ответы на билеты (928559), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

K₁ = tg  . (5.28)

Угловой коэффициент нейтральной линии, как следует из (5.27), определяется выражением: (5.29)

Т.к. в общем случае I_x  I_y, то условие перпендикулярности прямых, не соблюдается, поскольку K₁  - 1/К₂ . Брус изгибается не в плоскости изгибающего момента, а в некоторой другой плоскости, где жесткость на изгиб будет минимальной

Билет 7

₁₎ энергия деформации и работа внешних сил при растяжении (сжатии) линейно упругих стержней. Удельная потенциальная энергия

Потенциальная энергия деформации

Внешние силы, приложенные к упругому телу и вызывающие изменение геометрии тела, совершают работу А на соответству­ющих перемещениях. Одновременно с этим в упругом теле накап­ливается потенциальная энергия его деформирования U. При дей­ствии динамических внешних нагрузок часть работы внешних сил превращается в кинетическую энергию движения частиц тела К. Приняв энергетическое состояние системы до момента действия данных сил равным нулю, и в условиях отсутствия рассеивания энергии, уравнение баланса энергии можно записать в следующем виде: А = U + K. (2.8) При действии статических нагрузок К = 0, следовательно, А = U. (2.9) Это означает, что при статическом нагружении работа внешних сил полностью преобразуется в потенциальную энергию деформа­ции. При разгрузке тела производится работа за счет потенциаль­ной энергии деформации, накопленной телом. Таким образом, уп­ругое тело является аккумулятором энергии. Это свойство упругого тела широко используется в технике, например, в заводных пружи­нах часовых механизмов, в амортизирующих рессорах и др. В слу­чае простого растяжения (сжатия) для вывода необходимых расчет­ных зависимостей потенциальной энергии деформации рассмотрим решение следующей задачи.

На рис. 2.4, а изображен растягиваемый силой Р стержень, удлинение которого соответствует отрезку l, ниже показан график изменения величины удлинения стержня l в зависимости от силы Р (рис. 2.4, б). В соответствии с законом Гука этот график носит линейный характер.

Пусть некоторому значению силы Р соответствует удлинение стержня l. Дадим некоторое приращение силе Р  соответству­ющее приращение удлинения составит d (l ). Тогда элементарная работа на этом приращении удлинения составит:

dA = (P + d P)d ( l ) = Pd ( l ) + d P  d ( l ) , (2.10) вторым слагаемым, в силу его малости, можно пренебречь, и тогда dA = Pd ( l ). (2.11) Полная работа равна сумме элементарных работ, тогда, при линейной зависимости “нагрузка  перемещение”, работа внешней силы Р на перемещении l будет равна площади треугольника ОСВ (рис. 2.4), т.е. А = 0,5 Рl . (2.12) В свою очередь, когда напряжения  и деформации  распреде­лены по объему тела V равномерно (как в рассматриваемом случае) потенциальную энергию деформирования стержня можно записать в виде: . (2.13) Поскольку, в данном случае имеем, что V = F l, P =  F и  = Е , то , (2.14) т.е. подтверждена справедливость (2.9). С учетом (2.5) для однородного стержня с постоянным попе­речным сечением и при Р = const из (2.14) получим: . (2.15)

Если при рассмотрении заданной системы, находящейся в рав­новесном состоянии от действия заданных внешних нагрузок, все реакции в связях закрепления, а также внутренние усилия в ее эле­ментах, можно определить только по методу сечений, без использо­вания дополнительных условий, то такая система называется ста­тически определимой.

2) геометрические характеристики плоских сечений

Билет 8

1) Теорема Кастилиано

Установим теперь метод определения перемещений, основанный на вычислении потенциальной энергии деформации. Поставим задачу нахождения перемещений точек упругой системы по направлению действия приложенных к этой системе внешних сил.

Будем решать эту задачу в несколько приемов; сначала рассмотрим более простой случай (Рис.1), когда на балку в сечениях 1, 2, 3,... действуют только сосредоточенные силы , )... и т. д. Под действием этих сил балка прогнется по кривой и останется в равновесии.

Прогибы сечений 1, 2, 3,..., в которых приложены силы , , ,..., обозначим , , ,... и т. д. Найдем один из этих прогибов, например — прогиб сечения, в котором приложена сила .

Переведем балку, не нарушая равновесия, из положения в смежное положение , показанное на фиг. 328 пунктиром. Это можно сделать различными приемами: добавить новую нагрузку, увеличить уже приложенные и т. д.

Мы представим себе, что для перехода к смежному деформированному состоянию к силе сделана бесконечно малая добавка (Рис.1); чтобы при этом переходе не нарушать равновесия, будем считать, что эта добавка прикладывается статически, т. е. возрастает от нуля до окончательного значения медленно и постепенно.

Расчетная модель к теореме Кастильяно.

При переходе от состояния балки к состоянию все нагрузки Р опустятся, значит, их потенциальная энергия уменьшится. Так как равновесие не нарушалось, то уменьшение, энергии нагрузок целиком преобразовалось в увеличение потенциальной энергии деформаций балки dU. Величина измеряется работой внешних сил при переходе балки из положения в положение II:

Изменение dU потенциальной энергии деформации, являющейся функцией сил , , ,..., произошло за счет очень малого приращения одной из этих независимых переменных , поэтому дифференциал такой сложной функции равен:

Что касается величины , то эта работа в свою очередь является разностью работы нагрузок Р для положений и :

Работа при одновременном и постепенном возрастании сил Р равна:

При вычислении работы учтем, что ее величина всецело определяется окончательной формой деформированной балки и не зависит от порядка, в котором производилась нагрузка.

Предположим, что мы сначала нагрузили нашу балку грузом ; балка очень немного прогнется (Рис.2, положение III), и прогибы ее в точках 1, 2, 3 будут . Работа статически приложенной нагрузки будет равна . После этого начнем постепенно нагружать балку одновременно возрастающими грузами , , .

Рис.2. Расчетная модель к теореме Кастильяно.

К первоначальным прогибам добавятся прогибы (Рис.2). При этой стадии нагружения силы , , произведут работу , кроме этого, произведет работу уже находившийся на балке груз ; он пройдет путь , и так как при втором этапе нагружения он оставался постоянным, то его работа равна Балка займет положение , показанное на Рис.2 пунктиром.

Таким образом, полная работа, проделанная внешними нагрузками при переходе балки из недеформированного состояния в положение , будет равна.

Теперь вычислим

Пренебрегая слагаемым второго порядка малости, получаем:

Подставляя полученные значения dU и в исходное уравнение, находим

или

Таким образом, в рассмотренном случае прогиб точки приложения сосредоточенной силы , равен частной производной потенциальной энергии деформации по этой силе.

Полученный результат можно обобщить. Пусть на балку помимо сосредоточенных сил Р действуют в разных сечениях еще пары сил М (Рис.3). Мы можем повторить предыдущие рассуждения, считая, что балка переводится из положения в положение путем добавки к паре . Весь ход рассуждений остается без изменений, надо будет лишь при вычислении работы моментов , ... умножать их не на прогибы, а на углы поворота , ,... тех сечений, где эти пары приложены. Тогда dU будет равно станет , и в итоге получим:

Рис.3. Обобщенная расчетная модель к теореме Кастильяно.

Так как — это перемещение, соответствующее силе , a — перемещение, соответствующее силе то полученные нами результаты можно формулировать так: производная потенциальной энергии деформации по одной из независимых внешних сил равна перемещению, соответствующему этой силе. Это и есть так называемая теорема Кастильяно, опубликованная в 1875 г.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)