irodov_i.e._zadachi_po_obshchey_fizike_(3-_e_izdanie_2001_447str) (852010), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Воспользовавшись этим правилом, найти разрешенные значения энергии частицы массы и, которая движется: а) в одномерной прямоугольной потенциальной яме ширины 1 с бесконечно высокими стенками; б) по окружности радиуса г; в) в одномерном потенциальном поле г/= ах~/2, где а положительная постоянная; г) по круговой орбите в поле, где потенциальная энергия частицы О = -а/г и а — положительная постоянная.
5.82. Найти с учетом движения ядра атома водорода выражения для энергии связи электрона в основном состоянии и для постоянной Ридберга. На сколько процентов отличаются энергия и постоянная Ридберга, полученные без учета движения ядра, от соответствующих уточненных значений этих величин? 5.83. Найти для атомов легкого и тяжелого водорода (Н и 0) разность: а) энергий связи их электронов в основном состоянии; б) длин волн головных линий серии Бальмера.
259 5З. Волновые свойства частиц в Дебройлевская длина волны частицы с импульсом р: 2 2 яд/р. (5.3 а) ° Соотношение неопределенностей: бл'бргЪй (5.3 б) ° Временное и стационарное уравнения Шредингера: (й — -- — р т+ит, р с+ — (д-и)р-о, дт йз з з 2ж дг 2ж йг (5.3 в) где зр — полная волновая функция, р — ес координатная часть, Чз оператор Лапласа, Е и У вЂ” полная и потенциальная энергии частицы.
В сферических координатах 7 — + — — г д' 2д т д(. д) т д' — ивй— д,г г дг гзэ)иб дб'( дб) гза(изб дез ' (5.3 г) в Среднее значение величины й, зависящей от координат: ~бРдР, (5.3 д) где ф — нормированная волновая функция, в"г' — элемент объема. в коэффициент прозрачности потенциального барьерй сг(х): (53 е) где л, и гз — координаты точек, между которыми У>Е. 260 5лгч.
Определить для мезоатома водорода (в котором вместо электрона движется мезон, имеющий тот же заряд, но массу в 207 раз большую): а) расстояние между мезоном и ядром (протоном) в основном состоянии; б) энергию связи в основном состоянии; в) длину волны головной линии серии Бальмера. 5лз5. Вычислить для позитрония (системы из электрона и позитрона, движущихся вокруг общего центра масс): а) расстояние между частицами в основном состоянии; б) энергию связи в основном состоянии; в) длину волны головной линии серии Бальмера. 5.36. Вычислить дебройлевские длины волн электрона, протона и атома урана с кинетической энергией 100 эВ.
5.87. Частица движется слева в одномерном потенциальном поле, показанном на рис. 5.2. Левее барьера, высота которого 0 = 15 эВ, кинетическая энергия частицы К=20 эВ. Как и во сколько раз изменится дебройлевская длина волны частицы при и„, 62 переходе через барьер? 5.38. Найти дебройлевскую длину волны протонов, если при попадании в поперечное магнитное поле с индукцией В =1,00 кГс радиус кривизны их траектории р =23 мм.
5,89. Какую энергию необходимо дополнительно сообщить электрону, чтобы его дебройлевская длина волны уменьшилась от 1, = 100 пм до А = 50 пм? 5.90. Какую работу необходимо совершить, чтобы дебройлевская длина электрона, имевшего импульс р =20 кэВ/с (с скорость света), стала равной А = 100 пм? 5.91. Нейтрон с кинетической энергией К=25 эВ налетает на покоящийся дейтрон (ядро тяжелого водорода). Найти дебройлевские длины вали обеих частиц в системе их центра масс. 5.92. Две одинаковые нерелятивистские частицы движутся перпендикулярно друг другу с дебройлевскими длинами волн А, и А .
Найти дебройлевскую длину волны каждой частицы в системе их центра масс. 5.93. Получить выражение для дебройлевской длины волны А релятивистской частицы массы в с кинетической энергией К. При каких значениях К погрешность в определении А по нерелятивистской формуле не превышает 1% для электрона, протона? 5.94.
При каком значении кинетической энергии дебройлевская длина волны электрона равна его комптоповской длине волны? 5.95. Найти дебройлевскую длину волны релятивистских электронов, подлетающих к антикатоду рентгеновской трубки, если длина волны коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра А, = 10,0 пм. 5.96. Параллельный поток монознергетических электронов падает нормально на диафрагму с узкой прямоугольной щелью ширины Ь = 1,0 мкм.
Определить скорость этих электронов, если на экране, отстоящем от щели на расстояние 1=50 см, ширина центрального дифракционного максимума Ьх =0,36 мм. 26! 5.97. Параллельный поток электронов, ускоренных разностью потенциалов У = 25 В, падает нормально на диафрагму с двумя узкими щелями, расстояние между которыми И = 50 мкм. Определить расстояние между соседними максимумами дифракционной картины на экране, расположенном на расстоянии 1= 100 см от щелей. 5.98. Узкий пучок моноэнергетических электронов падает под углом скольжения Ф =30' на грань монокристалла алюминия. Расстояние между соседними кристаллическими плоскостями, параллельными этой грани монокристалла, И = 0,20 нм.
При ускоряющем напряжении У„наблюдали максимум зеркального отражения. Найти Ц, если следующий максимум зеркального отражения возникал при увеличении ускоряющего напряжения в и =2,25 раза. 5,99. Узкий пучок моноэнергетических электронов падает нормально на поверхность монокристалла никеля. В направлении, составляющем угол Ф =55' с нормалью к поверхности, наблюдается максимум отражения четвертого порядка при энергии электронов Х - 180 эВ. Вычислить соответствующее межплоскостное расстояние.
