Иродов. Ядерная физика (задачник) 1984 (926528), страница 33
Текст из файла (страница 33)
В) Из уравиеиии, приведениОГО В условии предыдущей задачи, следует, что йн (1 '1/ ать«Й) = 7'2«2. Ок~~а 13г'М/ «й= — ~« ~ (дру~ы ~ыченйи Отбрасываем, тзк кзк уровень еДниствеиныи, иозтйму зрГумеит синуса нзходптси ВО БтОрОЙ четВерти) и Р Уз . э«~ел~ 3 1 Ри б) нз )слоВИЯ»(»р»,"дх = — О„где ф» гю з(»» Фх, находим х,щр - — — Ы2А == (рис. У); В) пусть и»»» н и»» — Вероятности нахождения частицы вие и Виутри ямы. Тог-:::;; да ОР и»„1»а» — -, ~ Ие ""дх ~ азз(п» Йхдх==2, (2-».З»»), 0 где отнощеиие Ь а определено из условия»)» (1) = ф, ф, а Й вЂ” --: х = Зп/4», Оста-::) ется еще учесть что и»» +»а» ' ' » ~ и мы получим: =" 2/(4 + Зп) = 14,9%. Возможиость нахождения частицы в области, где ее энергия Е « ' (», пред-::=' стаВляет собой чйсто КВаитовь»й зффект.
Он Является следствйем волиойых свойств'-::,:.', частицы, исключающих одновременно точные значения координаты и импульса, .' а следовательно, и точно~ разделенйе полной знергии частицы иа потенциаль-:."; ную н кинетическую. Последнее можно сделать только в пределах точности, да-:,".,'; Ваемой соотнощениеь» неопределен йостей. 3.49. Напнщем рещения уравнения Шредингера для трех областей: -о, », =,е"*,,— »й»~~о,— ц,п; О ~х ~, (, ф»=6з(п (Фх-,'— я), А= ~/2тЕ»А; х > 1, »рз=-се Из непрерывности»(» и»р' в точках х =- О и х = »' получим: (3»х =- А/х; 1И (И+»х) — -- — й/х, откуда з»п»х =- М/ ~~2т(»о, з»п (И+»х) — — — йй'$~2тУО.
ИсклюЧНВ из послед- ' ннх двух ураВнепий я, получим и =- и — » ассв~п ~~аГУ»тЦ» (~) .' где»» = », 2, ..., »», значения агсз»п берутся в первой четверти (от О до и/2). По-:..':;,', скольку аргумент у агсз»п не может быть больще единицы, то значения х не мо-,,.::' г» угпреваслоапь Й„~„, = ~»я07». Изобразим левую и правую части последнего уравнения как функцию от Й. ';,:" (рис. 8, у», уз и уз — праВая часть уравнейня прн»» = 1, 2, 3).
Точки пересече-''::;' ний прямой с кривыми у,, у и т. д„определяют корин зтого уравнения, которые, ':.".:.;'. как видно пз рисунка, дают дискретный спектр собственных значений Е. При умен ьщеипи (»о амане перемещается Влево — число точек пересече»»йя будет уменьшаться (при заданном» положение прямой остается неизменным).;.::::- Когда Ймайе становится меньше»»' (см.
рис. 8), яма будет иметь только один".;;::: уровень зйергик. '»'ак и образом, данная яма в гда держит по крайней мере один ур йь::.":-'::: знергии. 3.3О. а) Основному состояиню соответствует а — — » в формуле ( ~ ) решении предыдущей задачи. При Е = (»„/2 величина И =-- л/2, откуда РУ,» = и"А'/4т; б) из той же формулы (~) и рис. 8 следует, что прн появлении второго„ Трет~его, ..., и-го уровйей И =. »»„2п, ..., (»» — »)»», й аргуме»»т у агсз»п В зтйк случаях равен единице, т.
е. Лл =- ~/2т»»о. Отсюда Р(»а =. (п — 1)з»»»Азат, л =- 2, 3, ... Число уроВней определяется йз йеравенства и ~ ~2тРО„/пй:- а — 1. В нащем случае п = 4. З.И, У (х) =. 2 (п9Р~т)хз, Е =- с»Дат. 3.62. У (х) =- — аЛЧтх, Е =- — »хзйз/2т. 3.63. а) Е =- ль»12; б) Е = '~,,А»а. 3.54. Е„= —. Л»о (п +» ). 3.55. а) фа: — (дУГП)~14 ехр ( — $'l2); ф1 =- (ах:4д)173 2$ ехр ( — Р/2); фа =- -- (ях "64п) ~ (4$~ — 2) ехр ( — 4х/2); б) Значений ЛВВп ДЛЯ состояний с н — О, 1, 2 С~~ТЗС~С~в~н~~ рзвнм 0; +1/~х — — '' 2,5/Я. Распределение фп (х) НОХЙЗЙИО нз рйс, 9, Где ХВ -- 1''о.
