А.Е. Тарасов - Конспект по спецразделам физики для РТФ (849605), страница 13
Текст из файла (страница 13)
3.2.3Площадь, охватываемая кривой, дает энергетическую светимость абсолютно черноготела при соответствующей температуре.Эти кривые одинаковы для всех тел.Кривые похожи на функцию распределения молекул по скоростям. Но там площади,охватываемые кривыми, постоянны, а здесь с увеличением температуры площадьсущественно увеличивается. Это говорит о том, что энергетическая совместимость сильнозависит от температуры. Максимум излучения (излучательной способности) с увеличениемтемпературы смещается в сторону больших частот.3.2.3.
Закон Стефана–БольцманаТеоретическое объяснение излучения абсолютно черного тела имело огромное значение вистории физики – оно привело к понятию квантования энергии.Австрийский физик И. Стефан в 1879 году, анализируя экспериментальные данные,пришел к выводу, что энергетическая светимость любого тела пропорциональна.81Позднее Л. Больцман, применив термодинамический метод к исследованию черногоизлучения, показал, что это справедливо только для абсолютно черного тела.Больцман Людвиг (1844–1906) – австрийский физик-теоретик, одиниз основоположников классической статистической физики.
Основныеработы в области кинетической теории газов, термодинамики и теорииизлучения. Вывел основное кинетическое уравнение газов, являющеесяосновой физической кинетики. Впервые применил к излучениюпринципы термодинамики.Площадь под кривойабсолютно черного тела:(рис. 3.2.3)равна энергетической светимости(3.2.4),– закон Стефана–Больцмана.Здесь– постоянная Стефана–Больцмана.3.2.4. Закон смещения ВинаВ 1893 году немецкий ученый Вильгельм Вин рассмотрел задачу об адиабатическомсжатии излучения в цилиндрическом сосуде с зеркальными стенками и подвижнымзеркальным поршнем.
При движении поршня энергия излучения единицы объема(плотность энергии) будет возрастать по двум причинам:за счёт уменьшения объема (общая величина энергии постоянна);за счёт работы, совершаемой поршнем против давления излучения.••Однако, в силу эффекта Доплера (увеличение частоты излучения, отраженного отдвижущегося поршня) движение поршня приводит к изменению частоты излучения.Окончательно Вин получил:,гдеи(3.2.5)– постоянные, которые Вин не расшифровал.Эта формула дает хорошее согласие с опытом в коротковолновой части спектра и негодится для длинноволновой (рис. 3.2.4).82Рис.
3.2.4. Закон смещения ВинаВыражение (3.2.5) имеет сейчас лишь историческую ценность. Но Вин нашелзависимость(– частота соответствующая максимальному значениюабсолютно черного тела). Найдем максимум функции (3.2.5), то есть производную по ν иприравняем к нулю.тогда..(3.2.6)Это и есть закон смещения Вина. Смещение частоты в зависимости от температурыхорошо иллюстрируется экспериментальными кривыми, изображенными на рис.
3.2.4.Чаще закон смещения Вина записывают в виде, где постоянная Вина. (За работы по тепловому излучению Вин в 1910 году получилНобелевскую премию).3.2.5. Формула Рэлея–Джинса. Ультрафиолетовая катастрофаВ 1900 году Рэлей подошёл к изучению спектральных закономерностей излучениячерного тела с позиции статистической физики воспользовавшись классическим закономравномерного распределения энергии по степеням свободы.83Рэлей (Стретт) Джон Уильям (1842–1919) – английский физик. Работыпосвящены теории колебаний, одним из основоположников которой онявляется, акустике, теории теплового излучения, молекулярной физике,гидродинамике, электромагнетизму, оптике.
Исследовал колебанияупругих тел, первый обратил внимание на автоколебания. Заложилосновы теории молекулярного рассеяния света, объяснил голубой цветнеба. Сконструировал рефрактометр (рефрактометр Рэлея).Он рассмотрел равновесное излучение в замкнутой полости с зеркальными стенкамикак совокупность стоячих электромагнитных волн (осцилляторов).К стоячим волнам, образующимся в промежутке между двумя стенками, Рэлейприменил один из основных законов статистической физики – закон о равномерномраспределении энергии между степенями свободы системы, находящейся в равновесии.Каждой стоячей волне со своей собственной частотой соответствует своя колебательнаястепень свободы (на одну колебательную степень свободы приходится, то естьсумма потенциальнойи кинетической тоже(в среднем)). То есть каждыйосциллятор в среднем имеет энергию, равную kT:.Джинс Джеймс Хопвуд (1877–1946) – английский физик и астрофизик.Основные физические исследования посвящены кинетической теориигазов и теории теплового излучения.
