Минимальные деревья Штейнера в малых окрестностях точек римановых многообразий (848703), страница 7
Текст из файла (страница 7)
 ñîîòâåòñòâèè ñî ñëåäñòâèåì 3 è òåîðåìîé 8, ñóùåñòâó-åòr1 > 0ðàäèóñîìòàêîå, ÷òî äëÿ âåðøèí ïðàâèëüíîãîr < r1n−óãîëüíèêàñ öåíòðîì âOèìèíèìàëüíûå äåðåâüÿ Øòåéíåðà, ñîåäèíÿþùèå èõ, ëåæàò âΩn . Ïðèr2 > 0 òàêîå, ÷òî âñå óãëû ëþáîãî ïðàâèëüíîãî n−óãîëüíèêà ñ öåíòðîì â O è ðàäèóñîì r < r2 îòëè÷àþòñÿ îò(n−2) π(n−2) π1ìåíüøå, ÷åì íà> 57 π ,n42 π .
Çàìåòèì, ÷òî ïðè n > 7 âûïîëíåíînè, çíà÷èò, âåëè÷èíà êàæäîãî óãëà ïðàâèëüíîãî n−óãîëüíèêà ñ öåíòðîì â O è51292ðàäèóñîì r < r2 áîëüøå7 π − 42 π = 42 π > 3 π . Òàêèì îáðàçîì, ãðàíèöà òàêîâûïóêëîé îáîëî÷êå ýòèõ âåðøèí, à èõ òèïû ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâóýòîì, â ñîîòâåòñòâèè ñî ñëåäñòâèåì 6, ñóùåñòâóåòãî ìíîãîóãîëüíèêà áåç ëþáîé ñòîðîíû äåéñòâèòåëüíî ëîêàëüíî-ìèíèìàëüíàÿñåòü.  ðåçóëüòàòå, äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåòr0 < min{r1 , r2 } òàêîå,÷òî íå ñóùåñòâóåò ìèíèìàëüíûõ ïàðàìåòðè÷åñêèõ äåðåâüåâ áèíàðíûõ òèïîâ èçΩn ,ñîåäèíÿþùèõ âåðøèíû ïðàâèëüíîãîóñîìr < r0 ,n−óãîëüíèêàñ öåíòðîì âOè ðàäè-îòëè÷íûõ îò ãðàíèö ýòîãî ìíîãîóãîëüíèêà áåç ñîîòâåòñòâóþùèõñòîðîí.A1 , A2 , . . .
, An âåðøèíû ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêàO, r åãî ðàäèóñ, r < min{r1 , r2 }. Äëÿ îïðåäåëåííîñòè, ðàñòèï G1 ∈ Ωn . Ðàññìàòðèâàåìûé ïðàâèëüíûé n−óãîëüíèê îáîçíà÷èìÏóñòü, êàê è ðàíåå,ñ öåíòðîì âñìîòðèì÷åðåçM,M.Mà ñåòü, ñîâïàäàþùóþ ñ ãðàíèöåéÐàññìîòðèì ëîêàëüíî-ìèíèìàëüíóþ ñåòüHáåç ñòîðîíûòèïàG1 ,H÷åðåçH0 .ëåæàò â ìíîãîóãîëüíèêåB1 , B2 , . .
. , Bn−2 .M (ðèñ. 5), ò.å. âHìîæåò îêàçàòüñÿÅå âíóòðåííèå âåðøèíû, êàê è ðàíåå, îáîçíà÷èì ÷åðåçÏóñòü âíóòðåííèå âåðøèíû ñåòèA1 An ,ñîåäèíÿþùóþ âåðøèíûâûïóêëîé îáîëî÷êå åãî âåðøèí (ëèøü â ýòîì ñëó÷àå ñåòüêðàò÷àéøåé). Ïîêàæåì, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì ðàäèóñå ýòà ñåòü îáÿçàòåëüíî ñîâïàäàåò ñÐèñ.
5.H0(äðóãèõ ëîêàëüíî-ìèíèìàëüíûõ ñåòåé òèïàG1íåò).Ñåòü òèïà G1 , ñîåäèíÿþùàÿ âåðøèíû ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà.A1 B1 B2 . . . Bn−3 Bn−2 An îáîçíà÷èì ÷åðåç T . Âåðøèíó AiM áóäåì íàçûâàòü ñîîòâåòñòâóþùåé âåðøèíå Bi−1 ìíîãîóãîëüíèêà T ïðè i = 2, . . . , n − 1, âåðøèíå A1 ïðè i = 1 è An ïðè i = n.
Åñëè âåðøèíàBi íå ñîâïàäàåò ñ òî÷êîé Ai+1 , òî óãîë ìíîãîóãîëüíèêà T ïðè âåðøèíå Bi ðà2πâåí3 , òàê êàê H ëîêàëüíî-ìèíèìàëüíàÿ ñåòü, è, ñëåäîâàòåëüíî, ìåíüøå2πóãëà ìíîãîóãîëüíèêà M ïðè âåðøèíå Ai+1 , òàê êàê åãî óãëû áîëüøå3 . Åñëèâåðøèíà Bi ñîâïàäàåò ñ òî÷êîé Ai+1 , òî óãîë ìíîãîóãîëüíèêà T ïðè âåðøèíåBi íå áîëüøå óãëà M ïðè âåðøèíå Ai+1 , òàê êàê âñå âíóòðåííèå âåðøèíû ñåòèH ëåæàò ëèáî âî âíóòðåííîñòè, ëèáî íà ãðàíèöå M .