3.56. 0,157. 3.57. Уравнение 1цредннГерз длн ЗГОГО полн в Облзс*н х > 0 такое ~ке, кзк В В случае лннейнОГО Оспнллнторз. ПОЗтому сГО р~~епнй будут теми хсе, что и Влй Оспнллнтора прн нечетных ЗнзченйЯх п„так КЙЯ ф (О) -"- О. Это же Относнт- ~ ч и к собственним Значениям ЗБерГнн, змрз2кенне для которОЙ можно Ззнисзть В форме Ю = Ье~ (2п' -4 3 2), Где и' = О, 1, 2, ... Видно, ч*о прн ~Д~О~ и том хсе Визченнн й) ЗнерГИЯ ОсйоннОГО состояния (л' --- О) втрое презьппзет ЗнерГИВ3 ОсРОВНОГО СОСТОЯНИЯ ОСННЛЛЯТОРЗ.
Рнс, 3 В знзлОГнчнме урааненнн длн функннй У н Я, причем Е„+ Е„+ Е, ==- Е. Этн уравнения совпадзх3т с уравнением Длн ОдномсрнОГО Осннллнторз„собственные функнни и собственнме Знзчення ЗнерГИН которОГО иавестнь~. ПОЗтом) мо~кно СРЗЗУ ЗЙПНСЙТЬ: — (х) ф (у) ф (г), Еа — — Ьн (и+3/2), и — лт+пх -1-лх' б) кратность вырохсденнн уровня с Определенны~ Значением и — Зто по ГУщестзУ чнслО РЙЗличнмх комбинаций чисел йт, пх н ЛЗ, срммз котОРь~х Равна л. Длн Определенна ЗтоГО числа комбннзянй подсчнтаем сначала число воаможВых трОек чисел Пт, лх, ПЗ при фн ксированнОм Знзченни лт ° ОИО равно чнслу ИОЗ можнйх Значений пх (нли иа), т, е, равно и — и, + 1„тзк как ах мокнет меВЯтьсн От 0 ДО и — пт.
1ОГДЙ пОлнОе чнсло комбннапнй ИЗ йт, лх, ПЗ прн ЗЙДЙннОм В СС*Ь (а+ 1) (а + 2) Ж=--,Д~ (и — а, + 1)= 2 п1 =3 Будем счятзть, что падакинйн ИОЛНЙ характеризуется Ймплнтудой йх, при~ем ВСЩестненнОЙ, а отРаженнан — амплптУДой Ьт. Так как в области х: 0 нмеет- ВЯ только проходящая волна, то Ьх = О. ИЗ условнн непрерывности ф п ф' в точ- 14$ х ~~0, 'фт — п, е' 'Л- Ь, е '~", Ф =-- '(»'2еЕ,'Ь; х >.
О. фй =-а,е" — ь е ""', х- 1»»2йт(ь й — Е) л ПлотнОсть ВеронтиОсти нйхоисдеиий частицы под барьером их (х) ~ е сюда хйф -- 1.2к.,для электрона уф = 0,1 им. 3.66. й) Зйпипием репепия уравнения ШрединГерй для трех областей: х;.; О, от =-а|е ~~-; Ь,е '~"„Ф - '1,»2»ЛЕ А; О,,~х,, 1 1Р й е~йеА',Ь е '1йе ~ Й х::" 1, фй - . Ой е 1 А*х Эти Выражении ийпнсйны для слтчйя, кОГдй пйдйющйй Волин хйрйктернэуейк. е~, поэтОму В ВОЯБОВОЙ функинн ф э Оставлен толька адни член, соотйетствукт прО Од~щей Волне.
Иэ условия испрер~шю~~~ ф и т(" ий Грй~~п~~ ямы ~йходй Г 4ЙД Ф' .— 1 ' 4Е (Е-1-6',Д ' — ~ (Ц вЂ” Ьй)х й)пх К, ( / ~, Уй~ й(пт Ай( б) из условия В:-- 1 имеем й(п А~( — - О, Отсюда Ф„( = йл„илн Е, =- (пйл2~2ГЛР)ит — Уй, Где и — пелые числа, прн которых Е -~ О. 3.61, й) АнйлОГнчио ринении предыдуп1ей эйдйчн (см. и, ~йт). В рейульт получим те же формулы, только и иих Фй = р»2»и (Š— Уй).'Й. Прн Е, Уй личина  — (1 — ' тРБ„'2йт) — '; ъ б) Ен ==: (пййе:2»ИР)и' -'- б'„— 11,5: 16.0 и 23,5 эВ.
