Иродов. Ядерная физика (задачник) 1984 (926528), страница 34
Текст из файла (страница 34)
4.19. Из условия зрмнтовостп операторов А и В следует, что ~~Р,' А (В~Рз) дт:=- ~ Вфз(А' ф~;) и =) А ф*,(д~„)дт =-~ ~Р В'(А~ ~Р;)д(т. А В ~~ммутнрукп', значит, В* А =.А В ~ ф, А Вф И~:.=- ~ ф., А' В'ф,Ит,;, 4.20. Каждый оператор коммутирует сам с собой, значит если оператор 4:-„ зрмитов„то зрмнтовыми будут операторы Аз — -- А А и А н. 4.23. а) Уравнение Ь, ф -'- Е.,др имеет решение $ =- А ехр (~Ь,~рй). Из тре- д боваиия однозначности, ф (~р) —.- ф (~р+ 2п), следует, что Е, =- тл, где т ='....':., = О, ~1, ~2, ... Из условия нормировки А .— — (2п)' '~-'. В результате: ф„„,--- (2п)- ~ ~з ехр (1т~р); б) собственные значения 1.~ .--- тз~Р, где т =- О, -~), -ь2, ... Собственнын' функции имеют тот же внд, что н для оператора Ь~, т.
е. функция $т =,р =- (2Н) д~ ехр ((т~р) является общей собственной функцией операторов Х, а:.':. ,(.д. Все со~~ояния с собс*вепнымн значениями А~, кр~~е т:--- О, двукратно вм",з. рождены (по направлению вращательного момента, Х., — — -(-~т16). 4.24. 2йе. 4.26. а) ~ ф', Х,, фз 0(р=. — ) йф, ф~ ф" +~ф ()пдф,рддр) йр == ==-) Аз~, Фт Ф~. здесь 'ф;Щзе" .— -- О, так кзк функции ф' и ~рз удовлетворяют требованию одибм!:, ЗНЗЧНОСТИ; 6) 1 Ф~~.
Фз '(т= ~ (К т Ру Ф Ф~у Рж Фз)'(т В силу зрмитовости ОператОрОН Р~ И,Рн ПОдынтегрзльйОе выражение можно н ",,' Образовать та к: Ф.р„'Ф1 — Жр.'Ф~== Ь(л~р; — ар )1~=--Ф ~.' р~- 4.26. ~ ~Р, 1 - 'ф, ат--- ~ (ф~ К., 'фа +'ф~ Е 2~Рз +ф1 Е~~ ф~) д(т. уак как опеРЗТОРЫ 1.х, .(.а, 7., ЭРмитовм, то ЭРмктовь«ь«и будут и квадРатм этик Операто)»ов, з еледовзтелько, к Оператор . З) ~ 1.„., р 1 =-(Ф„", р„) рх+р (7-х. р,) - О, кбо (( к, ~Ъ( — — О- 4.36.
Оператор Т ь«ок(ио представить и сферических коордк««атзх В виде T =- 7*,. +- 1.',~2тхГ, Где T, — оператор, Действу«О«пий т~л~ко на перемеки; к«Г. 7зк кзк оп~р~т~р Š—. — Й 7ф,(Г Декствует ~олешко на переме««««ь«е 6 и (р, й ф т(ъ ( К,'-„Ц= ( Аз, 7 )+( 7з„7. з/2тГз)=0. 4.31. а) (К.„., Г.„1= —,(.„ń—,(, (,,=(ур — гр,.) (гр — хр,) — (гр„— хр,)»< >< (ур~ — зр„) =.
(г, р,1 (хр — цр„) = — «й (хрв — ур ) =1 й 1,. 4.32. З) ( «"..з, ~„)=у.„'„7.„.)+ ~~„-', ~„.)+ Е~, 7„~, Где Й~, 1'х1 ==О; 1 Еу, 1.„.1=--1««(1.к, ~.„.(+.~Е,„, ~х) Е„= — 1й (Ек Е,+1.х Ез); Ьх, А„) -:Е (1,, ~„)+(Е~, 1„) $=, = — «й (Е~ 1 а+~.в Ех), Отек»дз видцо, что 1(;-' .(.„.) —. О. Дцал(цкчц(«дли ~, и 7.х. 4*33. В случае Г =- Ä— — еопз1 Н = — (ЙЭ~2рГО)1«О,(Г =- (~lз)и'6)Ь .
