ответы на билеты (928559), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

П ри деформации элемента, ограниченного площадками чистого сдвига, квадрат превращается в ромб.  — абсолютный сдвиг,

  — относительный сдвиг или угол сдвига.

2 ) Теорема о взаимности работы

Билет 3

1)Удельная потенциальная энергия при сдвиге. потенциальная энергия деформации при кручении стержня

Внешние силы, приложенные к упругому телу и вызывающие изменение геометрии тела, совершают работу А на соответству­ющих перемещениях. Одновременно с этим в упругом теле накап­ливается потенциальная энергия его деформирования U. При дей­ствии динамических внешних нагрузок часть работы внешних сил превращается в кинетическую энергию движения частиц тела К. Приняв энергетическое состояние системы до момента действия данных сил равным нулю, и в условиях отсутствия рассеивания энергии, уравнение баланса энергии можно записать в следующем виде: А = U + K. (2.8) При действии статических нагрузок К = 0, следовательно, А = U. (2.9) Это означает, что при статическом нагружении работа внешних сил полностью преобразуется в потенциальную энергию деформа­ции. При разгрузке тела производится работа за счет потенциаль­ной энергии деформации, накопленной телом. Таким образом, уп­ругое тело является аккумулятором энергии. Это свойство упругого тела широко используется в технике, например, в заводных пружи­нах часовых механизмов, в амортизирующих рессорах и др. В слу­чае простого растяжения (сжатия) для вывода необходимых расчет­ных зависимостей потенциальной энергии деформации рассмотрим решение следующей задачи.

На рис. 2.4, а изображен растягиваемый силой Р стержень, удлинение которого соответствует отрезку l, ниже показан график изменения величины удлинения стержня l в зависимости от силы Р (рис. 2.4, б). В соответствии с законом Гука этот график носит линейный характер.

Пусть некоторому значению силы Р соответствует удлинение стержня l. Дадим некоторое приращение силе Р  соответству­ющее приращение удлинения составит d (l ). Тогда элементарная работа на этом приращении удлинения составит:

dA = (P + d P)d ( l ) = Pd ( l ) + d P  d ( l ) , (2.10) вторым слагаемым, в силу его малости, можно пренебречь, и тогда dA = Pd ( l ). (2.11) Полная работа равна сумме элементарных работ, тогда, при линейной зависимости “нагрузка  перемещение”, работа внешней силы Р на перемещении l будет равна площади треугольника ОСВ (рис. 2.4), т.е. А = 0,5 Рl . (2.12) В свою очередь, когда напряжения  и деформации  распреде­лены по объему тела V равномерно (как в рассматриваемом случае) потенциальную энергию деформирования стержня можно записать в виде: . (2.13) Поскольку, в данном случае имеем, что V = F l, P =  F и  = Е , то , (2.14) т.е. подтверждена справедливость (2.9). С учетом (2.5) для однородного стержня с постоянным попе­речным сечением и при Р = const из (2.14) получим: . (2.15)

Если при рассмотрении заданной системы, находящейся в рав­новесном состоянии от действия заданных внешних нагрузок, все реакции в связях закрепления, а также внутренние усилия в ее эле­ментах, можно определить только по методу сечений, без использо­вания дополнительных условий, то такая система называется ста­тически определимой.

Потенциальная энергия при сдвиге:

.

Удельная потенциальная энергия деформации при сдвиге:

,

где V=аF — объем элемента. Учитывая закон Гука, .

Вся потенциальная энергия при чистом сдвиге расходуется только на изменение формы, изменение объема при деформации сдвига равно нулю.

Потенциальная энергия при кручении:

.

2) Напряжение в наклонных площадках растянутого стержня

Рассмотрим более подробно особенности напряженного состоя­ния, возникающего в однородном растянутом стержне. Определим напряжения, возникающие на некоторой наклонной площадке, со­ставляющей угол  с плоскостью нормального сечения (рис. 2.6, а).

