Минимальные деревья Штейнера в малых окрестностях точек римановых многообразий (848703), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Äëÿ ôèêñèðîâàííûõ n ∈ N è òî÷êè X ∈ M2 ñóùåñòâóåò ååîêðåñòíîñòü U0 (X) òàêàÿ, ÷òî äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà èç n òî÷åê V , ñîäåðæàùåãîñÿ â U0 (X), êðàò÷àéøàÿ ñåòü, ñîåäèíÿþùàÿ V , ëåæèò â âûïóêëîéîáîëî÷êå conv V ìíîæåñòâà V .Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì îêðåñòíîñòüæäåíèè 8.Îáîçíà÷èì åå ðàäèóñ ÷åðåçr.U (X),èñïîëüçóåìóþ â óòâåð-Ðàññìîòðèì òàêæå îêðåñòíîñòüU0 (X, r0 ) = {Y ∈ M2 ρ(X, Y ) < r0 } ïðè íåêîòîðîì r0 , óäîâëåòâîðÿþùåì íåðàâåíñòâó (2n − 3) r0 < r . Äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà V , ñîñòîÿùåãî èõ n òî÷åê èñîäåðæàùåãîñÿ â U0 (X), äëèíà ëþáîãî ìèíèìàëüíîãî îñòîâíîãî äåðåâà, ñîåäèíÿþùåãî V , íå ïðåâîñõîäèò 2 (n − 1) r0 , ñëåäîâàòåëüíî, ïî îïðåäåëåíèþ r0 , îíàìåíüøå, ÷åì r − r0 .
Òàêèì îáðàçîì, äëèíà ëþáîãî ìèíèìàëüíîãî îñòîâíîãîäåðåâà, ñîåäèíÿþùåãî V , ñòðîãî ìåíüøå, ÷åì äëèíà ëþáîé ñåòè, ñîåäèíÿþùåéV , îáðàç êîòîðîé íå ñîäåðæèòñÿ ïîëíîñòüþ â U (X), òàê êàê ýòà äëèíà áîëüøåèëè ðàâíà r − r0 . Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî îáðàç êðàò÷àéøåé ñåòè, ñîåäèíÿþùåéëþáîå n−òî÷å÷íîå ìíîæåñòâî V , ñîäåðæàùååñÿ â U0 (X), ïîëíîñòüþ ëåæèò âU (X).  äàëüíåéøåì áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ñåòè, îáðàçû êîòîðûõ ëåæàòâ U (X).conv V ìíîæåñòâà VM . Ïóñòü H ëåæàùàÿ â M , ðåáðà êîòî- ñîîòâåòñòâèè ñ óòâåðæäåíèåì 9 âûïóêëàÿ îáîëî÷êàÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì ìíîãîóãîëüíèêîì, îáîçíà÷èì åãî ÷åðåçñåòü òèïà äåðåâî, ñîåäèíÿþùàÿ ìíîæåñòâîV,íåðîé îòðåçêè.
Ïîêàæåì, ÷òî ñóùåñòâóåò áîëåå êîðîòêàÿ ñåòü. Äëÿ óäîáñòâàèçëîæåíèÿ áóäåì îòîæäåñòâëÿòü ñåòü è åå îáðàç íà ìíîãîîáðàçèè.H öåëèêîì ñîäåðæèòñÿ â U (X). Ïóñòü Q âåðøèíà ñåòè H , íå ëåM . Ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê ïåðâîãî âõîäà â M ïóòåé èç Q ê âåðøèíàìV ïî ðåáðàì ñåòè H îáîçíà÷èì E . Èç Q âûõîäèò íå ìåíåå äâóõ ðåáåð ñåòè H ,à, çíà÷èò, ñóùåñòâóþò äâå ðàçëè÷íûå âåðøèíû ìíîæåñòâà V òàêèå, ÷òî ïóòèäî íèõ îò âåðøèíû Q ñîäåðæàò ýòè ðåáðà ñîîòâåòñòâåííî, ñëåäîâàòåëüíî, ìíîæåñòâî E ñîäåðæèò õîòÿ áû äâå òî÷êè.