ПоэтомУ ««Ф — («~з1«г3) (-~Ф вЂ” Е«р. Тзк кзк собствеикне значеиии оператора (.з равиь« ~«'1(1+ 1), то Е = И(1 —, ;1)/21(гз~. 4.34* Вследствие эрмктовоетн оператора А ( ф~А «р(й= 1 «1«А~$'((т. Отлола <А» = <А'>, что возможно лип«ь при ве«неетвениом <А>. 4*36* Воспользовавп«ись тем, что Нх — х Н вЂ”.- — (1й~ш)рх, запип«еь«: (р„>.= ~ ф' р„.
фйх —.. (1 и/й) ~ («р~Н хф — «р' х Н ф дх. ВследстВке эрмнтОКОсти Гзмкльтоикзиа подь«нтеГрзльное Вь«рзжение можно переписать в виде х«~Й«Р~ — тф~Йф —.-: О, поскольку Н'ф'-=Е«р(' и Й«р =-- Еф. Итак, <Рх> =- О, чтО и тРебовзлось Доказать. 4.37. а) Из условия Нормировки Аз — — — 8/31. (Т>;-~ «р7"«р (1х — — (Дз~'2т) ~ «р«р (1х==-з/з ГРДЭ тР'„ б)АЭ =-- ЗО,'Р; <Т> =- БГ«ч~жР. 4.3$. Из условии нормировки Аз = я ~/2«п; <7> = <У> — -- й(О/4. 4.39. («) Здесь ф„(х) = (2 4)'~з З1п (««лхй~); ((Лх)з> — — - (хз> — (х>з =- (1 — 6««(з па) Р~'12; ((Зр »- — (рФ вЂ”:(«Т31ОЗ и' б) из условии Нормировки А'- =.— д, ~Г'27в; ((Лх)')::= «~ АР; ((Лр„)з>=----СР йз1 в) Аа — и ~'2 л; ((Ах)а> -:(х~>=-1~'АР„((Лр„)з>--.(рх> — (рх>з --- е(Рдз, Ук(«зойке: при вмчкелекни средиеГО значения квадрата импульса целее(к«б" разиО Воспользовзтьси своиством зрмн*ОКОстн Оператора р„, блзГОдзри чему (р~~> = 1 ф' р х«фх — - ) 1 р„ф 1 дх.
4.41* Из услоиня нормирОВЙИ А -"- 1 л; С (Л(р)а) == Сф' ) — Сф)а; --- л'-'''3 — 1:.."2; < (ЛЬ„.)а > =-.— < Х.~ ) — — й-. 4.42. Имея и Виду, что 1ДЕ.,„— — (А„, (..„), запишем: ((. )- — — (1,' Д) ~ (ф~ Еу ~, ф — ф"' Г., .(., ф) Нт. Так как ло услоаию ~,ф =- Х,„.ф н оператор А„. зрмитоа, то подынтегральиое В" ражейие ЙОжно преОбразоаать так: ~. Ф Ф' ЕЧ ~-: ф — ф'1- ~У Ф=-~= Ф'(-ч Ф вЂ” КУ Ф) ". Ч' ((.д Ф) (М- Ф' — ~, Ф'1', НО посдедняя СКОбка раана исаи Всдедстане ВещестВеииости собстаенного зй' чения зрмнтоиа Операт~ра ((, =. 1.»).
Лнааогнчно Й ддя Оператора 4 43 < (а — 1 ф~а ФЙ2 = — АЙ где ~И -- ч(ибддйр 4,44. Так как х, у, и х раиной))Баит, то С Е.'- ) = (Лх З вЂ” '- с Лу) Г Е',„) ---- 3 ( Е~~). С учетом рааиОВероят~Ости разлмчнйх Бозможнык з" ченнй Е, имеем: 4.45. Имеем А ф, - А,фт н А ф,,: — Ааф.. В снд»' зрмнтоаости Оператора, еГО собстаениие зиачейия ВещестВенны н ~ ф, Афадт--)ф А~ф, дт, ЙлиА.,( ф, фаИТ=.А;~ф.,ф,~(т. Так как А, ь Аа, то по~~~Д~~~ р~В~ЙС~В~ Возможно анись ИРЙ Уст ф~ффт = О.