Здесь и -= 1. 2„3, "' (и+ О, поскольку прн и = 0 Е =- У„и В ~ 1, см. предыдущий пункт); В) В этОм случае хйрйктер ретиения урйВнення 1ПредннГерй будет Отликт сн от случаи Е У, только в области О ~" х (: ф~ — "йй е +Ь2 е ", к= 1»»2~и ((/й — Е) Й. ПР««~ ~! ««««««««0~ 1. В «то«с«р«««КЬ «~ — -. '~«««~ « 16И««, Ь: Г . ~', .~д «-.2« ~б (-.«««(У вЂ” ~~В (Й~«'>' У, У, Г) длЯ злектрона,О ж 0„27. длн протона 0;- 10-~т.
3,62. В=екр ~ — а,'а1 «/2т~й(."е) (Гд — Е)з~ ). 3.63. В =- ехр ( — (ПГй) у~2еЛ~, (У, — И, 4.1. Уиианае: унесть, что А'-' ф=- А (А ф). 4.2. а) (2 — х'-') соа х — 4х з1 и х; (1 — х«) сон х — 3х а(п х; б) (2 + 4х — ' х~)е~; (1 --. Зх + х«)е~. 4.3.
а) А =. 4; б) А — -. 1; в) А -- — сР, 4,4. а) ф — Се'~", Х вЂ” 2лн/а, а: — О, —,е1„+2, ...; б) $ С а(п Д~Хх)«) (пл,'1)'", и — '- ~-1, ~-2, ... 4,б. а) А (~" В,) (~В,.)А ~'(А В,. В, А) —.~.~Л, В,.1; ( ) — ~ ).— б) А В С~ — ~В С) А — АВС--ВСА+ВАС вЂ” ВАС вЂ”.. 4.3. 1В, А.
~-.« ~В,,~,.'1-. 0, нб 4.9. а) Умножив равенство А  — В А -"- 1 на оператор В сначала слева, затем справа„получим; В А  — Н'"-А == В и АВ" — В А В-- В. Теперь сложим этн равенства: А Ва — В-'А — 2 В. 4,12. В Общем случае нет. Например, ОператОр рд кОммътнрует с ОператОрани х и р,„., которые ме«кду собой не коммутнруют. 4.13. а) Бслн ф — общаи собстаеннан функаин операторов А я В, то А Вф — АВф -ВАф= — ВАф В А~р — -ВАф — АВф- Авф, Следовательно„А Вф =" В А ~Р и 1А, В) =- 0: б) пусть ф — собственнан функпня оператора А, прннадленсащан собствеином1 знанени© А. Нз коммутнаиости ~пера~~ров А и В ~л~ду~т, нто А В $ =- ВА ф — ВА ф — --- А в $„Т. е. А ф" --:-- Аф', где ф' — В ф, Таким образом, собстненное значение А принадлежит и функпнн ф, н ф', ко*орые, следовательно, описывак~т одно и то нсе с~сто~~не. Это монсет бмть Тольн~ и том сл) нае, если зти функпнн Отлнчаитсн ли1пь постоннннм мно2кнтелем, например В: «р ='" Вф.
НО ф' "- В ф, поатому Вф .— Вф, т, е. ф — общая Собств~нная функиня Операторов А и В. 4.14. а) ) (х, а) ехр (Ииу).„ б) А ехр (1 (Йхх + йиу —,;' йее) ); а) )'(у, х) ехр (-ЬЮ«х). Здесь й,.-«- р„,'й; ~*. — х, у, х; 1' — произвольная фУ ИККИ Я, 4.13. Имеет Тольио в том слуцкие, если функпнн фд одновременно и Собстаенная функинн Оператора В, В общем случае нет.
Например, Б слунае въЦФОжде" пня (а Одномерной прямоутольиой потенпиальной яме каисдому знертетийес ком) уровню соотнетстауит два значения проекнни импульса~ 1 р«н п««ие смотря на то, что Оператори Й и д«, коммутйруит). 4.$6. Пуст~ ~Р— произвольная собственная функция операт~р~ А„ чающая его собственному значению А. Тогда вследствие самосопряжениости'-'. зтОГО ОператОра ~ ф' А фдх = ~ ф А' ф' йх и А ~ ф' ф д(х =- А'~ фф' ~(х. откуда А - — — А . Но последнее возможно т~л~к~ при вещественном А, 4.П в) ) Ф р, д, дх.-- — ! д) $; (дд,'дх)дх — — ~ д ~д д, ) ~ "— В 4.!8. Оператор А+, сопряженный оператору А, определяется следующим,':-':, образом: А фз ~(,с= — ) фз(А ф) Ы.г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