Ïóñòü K, N ∈ E . Êðèâóþ, êîòîðàÿñîåäèíÿåò òî÷êè K è N è ëåæèò â ñåòè H (òàêàÿ êðèâàÿ åäèíñòâåííà, òàê êàêòèï ñåòè äåðåâî), íàçîâåì γ . Çàìåòèì, ÷òî ýòà êðèâàÿ ïîëíîñòüþ íå ëåæèò âM . Òî÷êè K è N ðàçáèâàþò ãðàíèöó M íà äâå ëîìàíûõ. Òó èç íèõ, ÷òî â îáúåäèíåíèè ñ êðèâîé γ äàåò çàìêíóòóþ êðèâóþ, íå ðàçäåëÿþùóþ âíóòðåííîñòüM è ãðàíèöó ∂U (X), íàçîâåì γ0 .
Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî êðèâàÿ γ0 , ëåæàùàÿ íà∂M , ñîîòâåòñòâóåò ïàðå K, N ∈ E (ðèñ. 4).Ïóñòüæàùàÿ âÐèñ. 4.êðèâàÿ γ0 , ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïàðå K, N ∈ E .20Ðàññìîòðèì òî÷êóè íå ñîâïàäàåò ñäðóãèõ òî÷åê èçNi ∈ EB.E,K ∈ E.ABÏóñòü îíà ëåæèò íà ðåáðåñ îòðåçêîìKBl.íàçîâåìK,ÏóñòüE1íå ñîäåðæàùåé ìíîæåñòâî òî÷åêK, Ni ,E2 = E \ E1 . Äëÿ ëþáûõ äâóõ êðèâûõ, ñîîòâåòñòâóþùèõïàðàì K, Ni è K, Nj ïðè Ni , Nj ∈ E1 , îáðàç îäíîé èç íèõ ñîäåðæèò â ñåáåîáðàç äðóãîé. Àíàëîãè÷íîå âåðíî äëÿ E2 . Òàêèì îáðàçîì, â ñèëó êîíå÷íîñòèE , âûáåðåì â E1 òî÷êó N1 òàêóþ, ÷òî îáðàç êðèâîé, ñîîòâåòñòâóþùåé ïàðåK, N1 , ñîäåðæèò â ñåáå îáðàçû êðèâûõ, ñîîòâåòñòâóþùèõ âñåì ïàðàì K, Niïðè Ni ∈ E1 . Âûáåðåì òî÷êó N2 ∈ E2 ñ àíàëîãè÷íûì ñâîéñòâîì.
Åñëè E1ïóñòî, òî âìåñòî N1 âûáåðåì K , ïðè÷åì K 6= N2 , òàê êàê E ñîäåðæèò õîòÿ áûäâå òî÷êè. Òàêèì îáðàçîì, îáðàç êðèâîé, ñîîòâåòñòâóþùåé ïàðå N1 , N2 ∈ E ,òàêèõ, ÷òî êðèâûå, ëåæàùèå íà∂MMìíîãîóãîëüíèêàÏåðåñå÷åíèå ìàëîé îêðåñòíîñòè òî÷êèè ñîîòâåòñòâóùèå ïàðàìñîäåðæàò îòðåçîê l, àñîäåðæèò â ñåáå îáðàç ñîîòâåòñòâóþùåé êðèâîé äëÿ ëþáîé äðóãîé ïàðû òî÷åêE . ÁóäåìN1 , N2 ∈ E .èçñ÷èòàòü, ÷òîKèN,ðàññìîòðåííûå ðàíåå è åñòü ïàðà òî÷åêÇàìåòèì, ÷òî ó êàæäîãî ïóòè îò òî÷êèïî ñåòèHòî÷êà ïåðâîãî âõîäà âMQäî íåêîòîðîé òî÷êè ìíîæåñòâàëåæèò íàγ0 ,ñîîòâåòñòâóþùåé êðèâîé, îáðàç êîòîðîé ñîäåðæèòñÿ â îáðàçåçîì, â ñåòèêðèâóþγ0 ,Hó÷àñòîêγVòàê êàê ëåæèò íà íåêîòîðîéγ0ñ âûõîäÿùèìè èç íåãî ïóòÿìè äîγ0 .Òàêèì îáðà-ìîæíî çàìåíèòü íàè ïîëó÷èòñÿ áîëåå êîðîòêàÿ ñåòü.
