложим в точке А по направлению Хl силу Ф. Внутрен­ние силовые факторы в каждом поперечном сечении при этом, вообще говоря, изменятся на величины, зависящие от силы Ф. Например, крутящий момент в некотором поперечном сечении будет иметь вид

где первое слагаемое представляет собой момент, который возникает под действием заданной системы внешних сил, а вто­рое слагаемое - дополнительный момент, который появляет­ся в результате приложения силы Ф. Понятно, что и М_КР, и М_КФ, являются функциями z, т.е. изменяются по длине стержня. Аналогично появляются дополнительные слагаемые и у остальных внутренних силовых факторов: М_Х = М_ХР + М_ХФ, М_У = М_УР + М_УФ и т.д.

Дополнительные силовые факторы Мкф, Мхф,… пропорциональны Ф.

M_k= M_kP+ M_k1Ф; M_x=M_xP+M_x1Ф; My=M_yP+M_y1Ф;

N=N_P+N_1Ф; Q_x=Q_xP+Q_x1Ф; Q_y=Q_yP+Q_y1Ф;

Где M_К1, M_Х1 ... - некоторые коэффициенты пропорциональ­ности, зависящие от положения рассматриваемого сечения, Т.е. переменные по длине стержня.

Если исключить систему внешних сил и заменить силу Ф единичной силой, то M_k = M_k1, M_x = M_x1 и т. д. Следо­вательно, Мк1, Мх1, Му1, N1, Qx1 и Qy1 - внутренние силовые факторы, возникающие в поперечном сечении под действием единичной силы, приложенной в рас­сматриваемой точке в заданном направлении.

Вернемся к выражению энергии

И заменим внутренние силовые факторы их значениями

Дифференцируя это выражение по Ф и полагая после этого Ф = О, находим перемещение точки А:

Полученные интегралы носят название интегралов Мора.

Способ Верещагина для вычисления интеграла Мора

Основным недостатком определения перемещений при помощи интеграла Мора является необходимость составления аналитического выражения подынтегральных функций. Это особенно неудобно при определении перемещений в стержне, имеющем большое количество участков. Однако если он состоит из прямых участков с постоянной в пределах каждого участка жесткостью, операцию интегрирования можно упро­стить. Это упрощение основано на том, что эпюры от единич­ных силовых факторов на прямолинейных участках оказыва­ются линейными.

Положим, на участке длиной 1 нужно взять интеграл от произведения двух функций f₁(z)*f₂(z): J = f₁ (z) f₂(z) dz (5.10)

п ри условии, что по крайней мере одна из этих функций - ли­нейная. Пусть f₂(Z) = b + kz. Тогда выражение (5.10) примет вид J = f₁ (z) dz+ k zf₁ (z) dz

Первый из написанных интегралов представляет собой пло­щадь, ограниченную кривой f₁ (z) (рис. 5.18), или, короче го­воря, площадь эпюры f₁(z):

Второй интеграл характеризует статический момент этой пло­щади относительно оси ординат, т.е.

где Zц.т - координата центра тяжести первой эпюры. Теперь получаем

Но = f₂(z_ц.т.) Следовательно,

Таким образом, по способу Верещагина операция интегри­рования заменяется перемножением площади первой эпюры на ординату второй (линейной) эпюры под центром тяжести первой.

В случае если обе функции f₁(z) и f₂(z) - линейные, операция перемножения обладает свойством коммутативности.

В этом случае безразлично, умножается ли площадь первой эпюры на ординату второй или площадь второй эпюры на ординату первой.

В каждый из интегралов Мора (5.8) входит произведение функций М_ХРМ_Х1, М_КРМ_К1 и т.д. Способ Верещагина применим к любому из шести интегралов.

Мембранная аналогия при кручении.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)