Иродов. Ядерная физика (задачник) 1984 (926528), страница 32
Текст из файла (страница 32)
2.44. а) Мом~н~ Импульса Сис~емы равен 7й)~, где У =- рР— мо~ент ннер- цни; р — приВеденная масса; 1 — расстОяпне между злектрОном н ядром. За ппшем бОроаскОе условйе квантоаапйя н урааненне Данження: Р.$33 — - — йп; $3аР1 == гт,»Р. Из 'зтих двух уравйенни нахОДпм: $ =- (п»~хее)пм, и =- 1, 2, б) кннетнческая знергня снстемм Т -= УОА2 == е'»21. Полная знергня снс-,' темм Е = Т + 1» =- е'»21 — е~»'1 =- — ее~21. Энергия саязи Ед, =- 1Е1=-И~»'»те,: где Ж =- рг3/23а; в) без учета движения ядра значення Е и 1с больше на»п,'М вЂ” — 0,055%„ где»п н М вЂ” масси злектроиа и ядра„ 2.43. »и,»"»и — — (п — т1)»а (т$ — 1) = 1,84 103.
2.48. а) Е~) — Ен — — 3,7 10-' зВ; б) Ут~ — Ун =- 2,8 мВ; в) Ж~ — Х$з = 33 пм. 2«47. В) 2,85 ° 1ОИ см; б) 654 пм; В) 2,53 п 2,67 кзв. 2.48, а) 1,06 * 10 — е см; 6) 6,8 н 5,1 В; В) 1,03 ° 10" с-', 0,243 мкм. 3.$. 39 пм н 0,91 пм; 0,15 кзВ н 0,082 зВ. 3.2. Х = п3 $»2 (т(е — 1),»»НЛЕ =- 0,15 нм. 33. Х =- Зп3»п'2пмт = !32 пм.
3.4. Т =- 2Р (Вр)е»'»псе = 0,12 МзВ, »и — масса протона. 3.3. ЛЕ =- 2пЧР1пйР— рз»2»п =-. 0,38 кзВ. 3.6. $', — — $ ~»'(и + 1)1 (и — 1) =-. 2,2 пм. + ~33~~НЕ) 3.8. $. = $, (1 + т))» (1 — т1) =- 0,10 нм„где т) — = т$$»'»пн . 2п$$ 1 3.9. 31 А 1»» 2»пТ 1п» 1+ Т» 2»псз 6) Т ~'" 10 кзВ (злектрон), 37 МзВ (протон) .
3.$6. Т вЂ” — ( ~'2 — 1)»псе = 0,21 МэВ. 3.$$. Х = Х„»»ф'1 +»пс).„/пй — -- 3,3 пм. 3. $2. 7 (Х) са Х вЂ” 4 ехр ( — 2)МОМУ)„Х„, —: — ПЬ»'~~атГ7' =- 90 пм. 3-$3. 7 (А) ~ч Х вЂ” е ехр ( — 5Х~»»2У), Хе, =- 2пп»')» 5ей7 -- 57 пм. 3.14. О =. 4пАИчпЛх =- 1,0 10е м»с. 3. $3. T == 2 (пА1й(Лх)31»п =- 24 эВ. 3. $8. $»е =- и'пе»»2таР ( ~г~~ — 1)' з(гР О =- 0,15 КВ. 3.$7. Ы ==- йтМ '$»'2»ПТ сов (»х»2) =- 0,21 нм, $3 =- 4. 313 Ш вЂ” "- п33! 2мТп!п 0 .=. 023 пм, пРпппм 1320:= п»1. 3.19. 33 и = 1+ Г,»3 = 1,03; 33 0»3~ ~ 3.
' -т 3.29. Еь =м (п ЬЧ2т$т)а~, где и = 1, 2, ... 3.2$. 2пг == ПХп где и = 1, 2, ...; Х вЂ” — 2пг,й, г~ — первый боровскнй ра- ДИУС. 3.23. У фОтОНа, раССЕЯННОГО Н ПрОШЕдШЕГО ЧЕРЕЗ ОбЪЕКтНВ, $»х ~ (ЬВ»С) 13 (Г.:. Первая часть зтого неравенства характернзует одновременно Неопределенность.,';.' Лр„для злектрона, Лр, - (Ьо>»с) 18 д ж (2пйй) з1п д. Неопределенность коор-.,: дннати злектрона Лх - 3$ = Х»' з1п д. Отсюда ЛхЛр„. - 2п3.
3-24. Чтоби устаповнть, через кпткую Прель прошла частицам ее у-коордннп:.-'. та д~~жна быть определена (ннднкатором и) с пог1~ешностью Лу "-"' 3$/2; 3$ = рас,'.~':: ;таяние между щелЯМН. В соОтветствин с соотно$иенмем неопределенностей это означает, что индикатор должен вносить иеопределемнос*ь в у-проекцию нмпуль- (а частнцм Лр' З- 2Ы«. В то же время условие того, что дифракцноиная картина не будет наруше- пп, есть Лр' »" рд1, где р — 2цй«А; д, ж А«И; Х вЂ” длина волин частнцы, т. е. ЛП, ~ 2мй4.