Äåéñòâèòåëüíî, â îáëàñòè, îãðà-γ ∪KN , ëåæèò âûïóêëûé ìíîãîóãîëüíèê ñ ãðàíèöåé γ0 ∪KN .γ ∪ KN (îíà ëåÝòî îçíà÷àåò, ÷òî äëèíà γ áîëüøå äëèíû γ0 . Òàêèì îáðàçîì,íè÷åííîé êðèâîéÑîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 8, åãî ïåðèìåòð ìåíüøå äëèíû êðèâîéæèò âU (X)).ïîñëå îïèñàííîé âûøå çàìåíû äåéñòâèòåëüíî ïîëó÷èòñÿ áîëåå êîðîòêàÿ ñåòü,è ýòà ñåòü ñîåäèíÿåò âåðøèíûV.Ñëåäñòâèå 4. Ïóñòü ìíîãîîáðàçèåM2ãîìåîìîðôíîR2 ,ëþáûå äâå òî÷-A, B ∈ M2 ñîåäèíåíû åäèíñòâåííîé ãåîäåçè÷åñêîé, äëèíà êîòîðîé ðàâíàρ(A, B), à V êîíå÷íîå ìíîæåñòâî òî÷åê èç M2 . Òîãäà êðàò÷àéøàÿ ñåòü, ñîåäèíÿþùàÿ V , ëåæèò â âûïóêëîé îáîëî÷êå conv V ìíîæåñòâà V .êèÇàìå÷àíèå 3. Ïðèìåðîì òàêèõ ìíîãîîáðàçèé ÿâëÿþòñÿ åâêëèäîâà ïëîñ-êîñòü è ïëîñêîñòü Ëîáà÷åâñêîãî.Ñëåäñòâèå 5.
Ïóñòü êîíå÷íîå ìíîæåñòâî òî÷åê äâóìåðíîé ñôåðûS . Òîãäà êðàò÷àéøàÿconv V ìíîæåñòâà V .äåðæèòñÿ â îòêðûòîé ïîëóñôåðåëåæèò â âûïóêëîé îáîëî÷êåÄîêàçàòåëüñòâî. Ïîëóñôåðàðîé òî÷êèX,Sè ìîæåò áûòü ðàññìîòðåíà â êà÷åñòâåH,ñîåäèíÿþùàÿëåæàùóþ â äîïîëíåíèèS,çóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷èì ñåòüýòîì, âñå âåðøèíû ñåòèH1 ,V,ñî-V,ÿâëÿåòñÿ øàðîâîé îêðåñòíîñòüþ íåêîòî-çàòü, ÷òî îáðàç êðàò÷àéøåé ñåòè, ñîåäèíÿþùåéÏóñòü ñåòüVñåòü, ñîåäèíÿþùàÿV,U (X).Äîñòàòî÷íî ïîêà-ïîëíîñòüþ ëåæèò âíå ëåæèò öåëèêîì âS.S.×àñòü ýòîé ñåòè,∂S , â ðåS .
Ïðèñòåïåíè 2 (ñîåäè-çàìåíèì íà åå îòðàæåíèå îòíîñèòåëüíîH1òîé æå äëèíû, ëåæàùóþ â çàìûêàíèèëåæàùèå íà∂S ëèáî âåðøèíûíèâ äâóõ ñîñåäåé êàæäîé òàêîé âåðøèíû ñôåðè÷åñêèì îòðåçêîì, è óáðàâ ýòèâåðøèíû è âûõîäÿùèå èç íåå ðåáðà, ìû ïåðåéäåì ê íå áîëåå äëèííîé ñåòè áåçâåðøèí ñòåïåíè2íà∂S ),ëèáî âåðøèíû ñòåïåíè3,ïðè÷åì ñðåäè ðåáåð, âûõî-äÿùèõ èç òàêîé âåðøèíû, íàéäåòñÿ ïàðà ðåáåð, óãîë ìåæäó êîòîðûìè ìåíüøå2π3 , à ýòî çíà÷èò, ÷òî ýòó ñåòü ìîæíî ñäåëàòü êîðî÷å.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñëåäóþùåãî ðåçóëüòàòà âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìîé, äîêàçàííîé Àëåêñàíäðîâûì.Òåîðåìà 9. (Àëåêñàíäðîâ [22]) Åñëè êðèâèçíà ðèìàíîâà ìíîãîîáðàçèÿ Rmðàçìåðíîñòè m íå áîëüøå k , òî óãëû òðåóãîëüíèêà â Rm íå áîëüøå ñîîòâåòñòâóþùèõ óãëîâ òðåóãîëüíèêà ñ òåìè æå äëèíàìè ñòîðîí â ïëîñêîñòèïîñòîÿííîé êðèâèçíû k .Ïîëîæèì Cl (X) = {Y ∈ M2 ρ(X, Y ) = l}. ßñíî, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõl > 0 ìíîæåñòâî Cl (X) ÿâëÿåòñÿ îáðàçîì çàìêíóòîé êðèâîé áåç ñàìîïåðåñå÷åíèé.
