ответы на билеты (928559), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Моменты инерции сечения

В дополнении к статическим моментам рассмотрим ещё три следующих интеграла:

Где по прежнему через х и у обозначены текущие координаты элементарной площадки dF в произвольно взятой системе координат xOy. Первые 2 интеграла называются осевыми моментами инерции сечения относительно осей х и у соответственно. Третий интеграл называется центробежным моментом инерции сечения относительно х, у. Осевые моменты всегда положительны, т.к. положительной считается площадь dF. Центробежный момент инерции может быть как положительным, так и отрицательным, в зависимости от расположения сечения относительно осей x, у.

Выведем формулы преобразования моментов инерции при параллельном переносе осей. (см рис). Будем считать, что нам заданы моменты инерции и статические моменты относительно осей х1 и у1. Требуется определить моменты относительно осей х2 и у2.

Подставляя сюда x2=x1-a и y2=y1-b Находим

Раскрывая скобки, имеем.

Если оси х1 и у1 – центральные, то Sx1= Sy1=0 и полученные выражения упрощаются:

При параллельном переносе осей (если одна из осей – центральная) осевые моменты инерции изменяются на величину, равную произведению площади сечения на квадрат расстояния между осями.

Определение осевых и центробежных моментов инерции круга, прямоугольника, треугольника

Для круга. Из (4) определим осевой момент инерции круга относительно диаметра. Т.к. в силу симметрии Jx=Jy, получаем Jx=Jy=Jp/2. Известно, что для круга Jp=πD4/32. => Jx=Jy=πD4/64.

Для толстостенного кольца: Jx=Jy= πD4[1-(d/D)4]/64

Д
ля прямоугольного сечения: Jx=bh3/12; Jy=hb3/12 ; Jxy=0

Билет 14

1) Кручение тонкостенных замкнутых профилей (вывод формул для определения углов закручивания)

В машиностроении, авиастроении и вообще в технике широко применяются тонкостенные стержни с замкнутыми (рис. 4.7, а) и открытыми профилями (рис. 4.7, б) поперечных сечений. Поэтому расчеты на кручение таких тонкостенных стержней имеет большое практическое значение.

Характерной геометрической особенностью тонкостенных стержней является то, что их толщина существенно (на порядок и более) меньше других геометрических размеров (длиной срединной линии контура поперечного сечения и длины стержня).

Х арактер распре­деления напряжений по толщине тонкостенного стержня открытого профиля близок к равномерному (рис. 4.7, б), а замкнутого профиля меняется по ли­нейному закону, как это показано на рис. 4.7, а. Откуда следует, что напряжения в поперечных сечениях открытого профиля прак­тически не изменятся, если профиль сечения распрямить. Иначе говоря, напряжения в криволинейном открытом профиле будут примерно такими же, как и в прямом.

Обращаясь к формулам (4.14) (A  max = ), (4.16) ( ) и при предельном пере­ходе , получим:

; , (4.17)

где   толщина профиля; s  длина контура профиля; l  длина стержня.

где   угловое перемещение

2) проверка правильности решения задач растяжения по сопру…

Билет 15

1) Потенциальная энергия деформации и работа внешних сил при растяжении(сжатии)

линейно упругих систем. Удельная потенциальная энергия

Внешние силы, приложенные к упругому телу и вызывающие изменение геометрии тела, совершают работу А на соответству­ющих перемещениях. Одновременно с этим в упругом теле накап­ливается потенциальная энергия его деформирования U. При дей­ствии динамических внешних нагрузок часть работы внешних сил превращается в кинетическую энергию движения частиц тела К. Приняв энергетическое состояние системы до момента действия данных сил равным нулю, и в условиях отсутствия рассеивания энергии, уравнение баланса энергии можно записать в следующем виде: А = U + K. (2.8) При действии статических нагрузок К = 0, следовательно, А = U. (2.9) Это означает, что при статическом нагружении работа внешних сил полностью преобразуется в потенциальную энергию деформа­ции. При разгрузке тела производится работа за счет потенциаль­ной энергии деформации, накопленной телом. Таким образом, уп­ругое тело является аккумулятором энергии. Это свойство упругого тела широко используется в технике, например, в заводных пружи­нах часовых механизмов, в амортизирующих рессорах и др. В слу­чае простого растяжения (сжатия) для вывода необходимых расчет­ных зависимостей потенциальной энергии деформации рассмотрим решение следующей задачи.

На рис. 2.4, а изображен растягиваемый силой Р стержень, удлинение которого соответствует отрезку l, ниже показан график изменения величины удлинения стержня l в зависимости от силы Р (рис. 2.4, б). В соответствии с законом Гука этот график носит линейный характер.