Зйачнт, ф)*нкннн ф~ и ф~ ортогональны. 4.47. а) Умностям обе части разложения ф (х):-- ~сьфд (х) па фу (х) и Й ' интегрнруегй затем ИО х: ф1 фг(х -- ° ~», Оу ~ ф 'фа а1Х. В силу Ортоиормироааниостн собстаениык функинй оператора А Все ннтегр Б праВО6 части лОследнеГО рааенстВЙ Обраща10тсй В июль, крОгае ОднОГО, )' н рого Ф -= 1.
Таким образом, г~ --- ( ф1фНХ; б) (А)--) ф' Афдх.- ~ ( ~" с„~Ц .~' гу А~ ф) Их=- . — ~~~ с, г~ Ау ) ег ~рй(х-: '"ь ~ сй (ЙАу,. а, Причем 1сь ~а: — 1, чтО непОсредстВеино Вытекает из Услоаия НОрмнрОВки фу',' пни 4' (х): ) ф~ фЫХ-.= ~ гь су ( ф,~ ф1 Нх- — 1. Отсазда следует, что козффиннеить~ )са(е — зто Вероятности Обнаружи*ь Ой деиные значеиня гйеханической Величины Аа.
4.46. Г1ре~кде Всего сдеДует Вычислить нормнроаочйый козффнпиеит А. роятность нахоидеЙЙЙ част~Ны на и-м уроане Определяется кВадратОН мо'"" козффинйейта раздо®ения ай функннн ф (х) по собстаенным функнням ф,ф::. оператора Ч: с„-- ( ффйИХ, где ф„— — (2/()'~~ а(п (Йлхй); а) А'-' 6 М. Искомая Вероятность щ~ = — — с~а =- 256/27ле =:=- 0,96: б) Аа 30 (; ю„=- сч — 240 (лл) — е 11 — ( — 1)"Р, т. е. гай отлично от.н, Нечетных ) роаиен (и — 1, 3, 5, ...); ддя ннк аа~ =- 960»' (нй)~; «Щ.', 0,999, и,', 0,001.
150 4.49* В) Вычкслйм ейачалй НОрмнрОВОчний КОэффйнпейт А -- 2," $~ Зн. 33- тем разлО~~НК фуйннй® ф (<() ВО ООбетйеййь~н фуййннйн Ойератйра (.: — Онй йнеют Вид фр, (ф):--- (2й) '''- е' ~". - 1 ~Ч 9 ф (ц:): —:А з)в'-'  — -(Зл) "" (1 — саз24")=(Зл) ~" (1 — "::з е~'ч — -1' е ~~В):.—. — 1~ 2 3 фе — (/ 1 6 ф „. „— ~/ 1 'б ф 1(ОэффйЦйенти сд КЯНДем йз йзчальнОГО уелОВнЯ: 2З / З 15,.~ З с„— --- Ч'(х, 6) ф„(х) дх — А ~1 — ( — 1)" 1. НЗ ПЗ ОтООда ВйдйО, чтО сд чь О тОлькО прн Яечетйых и, Из услОБКЯ ЯОрмйрОВНК фуйк" ций Ч~(х, О) нахОдйм А'-'.—. ЭО."1з.
В результате %х, О) =- (8 л з) (ЗО.' 1) ~ ~ з ~~.," (1,: аз) з 1н (влдЛ) е гДе ь~,„=- Е~ Й -= (6~27)йчт, ~й — О, +1, ~-.2, ... Затей разлО~нйн йсйОнузз фтннп,ню Ч~ ф, т) пО Ч~„,( ~р, О): Ч' (~р, 1) =- ~:а Ч",„(~р, т), где коэффннйепты е „Онределйч нз ййчальйОГО услОВКЯ Ч» (ф, О) —" ~е„,е' (см.