"1'аким ~бр~э~~, вносимая индикатором неопределениость импульса Лрз Ока- ;ызастся значительно больщей, чем неопределенность Лр', прн ко*орой дифрак- мпомная картина сохранилась бм. 3.2$. Полагая Лх = 0,5 мкм, получим: 2 ° 10», 1 ° 10 и 5 . 10 — э см'с. 3.26. Ла — 10» м«с; а» = 2,2 ° 10 м«с. 3.27. Тмм„ж 23»lт1~ — 15 ЭВ, Здесь Лх = — 1/2 и р ж Лр. 3-28. Ло«о ж 23«1 1~2тТ вЂ” 1,2 10-». Здесь Лх == 12.
3.29. Прн сжатни ящика на величину Й необходимо соверп»мть работу ~'д =- Рй, которая пойдет на приращеине энергии частмцм»«Е. Отсюда Š—" — 0Е/Ю - 4л'«тР = 2Е, м„«1. Здесь учтено, что Лх =- 1«2 к р - Лр. 3.30. Полагая Лх — х и р - Ло, для полной энергии частмцм ~меем. Š— Т+ У ж Йэ«2тх'"'+ мх» 2. Из условия»«Е/»«х.= О получаем: Ем „ж Йе. Точный расчет дает дем2.
3.31. Полагая Лг -- Г и О - Ло, получае~: Ес„= 1 У1 — Т ж еэ«» — «1»«2тг', 11з условия»(ЕС «»(Г =-. О находим Г ж Йэ«тгэ =- 0,5 - 10-" см н Е ж тг»«23» =- 13,6 эВ. 3.32* Полагая для обоих электронов Лг — Г и о — Ло, запищем вмражемне для полной энергии; Е ж 2 ~р'«2т — 2е'«Г) + еэ«2Г ж «Р'тгэ — 7е'«2Г, Где член е'«2Г характеризует энергию взаимодействия самих электронов. Минн- ;»ум Е соответствует Г ж Фй'«7тез =- 0„3 * 10-з см; Е „я ж — »э«,»те»«Й» = = — 83 ЭВ, Эксперимент дает: — 79 ЭВ. 3.33.
Лхй ж 1«Р мй Т.'Т вЂ” "- 2 ° 10з. 3.34. Л«ж т)тР/Й ж 10-~» с, 3.3$- 1Бирнна изображения Л = Ь+ Л' ж Ь+ 2Ж«рЬ, где Л* — дополнительное уп»иренне, связанное с иеОпределеинОстью импульса Лд (при мрОхождемии через щель)„р — импульс падающих атомов водорода, Здесь положено, ло Лу = Ы2. Функция Л (Ь) имеет минимум при Ь ж $«2Иlши = 10 — з см. 3.36. Если У не зависит от времени явно, то полное уравнение Шредингера допускает рен»ения в виде Ч" (х, «) =- ф (х) «(«). Подставив это вмражеиие в пол- ное уравнение Шредингера, получим два уравнения: 2т Š— (Š— У) $=0; 1+1 — 1=0.
Йа и РС1мение первоГО из мнх — собственнме функции 'фп (х)„соответствующие соб— 16), « ственпмм значениЯМ эиерГИН Еп, рещение второГО: «(«) Оо е "' * а»м =- Ем«Й. В результате: Ч"„, (х„«) =- ф (х)е 3.37. Изменится лищь временной множитель полной волновой функции. Л так как фмэический сммсл имеет лищь квадрат мОдуля этОЙ функции, тО мзмемемие временнОГО множителя никак не прОявляется. 3.36, Полагая У =. О„Ищем рещение полного уравнения Шредингера в вндс Ч' (х, «) = «р (х)«(«), В результат~ Ч (,«)=-А -"1 -"1; —..Е,Й; Й=-р«Й, 2 (», лх 1 3 3.41. а)»а= — ) йпе — »1х = — + —.--0,61„ 3 б) из выражении для знергии Е следует, что»(Е/Е =.
2»1»».'и. Отсюда»»М -'..", = — - »(л — ((»ЯЯЯ т12Е»1Е, 3.42. а) Запип»ем уравнение 1цредиигера внутри ямы: ф" +»).„'+Де ф=0, Ф=- )г~2»ЯЕ'Д, Его ре»пенне удобно искать сразу в анде произведении синусов: 'ф (х, у) — — А я и Ф»х - з1 п Ь»у, таи иак при х = О Й у =- О во~новая функ»»нн дол»ина обра»паться в нуль. Воф-'::,:' мОжные знанейии и» н Дз находим из гРаничных Условии. ф (а, у) =- О, Ь» = ю»л~'а„»»» = 1, 2, ф (х, Ь) = О, Ф» =.