Пусть некоторому значению силы Р соответствует удлинение стержня l. Дадим некоторое приращение силе Р  соответству­ющее приращение удлинения составит d (l ). Тогда элементарная работа на этом приращении удлинения составит:

dA = (P + d P)d (l) = Pd ( l) + d P  d (l), (2.10)

вторым слагаемым, в силу его малости, можно пренебречь, и тогда dA = Pd ( l ). (2.11) Полная работа равна сумме элементарных работ, тогда, при линейной зависимости “нагрузка  перемещение”, работа внешней силы Р на перемещении l будет равна площади треугольника ОСВ (рис. 2.4), т.е. А = 0,5 Рl . (2.12)

В свою очередь, когда напряжения  и деформации  распреде­лены по объему тела V равномерно (как в рассматриваемом случае) потенциальную энергию деформирования стержня можно записать в виде: . (2.13) Поскольку, в данном случае имеем, что V = F l, P =  F и  = Е , то , (2.14) т.е. подтверждена справедливость (2.9). С учетом (2.5) ( ) для однородного стержня с постоянным попе­речным сечением и при Р = const из (2.14) получим: . (2.15)

Если при рассмотрении заданной системы, находящейся в рав­новесном состоянии от действия заданных внешних нагрузок, все реакции в связях закрепления, а также внутренние усилия в ее эле­ментах, можно определить только по методу сечений, без использо­вания дополнительных условий, то такая система называется ста­тически определимой.

Удельная потенциальная энергия деформации при сдвиге: ,

где V=аF — объем элемента. Учитывая закон Гука, .

Вся потенциальная энергия при чистом сдвиге расходуется только на изменение формы, изменение объема при деформации сдвига равно нулю.

2) Особенности статически неопределимых систем (на примере ….)

Если при рассмотрении заданной системы, находящейся в рав­новесном состоянии от действия заданных внешних нагрузок, все реакции в связях закрепления, а также внутренние усилия в ее эле­ментах, можно определить только по методу сечений, без использо­вания дополнительных условий, то такая система называется ста­тически определимой.

Системы, в которых количество наложенных связей больше, чем число независимых уравнений равновесия, называются статически неопределимыми.

По сравнению со статически определимыми системами, в ста­тически неопределимых системах имеются дополнительные связи.

На рис. 2.5, а изображен кронштейн, состоящий из двух стерж­ней, шарнирно скрепленных между собой. В связи с тем, что на конструкцию действует лишь вертикальное усилие Р, а система яв­ляется плоской (т.е. все элементы конструкции и вектор внешних сил лежат в одной плоскости), получается, что усилия в стержнях легко определяются из условий равновесия узла А, т.е. x = 0, y = 0. (2.16)

Раскрывая эти уравнения, получаем замкнутую систему линей­ных уравнений относительно неизвестных усилий N1 и N2 в кото­рой количество уравнений равно количеству неизвестных:

N1  N2 sin  = 0; N2 cos   Р = 0.

Е сли конструкцию крон­штейна усложнить, добавив еще один стержень (рис. 2.5, б), то усилия в стержнях N1, N2 и N3 прежним способом определить уже не удастся, т.к. при тех же двух уравнениях равновесия (2.16) имеются уже три неиз­вестных усилия в стержнях. В таких случаях говорят, что сис­тема один раз статически неопределима. Разность между числом неизвестных усилий и количеством независимых (значащих) урав­нений равновесия, связывающих эти усилия, называется сте­пенью статической неопределимости рассматриваемой системы.

В общем случае под nраз статически неопределимой системой понимается система, в которой число неизвестных внешних опорных реакций и внутренних усилий превышает число не­зависимых и значащих уравнений равновесия на n единиц.

Билет 16.

Способ Верещагина для вычисления интеграла Мора.

Основным недостатком определения перемещений при помощи интеграла Мора является необходимость составления аналитического выражения подынтегральных функций. Это особенно неудобно при определении перемещений в стержне, имеющем большое количество участков. Однако если он состоит из прямых участков с постоянной в пределах каждого участка жесткостью, операцию интегрирования можно упро­стить. Это упрощение основано на том, что эпюры от единич­ных силовых факторов на прямолинейных участках оказыва­ются линейными.

Положим, на участке длиной 1 нужно взять интеграл от произведения двух функций f₁(z)*f₂(z): J = f₁ (z) f₂(z) dz (5.10)

п ри условии, что по крайней мере одна из этих функций - ли­нейная. Пусть f₂(Z) = b + kz. Тогда выражение (5.10) примет вид J = f₁ (z) dz+ k zf₁ (z) dz

Первый из написанных интегралов представляет собой пло­щадь, ограниченную кривой f₁ (z) (рис. 5.18), или, короче го­воря, площадь эпюры f₁(z):

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)