Рис. 2.6

Из условия z = 0, записанного для отсеченной части стержня (рис. 2.6, б), получим: р F_ =  F, (2.17)

где F  площадь поперечного сечения стержня, F_ = F/cos   площадь наклонного сечения. Из (2.17) легко установить: р =  сos . (2.18)

Раскладывая напряжение р по нормали и касательной к на­клонной площадке (рис. 2.6, в), с учетом (2.18) получим:

_ = p cos  =  cos2 ; _ = p sin  = 0,5 sin 2  . (2.19)

Полученные выражения показывают, что для одной и той же точки тела величины напряжений, возникающих в сечениях, про­ходящих через эту точку, зависят от ориентации этой площадки, т.е. от угла . При  = 0 из (2.19) следует, что _ = , _ = 0. При  = /2, т.е. на продольных площадках, _ = _ = 0. Это означает, что продольные слои растянутого стержня не взаимодействуют друг с другом. Касательные напряжения _ принимают наибольшие зна­чения при  = /4, и их величина составляет max=/2. Важно отме­тить, как это следует из (2.19), что . Следовательно, в любой точке тела на двух взаимно перпендикулярных площадках касательные напряже­ния равны между собой по абсолютной величине. Это условие является общей закономерностью любого напряженного состояния и носит название

закона парности касательных напряжений.

Т еперь перейдем к анализу деформаций в растянутом стержне. Наблюдения показывают, что его удлинение в продольном направлении сопровождается пропорциональным уменьшением попереч­ных размеров стержня (рис. 2.7). Если обозначить:

_прод = ; _попер = , ,

то, как показывают эксперименты,  = const для данного материала и является безразмерным коэффициентом Пуассона

Величина  является важной характеристикой материала и определяется экспериментально. Для реальных материалов  принимает значе­ния 0,1  0,45.

При растяжении стержня возникают не только линейные, но и угловые деформации.

Рассмотрим прямой угол АВС (рис. 2.8, а), образованный отрез­ками АВ и АС, в недеформированном состоянии.

Рис. 2.8

При растяжении стержня точки А, В и С займут положение А , B , C  соответственно. Величина _ = ВАС  А B C 

называется угловой деформацией или угловым сдвигом в точке А.

Совместим точки А и А  и рассмотрим взаимное расположение отрезков АВ и А B  (рис. 2.8, б). На этом рисунке отметим вспомо­гательные точки K и L и прямую n, перпендикулярную отрезку А B . Из рис. 2.8, б имеем:

прод = ; попер = , откуда с учетом прод = получим:

. (2.20)

Для определения _ спроектируем ломаную ВLB А  на ось n Ssin _ = BL cos ( + _) + LB sin( + _), откуда, учитывая ма­лость угла _, т.е. sin _  _, cos _  1, получим:

_ = . (2.21)

В результате совместного рассмотрения (2.20) и (2.21) получим:

_ = . Откуда .

Следовательно, . (2.22)

Сопоставляя выражение _ с выражением _ из (2.17) (_ = 0,5 sin 2  ) окончательно получим закон Гука для сдвига: (2.23)

где величина называется модулем сдвига или модулем упругости материала второго рода.

Если пренебречь случайным разбросом прочностных свойств материала конструкции, то расчетное и нормативное значения, а также среднее значение несущей способности R совпадают

RP = [R] = <R> = R,

а уравнение (7) позволяет получить выражение нормативной или допускаемой нагрузки через

(Пусть внешние нагрузки определены с точностью до одного параметра S, а напряжение связано с этим параметром зависимостью

Тогда условие прочности (1) можно записать через внешние нагрузки

Здесь через R обозначено предельное значение нагрузки, т.е. такое ее значение, которое приводит к предельному состоянию

.

Величина R, зависящая от свойств материала и условий нагружения, называется несущей способностью или сопротивлением.

При заданном значении S отношение

называется коэффициентом запаса.

Он обозначает, что сколько раз нужно увеличить нагрузку, чтобы достичь предельного состояния. Вместо условия прочности (2) можно записать эквивалентное условие)

нормативный коэффициент запаса

[S] = R / [n].

При этом параметр несущей способности R связан с предельным значением напряжения.

Если на заданную конструкцию действует фиксированная неслучайная нагрузка S, то соотношение

NS = R / S Определяет коэффициент запаса по нагрузке

При этом условие прочности можно переписать следующим образом

S < [S].

После подстановки условие прочности примет вид

nS > [n]

Переход от нагрузок к вызываемым этими нагрузками напряжениям производится по ранее описанным соотношениям. Отношение

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)