рийение задйчй 4,49). В результате: Ч~(Ч', 1)=» з А(1+ВОЯ 2~р е~з ~~1). Л тзк кзк дЧ'/д«-- — (1~Ц НЧ' и дЧ'еуд»=-(ь «») НЧ'~, то Г- -,» дА — (А) = — ) (НЧ"') АЧЧт--,' ) Ч'~ — %й — — ) Ч'" А ЙЧгдт. ,«« - й ~ -~ д» й Первый интеграл этого выражения вследствие эрмитовости оператора Й можно:,: переписать в виде ~ Ч"'ЙАЧЧт, тогда Отсюда видно„что дА/д« вЂ” — — д А/д«-(- (~тй) (НА — АН). 4.56. Иметь в виду, что операторы х и р„не зависят от времени явно. 4.56.
Оператор Х, . не зависит от времени явно, поэтому дХ /д» =- ((,'Л) (Н, Х..) —. ((Нз) ~ рз::2т, Х„) + (1'Щ ~ Х«, Х .~. Так как р-' и Хх коммутируют между собоЙ (см. задачу 4,29), то скобка, содер~ жащая их, равна нулю. Остается вычислить последнюю скобку. 4.66. Дифференцируя по времени уравнение А Ч'= АЧ' с учетом того, что дА«д»- — — О, получаем АдЧ'«д« — (дА«~»»)Ч~ — АдЧ'д«.
Подставим сюда дЧ".д» вЂ”.- == — (~«й)РРК, тогда (дА/Ю«)Ч'= (1«й) (А Н вЂ” НА)Ч'. Если А коммутнрует с Й::,~- то А ЙЧ':- НАЧ'=- АНЧ' и дА«с(» ". О. ,? 4.61. Райские этого вопроса ~водится к проверке, коммутируют ли опе-. раторы указанных механических величин с гамильтонианом Й- — р'":2т'.- Х« = — Т+ ХХ, где Т вЂ” оператор кинетнческоиэнергни.
Операторы р, ~с. Х.ю Ь, и Х,з коммугпруютс оператором 7' (см, задачи 4,29 и 4.30), поэтому оста ется выяснит~, коммутируют ли эти операторы с оператором Х«. а) дйд» - —" 0 и Х/ == О. Все величины сохраняются во времени; *":"). б) дН'д« = — О. Сохраняются во времени Е, р„, р, и Х,; и в) дй«д» =- О. С оператором У (г) коммутируют операторы Х, Хз, Х н ХР .'': (это сразу видно, если нх записать и сферических координатах: они действуизг только иа 0 и ~р). Сохраняются во времени Е, Х ., Ьз, Х,, Х,'.
г) дН.'д« вЂ”:- О. Сохраняются во времени только рх, р„и Х, 4.62. а) дс А ):с(» —. (ьл) ~ Ч" (Й А)Чгдт = О, т. е, <А> = сопя(; б) так как операторы А и Н коммутируют, то они имеют общие собственные ':, Чл' функции 4:и (х): Афи =- Аф„н Нф„= Е„ф„. Разложим функцию Чг (х, «) по.
';:: собственным функциям ф„, которые я~ляю~~я функциями стационарных состои+ "'.-' ний (Нф„=- Е„ф,„), поэтому Ч'(х, «) — Жсн Фи (х) е " = — ч".с„' (») Ф, (х), где е„, ==- Е„,«й„сн («) =-- са (0)е " . Последняя сумма — это разложение не-',::, собственным функциям оператора А, поэтому квадраты модулеи коэффициентоВ;,,' разложения определяют вероятности различных значений механической велп-:. чииы А„в момент», т. е.
ж (А„, «), Таким образом„ гз (А„, «) == ~ с,', («) 1з =- ~ с,', (О) ~з =- сопз1. 4.63. Т„=- — (Ьз«2т) (о"«дгз + (2/г)д«дг)1 — зто оператор кинетической знер"-.",.'~' 1ин радиального движения, 152 4.64. а) Представим гамильтоннаи в уравнении П1редингера Нф =- Еф в ф~р~~ Н =- 7, + 9~2)ол+ У, где 7,. — Оиератор кинетической знергни радиального движенЯЯ (см. Ответ предыдущей задачи). Подстановка функции Ф = =. ЖУ в уравнение (Цреднигера приводит к выражению: УТ„К + (й/2рх)Ч.хУ+ УУй = УЕВ. Имея, в виду, что Ж' = ЬЧ (1+ 1)1', получим (Т„+ ЬЧ (1+ 1)12~и~+ Яй = ЕЯ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