Вывел в 1905 году формулуплотности энергии (закон Релея–Джинса). Работы Джинса посвященытакже квантовой теории, математической теории электричества имагнетизма, теоретической механике, теории относительности.В 1905 году Джинс уточнил расчеты Рэлея и окончательно получил:(3.2.7).Это и есть формула Рэлея–Джинса.Из формулы (3.2.7) видно, чтомонотонно возрастает с ростом ν2 в отличие отэкспериментальной, кривой которая имеет максимум (рис.
3.2.5).84Рис. 3.2.5. Ультрафиолетовая катострофаФормула (3.2.7) справедлива только в области малых частот и не согласуется сзаконом Вина. Попытка получить из формулы Рэлея–Джинса закон Стефана–Больцмана(R ~ T4) приводит к абсурду:.Этот результат получил название «ультрафиолетовой катастрофы», так как с точкизрения классической физики вывод Рэлея–Джинса был сделан безупречно.Итак, было получено две формулы, описывающие излучение абсолютно черного тела:одна для коротковолновой части спектра (формула Вина), другая – для длинноволновой(формула Рэлея–Джинса). Задача состояла в том, чтобы получить выражение,описывающее тепловое излучение во всем диапазоне частот.85ЛЕКЦИЯ 103.2.6. Формула Планка.
Гипотеза о квантахПланк Макс (1858–1947) – немецкий физик-теоретик,основоположник квантовой теории. Работы относятся ктермодинамике,теориитепловогоизлучения,теорииотносительности, квантовой теории, истории и методологии физики,философии науки. Вывел закон распределения энергии в спектреабсолютно черного тела. Ввел фундаментальную постоянную сразмерностью действия. Формула Планка для теплового излучениясразу же получила экспериментальное подтверждение.В своих расчетах Планк выбрал наиболее простую модель излучающей системы(стенок полости) в виде гармонических осцилляторов (электрических диполей) совсевозможными собственными частотами.
Здесь Планк следовал Рэлею. Но Планкупришла мысль связать с энергией осциллятора не его температуру, а его энтропию.Оказалось, что полученное выражение хорошо описывает экспериментальные данные(октябрь 1900 г.). Однако обосновать свою формулу Планк смог только в декабре 1900года, после того, как более глубоко понял вероятностный смысл энтропии, на которуюуказал Больцман ().Термодинамическая вероятность – число возможных микроскопических комбинаций,совместимое с данным состоянием в целом.В данном случае это число возможных способов распределения энергии междуосцилляторами. Однако, такой процесс подсчета возможен, если энергия будет приниматьне любые непрерывные значения, а лишь дискретные значения, кратные некоторойединичной энергии. Эта энергия колебательного движения должна быть пропорциональначастоте.Итак, энергия осциллятора должна быть целым кратным некоторой единицыэнергии, пропорциональной его частоте.где n = 1, 2, 3…Минимальная порция энергии,гдеТо, что– постоянная Планка;и.– это гениальная догадка Макса Планка.Принципиальное отличие вывода Планка от выводов Рэлея и других в том, что «неможет быть и речи о равномерном распределении энергии между осцилляторами».Окончательный вид формулы Планка:86(3.2.8)или(3.2.9)Из формулы Планка можно получить и формулу Рэлея–Джинса, и формулу Вина, изакон Стефана–Больцмана.·В области малых частот, т.е.
при,, поэтому,отсюда получается формула Рэлея–Джинса:· В области больших частот, прии получается формула Вина:,единицей в знаменателе можно пренебречь,.·Из (3.2.8) можно получить закон Стефана–Больцмана:(3.2.10).Введем безразмерную переменную, тогда.Подставив в (3.2.10) эти величины и проинтегрировав, получим:.То есть получили закон Стефана–Больцмана:.Таким образом, формула Планка полностью объясняла законы излучения абсолютночерного тела. Следовательно, гипотеза о квантах энергии была подтверждена87экспериментально, хотя сам Планк не слишком благосклонно относился к гипотезе оквантовании энергии. Тогда было совершенно не ясно, почему волны должны излучатьсяпорциями.Для универсальной функции Кирхгофа Планк вывел формулу:(3.2.11).где с – скорость света.излучения черного тела во всем интервале частот и температур (рис.
3.2.3).Теоретически вывод этой формулы М. Планк представил 14 декабря 1900 г. на заседанииНемецкого физического общества. Этот день стал датой рождения квантовой физики.Из формулы Планка, зная универсальные постоянные h, k и c, можно вычислитьпостоянную Стефана–Больцмана σ и Вина b. С другой стороны, зная экспериментальныезначения σиb, можно вычислить h и k (именно так было впервые найдено числовоезначение постоянной Планка).Таким образом, формула Планка не только хорошо согласуется с экспериментальнымиданными, но и содержит в себе частные законы теплового излучения. Следовательно,формула Планка является полным решением основной задачи теплового излучения,поставленной Кирхгофом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