 òàêîì ñëó÷àå áóäåì íàçûâàòü Cl (X) îêðóæíîñòüþ ñ öåíòðîì â Xè ðàäèóñîì l, à Dl (X) = {Y ∈ M2 ρ(X, Y ) 6 l} êðóãîì ñ öåíòðîì â X èðàäèóñîì l. Êðèâèçíó ìíîãîîáðàçèÿ â òî÷êå Y ∈ M2 áóäåì îáîçíà÷àòü K(Y ).Óòâåðæäåíèå 10. Ïóñòü X ∈ M2 . Òîãäà äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåòlX > 0 òàêîå, ÷òî ïðè ëþáîì l < lX äëÿ ëþáûõ äâóõ òî÷åê A, B ∈ Cl (X) óãëû∠XAB è ∠XBA òðåóãîëüíèêà AXB îòëè÷àþòñÿ îò π−∠AXBìåíüøå, ÷åì2íà ε.Ũ (X) òî÷|K(Y )| < K0 ïðè íåêîòîðîì K0 > 0 äëÿñóùåñòóåò l0 òàêîå, ÷òî ïðè ëþáîì l < l0Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì íåêîòîðóþ øàðîâóþ îêðåñòíîñòüêèX,â êîòîðîé êðèâèçíà îãðàíè÷åíà:Y ∈ M2 . ßñíî, ÷òîâûïîëíåíî Dl (X) ⊂ Ũ (X).Ðàññìîòðèì äâå òî÷êè A, B ∈ Cl (X).
Âåðøèíû òðåóãîëüíèêà ñ òåìè æåäëèíàìè ñòîðîí, ÷òî è ó òðåóãîëüíèêà XAB , íî ëåæàùåãî â ïëîñêîñòè ïîñòîÿííîé êðèâèçíû K0 (íà ñôåðå êðèâèçíû K0 , êîòîðóþ áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåçSK0 ), íàçîâåì X1 , A1 è B1 ñîîòâåòñòâåííî. Òðåóãîëüíèê XAB ëåæèò â Ũ (X),ëþáîé òî÷êèçíà÷èò, ïî òåîðåìå Àëåêñàíäðîâà, åãî óãëû íå áîëüøå ñîîòâåòñòâóþùèõ óãëîâòðåóãîëüíèêàX1 A1 B1 .Ïðè ýòîì, óãëû∠A1è∠B1òðåóãîëüíèêàX1 A1 B1ðàâ-íû, òàê êàê ýòî ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê íà ñôåðå.ε > 0 âûáåðåì ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî lX < l0 òàê,÷òîáû ïðè ëþáîì l < lX ïëîùàäü S êðóãà Dl (X) è ïëîùàäü S1 êðóãà ðàäèóñà lεíà SK0 áûëè ìåíüøå2K0 .