пзл~Ь, пе =- 1, 2, ... После подстановки ф (х, у) в уравнение Шредингера получим й- '= й~ —.' Ф»~„или..' Е„„— (жз РР.'2»я) (п ~»,»аз - — '. и»»,. Ьх) . Постоянную А находим из условия нормировки. В результате ф„„(х, у) = $' 4."'аЬ яп (и, лх»а) яп (и, лу.'Ь); б) в =- (1 3 — 7 3'4л)Р = 0,038; в) .Š—.= 9,9; 24,7; 39,5 и 49,4 единиц 6»,'»пР. 3.43 1».аждом) значению ЛВОЙНН чисел и» и»»» соответствует одно состояя~ф!'' (ф-фуикцйя). Число состояний в интервале (»1п», »1п») равно»(Л' — -- »(п»»(п . Им в виду уравнение Ф~ ' Ф'=Р', где й» - — -. п»л,а и Фй =- п л/Ь, отложим йа ос координат вел»р»»»н~ Ф, Ф~.
П~~роим затем ~том ~А"-~цюс~ражы~~ Оиружн радиуса Ф с пентром в на~иле Координат, Все точки втой Онружности соответФМЯ, вуют идиому н тому же значеии»О Ь, т. е. знергии Е. Нас буде~ интересоват~ тол~к Йо 1»4 ~асть окружности, так как следует рассматривать Тол~ко положительй ..., значения чисел А» н Ьз (ОТРЙпательные значения не да»от»»оных состояний, виДЙО из ВыраженнЯ Для»р-функпий). ЧислО точек (состоянии), закл»очейй меЖДу двумя окружностями с радиусами Ь и Ф +»й и 1»4 плоскости, есть 4Л» = ) йтфпз =- ( (аЬ~ле~йД»»йе = — Ч, (аЬ»ле)2лйй Имея в виду, что яе =- 2»ЯЕ/Дх, получим. 3.44. З) Ре~иение зпалогичио рен~еиию, йрнведепному В задаче 3,42; Е„„„=-.
(Ят Йа''2ит) (а~а:ат,-а~а«ЬЯ-1-на,;се), ГДЕ И~, Иа, Из — ЦЕЛЫЕ ЧНСЛЗ, ИЕ РЗВИЫЕ НУЛЮ; б) ЛЕ -- хЧР«тГ"; В) Дли ~иестого уровни й', + й~ -, и~ ~-14. Э*О число, как иетрудйо устзнО- вить подбором, ЯВлиетси ~уммОЙ КВадратОВ единствепиОЙ трОЙКН чи~~л; 1, 2 и 3, число рззлпчиых СОстОяиий, Отвечающих дзииОму урОвню, рзвпо В иан$ем слу чае числу Перестановок зтОЙ тройки, т. е. И~ести. 3.46. НЖ ЙЕ =-- (ОЬсщз'",. )/'2иай') ~/ Е.
Вывод аналогичен приведенному в задаче 3.43, 3.43. Пронитегрируем уравнение 1Преднигерз ио узкои Облзстн, внутрп котОрои имеется скачок иотеицпзльнОЙ зперГнн: +Ь ф' ( !- Й) — ф' ( — б) —. ( (2~В«ЙЯ) (Š— («) фФх. — Ь Банду конечности скачка («интеграл при 161 — О тоже стремптси к нулю. От- сюда ф' ((.О) == ф' ( — О), 1(х общпе рекеини ф~ (х) - а з(й (Фх '- и), фа (х» =- Ье -' се~ должны удовчетворить стзидзртиым )словиим.
11з )словии ф, (О» --. О Следует, чтО Ф = О. ЧЧОбы ВОлиОВЗЯ фуикЦПЯ Оставалась Всюду коиечЯОИ, иеобкоднчо соблюдение услОВИЯ с = О. И наконеЦ, Яз условии непрерывиостп ВолновоЙ функции и ее прОИВВОднОп ПО кООрднизте В точке х .=' 1 получим: !ц и:=- — Ф:», и1н мп ы=. ~ 3/Раж7Щн. Изобразив Графически левую и Правую части НОСЛедиего уравнении (рнс. 6), изндем коорднпзты Точек пересечения ирямык с синусоидОЙ. Они Определяют корни уравнения„отаечаюитне собствепным значеняям зиергии Е. Корпи соотВетствуют тем точкам пересечеинп, длп котйрык 1Я И < О„т.
е. будут находитьси В четийжхчетвертЯЯ ОкружпОстп (атп участки Оси абсцисс Выделепы из рпсуике жирными Отрезками). 1(зк ВНДЯО, корни урзвнепии (т, е. свЯззниые состоиния) суиГествуют ие ВССГда; йуиктнром ПОказзно предельиОе НОлОженне пря- МОЙ; б) и-Й уровень поивлпетсп ири условии Й1 = (2п — 1)п«2, откуда Р4«~— -- (2и — 1)ЗЯ~ЙТ«Зги. Четыре уровня. 3 48.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