5.100, Узкий пучок электронов с кинетической энергией К=10 кэВ проходит через поликристаллическую алюминиевую фольгу, образуя на экране систему дифракционных колец. Вычислить межплоскостное расстояние, соответствующее отражению третьего порядка от некоторой системы кристаллических плоскостей, если ему отвечает дифракционное кольцо диаметра 11=3,20 см. Расстояние между экраном и фольгой 1=10,0 ем. 5.101.
Пучок электронов, ускоренных разностью потенциалов У, падает на поверхность металла, внутренний потенциал которого У,. =15 В. Найти: а) показатель преломления металла для электронов, ускоренных разностью потенциалов 0=150 В; б) отношение ЩЦ, при котором показатель преломления отличается от единицы не более чем на д =1,0%.
5.102. Частица массы м находится в одномерной прямоугольной потенциалыюй яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы 1. Найти возможные значения энергии частицы, имея в виду что реализуются лишь такие состояния ее движения, для которых в пределах данной ямы укладывается целое число дебройлевских полуволн. 5Л03. Интерпретировать квантовые условия Бора на основе волновых представлений: показать, что электрон в атоме яви водорода может двигаться только по тем круговым орбитам, на которых укладывается целое число дебройлевских волн, 5Л04. Оценить наименьшие ошибки, с которыми можно определить скорость электрона, протона и шарика массы 1 мг, если координаты частиц и центра шарика установлены с неопределенностью 1 мкм.
5.105. Оценить с помощью соотношения неопределенностей неопределенность скорости электрона в атоме водорода, полагая размер атома 1=0,10 нм. Сравнить полученную величину со скоростью электрона на первой боровской орбите данного атома. 5ЛОб, Показать, что для частицы, неопределенность местоположения которой Ьх Ц2к, где А — ее дебройлевская длина волны, неопределенность скорости равна по порядку величины самой скорости частицы.
5.107. Свободный электрон в момент г = 0 локализован в области Ьх~ = 0,10 нм (порядок размера атома). Оценить ширину области локализации этого электрона спустя ! =1 с. 5.108. Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимальную кинетическую энергию электрона, локализованного в области размером ! =0,20 им. 5Л09. Электрон с кинетической энергией К = 4 эВ локализован в области размером !"-1 мкм. Оценить с помощью соотношения неопределенностей относительную неопределенность его скорости. 5.110. Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы !. Оценить с помощью соотношения неопределенностей силу давления электрона на стенки этой ямы при минимально возможной его энергии.
5.111. След пучка электронов на экране электронно-лучевой трубки имеет диаметр 0=0,5 мм. Расстояние от электронной пушки до экрана 1-"20 см, ускоряющее напряжение !1=10 кВ. Оценить с помощью соотношения (5.3 б) неопределенность координаты электрона на экране. 5.112. Частица массы и движется в одномерном потенциальном поле !1=их~!2 (гармонический осциллятора). Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимально возможную энергию частицы в таком поле. 5.113, Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимально возможную энергию электрона в атоме водорода и соответствующее эффективное расстояние его от ядра.
явз 5.114. Параллельный пучок атомов водорода со скоростью в =бОО м/с падает нормально на узкую щель, за которой на расстоянии 1=1,0 м расположен экран. Оценить с помощью соотношения неопределенностей ширину В щели, при которой ширина изображения ее на экране будет минимальной. 5.115.
Функция распределения вероятностей значений некоторой величины х имеет вид у=А« при Ой«<а. Вне этого интервала г=О. Здесь А н а — постоянные. Считая, что а задано, найти: а) значение функции /' при « =а; б) средние значения х и «т. 5.11б. Распределение вероятностей некоторой величины х описывается функцией /(«) со /х в интервале (О,а). Вне этого интервала /'= О. Найти; а) наиболее вероятное и среднее значения х; б) вероятность нахождения х в интервале (О,а/2). 5.117.
Распределение вероятностей значений некоторой величины х описывается функцией /=Ах(а — «) при О<«<а. Вне этого интервала /=О. Здесь А и а — постоянные. Считая, что и задано, найти: а) наиболее вероятное значение х и соответствующее ему значение функции у"; б) средние значения х и «з. 5.118. Плотность вероятности распределения частиц по плоскости зависит от расстояния г до точки О как у(г) = А (1 - г/4) м ', если гка, и Дг) =О, если гав. Здесь а задано, А некоторая неизвестная постоянная.
Найти: а) наиболее вероятное расстояние г, частиц от точки О; б) постоянную А; в) среднее значение расстояния частиц от точки О. 5Л19. То же, что и в предыдущей задаче, но у(г) =А(1 — г~/а~). 5.120. Частица движется вдоль оси х по «Р закону х = а соз и г. Считая вероятность нахождения частицы в интервале (-а,а) — > / равной единице, найти зависимость от х — < 2 плотности вероятности ЙР/А», где ЕР вероятность нахождения частицы в интервале (х,х+А«).
5.121. Поток электронов падает на экран зз с двумя щелями 1 и 2 (рис. 5З). В точке Р 264 расположено входное отверстие счетчика, пусть Ф, — амплитуда волны, прошедшей через щель 1 и достиппей точки Р, а — то же, но в случае открытой щели 2. Отношение ~у И, = Л = 3.0. Если открыта только щель 1, то счетчик регистрирует Ф, = 100 электронов в секунду. Сколько электронов ежесекундно будет регистрировать счетчик, если: а) открыта только щель 2; б) открыты обе щели н в точке Р наблюдается интерференционный максимум; в) то же, но в точке Р— минимум? 5.122, В момент г=О волновая функция некоторой частицы имеет вид ~у 4Аехр(-х~/4о~+Ых), Изобразить примерный вид зависимостей: а) действительной части ф от х; б) ~4~~~ от х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