Ïî òåîðåìå Ãàóññà-Áîííå, äëÿ òðåóãîëüíèêîâ XABè X1 A1 B1 âûïîëíåíû ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:Zπ+Kdσ = ∠X + ∠A + ∠B,Äàëåå, äëÿ ôèêñèðîâàííîãî4XABZπ+K0 dσ1 = ∠X1 + ∠A1 + ∠B1 ,4X1 A1 B1ãäådσèdσ1 ôîðìû ïëîùàäè íàŨ (X)èSK0ñîîòâåòñòâåííî. ñèëó âûáîðà lX , èìååì: Z4XABKdσ 6Z|K|dσ < K0 S < ε/2,è, àíàëîãè÷íî,Z4X1 A1 B14XAB22K0 dσ1 < ε/2.Òàêèì îáðàçîì, |π − ∠X − ∠A − ∠B| < ε/2 è |π − ∠X1 − ∠A1 − ∠B1 | <ε/2. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñóììà ∠X + ∠A + ∠B îòëè÷àåòñÿ îò ñóììû ∠X1 +∠A1 + ∠B1 íå áîëåå, ÷åì íà ε. Ó÷èòûâàÿ òîò ôàêò, ÷òî ∠X1 > ∠X , ∠A1 >∠A, ∠B1 > ∠B è ∠A1 = ∠B1 , ïîëó÷èì, ÷òî óãëû ∠A è ∠B îòëè÷àþòñÿ äðóãîò äðóãà íå áîëåå, ÷åì íà ε. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî óãëû ∠A è ∠B îòëè÷àþòñÿ∠A+∠B∠A+∠Bîò âåëè÷èíûíå áîëåå, ÷åì íà ε/2.
 ñâîþ î÷åðåäü, âåëè÷èíà22Rπ−∠X1îòëè÷àåòñÿ îòíà âåëè÷èíóKdσ, àáñîëþòíîå çíà÷åíèå êîòîðîé,224XABêàê íàì èçâåñòíî, ìåíüøåAXBîòëè÷àþòñÿ îòε/4.Òàêèì îáðàçîì, óãëûπ−∠AXBìåíüøå, ÷åì íà2ε.∠Aè∠Bòðåóãîëüíèêà×òî è òðåáîâàëîñü.X ∈ M2 . Òîãäà äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò r0 > 00òàêîå, ÷òî ïðè n > 3 è ëþáîì r < r âñå óãëû ëþáîãî ïðàâèëüíîãî n−óãîëüíèêà(n−2) πñ öåíòðîì â X è ðàäèóñîì r îòëè÷àþòñÿ îòìåíüøå, ÷åì íà ε.nÑëåäñòâèå 6. Ïóñòüε âûáår0 > 0 òàê, ÷òîáû ïðè ëþáîì r < r0 äëÿ ëþáûõ äâóõ òî÷åê A, B ∈ Cr (X)π−∠AXBóãëû ∠XAB è ∠XBA òðåóãîëüíèêà AXB îòëè÷àëèñü îòìåíüøå, ÷åì2íà ε/2.Ïóñòü A1 , A2 , .
. . , An âåðøèíû ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà ñ öåíòðîì â X2π0è ðàäèóñîì r < r , n > 3. Óãëû ∠A1 XA2 è ∠A2 XA3 ðàâíûn ïî îïðåäåëåíèþïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà. Òàêèì îáðàçîì, óãëû ∠A1 A2 X è ∠XA2 A3 îòëè(n−2)πìåíüøå, ÷åì íà ε/2, ñëåäîâàòåëüíî, óãîë ∠A1 A2 A3 îòëè÷àåòñÿ÷àþòñÿ îò2n(n−2)πîòìåíüøå, ÷åì íà ε. Àíàëîãè÷íî, êàæäûé óãîë äàííîãî ïðàâèëüíîãîn(n−2)πìíîãîóãîëüíèêà îòëè÷àåòñÿ îòìåíüøå, ÷åì íà ε.nÄîêàçàòåëüñòâî.
Ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 10, äëÿ ôèêñèðîâàííîãîðåìÒåîðåìà 10. Äëÿ òî÷êè O ∈ M2 è äàííîãî n > 7 ñóùåñòâóåò òàêîår0 > 0, ÷òî äëÿ âåðøèí ëþáîãî ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà ñ öåíòðîì â O è ðàäèóñîì r < r0 íà ïîëíîì ðèìàíîâîì ìíîãîîáðàçèè M2 ìèíèìàëüíûì äåðåâîìØòåéíåðà ÿâëÿåòñÿ ãðàíèöà ýòîãî n-óãîëüíèêà áåç åãî íàèáîëüøåé ñòîðîíû.Äîêàçàòåëüñòâî.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