Åñëè ñåòü H îòëè÷àåòñÿîò H0 , òî íåêîòîðàÿ âåðøèíà Bk íå ñîâïàäàåò ñ òî÷êîé Ak+1 .ÌíîãîóãîëüíèêìíîãîóãîëüíèêàÊàê èçâåñòíî, êðèâèçíà ïîëíîãî ìíîãîîáðàçèÿ â êàæäîì êðóãå îãðàíè÷åíà.Òàêèì îáðàçîì, ñóùåñòâóåò|K(X)| < K0 äëÿ X ∈ Dr2 (X).ìíîãîóãîëüíèêîâ M è T âûïîëíåíû ñëåäóþùèåK0 > 0Ïî òåîðåìå Ãàóññà-Áîííå, äëÿòàêîå, ÷òîñîîòíîøåíèÿ:Z(n − 2) π +Kdσ =(n − 2) π +Kdσ =Tãäådσ ôîðìà ïëîùàäè íàn−2X∠Ai ,i=1MZnX∠Bi + ∠B1 A1 An + ∠Bn−2 An A1 ,i=1M2 .24Âû÷òåì èç ïåðâîãî âûðàæåíèÿ âòîðîå (ìíîãîóãîëüíèêM ),ãîóãîëüíèêàTëåæèò âíóòðè ìíî-è ïîëó÷èì:ZKdσ =nX n−2X∠Ai −∠Bi + ∠B1 A1 An + ∠Bn−2 An A1 .i=1M \Ti=1Çàìåòèì, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü åñòü ñóììà ðàçíîñòåé ñîîòâåòñòâóþùèõ óãëîâ ìíîãîóãîëüíèêîâMTèñîîòâåòñòâåííî. Âñå ýòè ðàçíîñòè íåîòðèöàòåëüíûå, à òàê2942 π , òî ðàçíîñòü óãëà ìíîãîóãîëüíèêàM ïðè âåðøèíå Ak+1 è óãëà ïðè ñîîòâåòñòâóþùåé âåðøèòå Bk ìíîãîóãîëüíèêà291T áîëüøå âåëè÷èíû 42π − 23 π = 42π . Òàêèì îáðàçîì,êàê âñå óãëû ìíîãîóãîëüíèêàMáîëüøåZKdσ >1π.42M \TÏðè ýòîì ÿñíî, ÷òîZK0 SM >Kdσ,M \Tãäår0SM ïëîùàäü ìíîãîóãîëüíèêàïðèr <M.Îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî ïðè ðàäèóñår<142 K0 π , à, çíà÷èò,r0 åäèíñòâåííîé ëîêàëüíî-ìèíèìàëüíîé ñåòüþ òèïà G1 ÿâëÿåòñÿ H0 ,ïðè íåêîòîðîìr0ïëîùàäüSMòàê êàê âñå âíóòðåííèå âåðøèíûAi+1 .òèïà G1 , èìíîãîóãîëüíèêàBiMìåíüøåäîëæíû ñîâïàäàòü ñ ñîîòâåòñòâóþùèìèH0âåðøèíàìèÝòî îçíà÷àåò, ÷òîäåðåâîäðóãèõ ìèíèìàëüíûõ ïàðàìåòðè÷åñêèõ äåðåâüåâ íåò.
×òî è ýòî ìèíèìàëüíîå ïàðàìåòðè÷åñêîåòðåáîâàëîñü.ÏóñòüMk ðèìàíîâî ìíîãîîáðàçèå ïîñòîÿííîé êðèâèçíû. Ðàññìîòðèì øà-ðîâóþ îêðåñòíîñòüUíîãî ïðîñòðàíñòâà êòî÷êèMkO.Ëþáîå îðòîãîíàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå êàñàòåëü-â ýòîé òî÷êå îïðåäåëÿåò ïðåîáðàçîâàíèå îêðåñòíîñòèU , ñîõðàíÿþùåå ìåòðèêó ìíîãîîáðàçèÿ (à, çíà÷èò, è ìåòðèêó 5.1 ïðè ëþáîìt ∈ [0, 1]).  ÷àñòíîñòè, ïðåîáðàçîâàíèÿ îêðåñòíîñòè U , ïåðåâîäÿùèå ìíîæåñòâî âåðøèí ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà ñ öåíòðîì â O â ñåáÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå âðàùåíèþ â ïëîñêîñòè Π, ÿâëÿþòñÿ èçîìåòðèÿìè.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òîíà ìíîãîîáðàçèÿõ ïîñòîÿííîé êðèâèçíû âñå óãëû è âñå ñòîðîíû ïðàâèëüíîãîìíîãîóãîëüíèêà ðàâíû ìåæäó ñîáîé.Òàêèìè èçîìåòðèÿìè ìîæíî ïåðåâåñòèìèíèìàëüíîå ïàðàìåòðè÷åñêîå äåðåâî ëþáîãî òèïà èçìåòðè÷åñêîå äåðåâî ëþáîãî äðóãîãî òèïà èçΩn .Ωnâ ìèíèìàëüíîå ïàðà-Ïðè ýòîì, äâà ïðàâèëüíûõ ìíî-ãîóãîëüíèêà îäíîãî ðàäèóñà ïåðåâîäÿòñÿ äðóã â äðóãà ñ ïîìîùüþ èçîìåòðèé,â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîñëåäóþùèå îöåíêè íå çàâèñÿò îò òî÷êèOìíîãîîáðàçèÿ.Äëÿ òîãî, ÷òîáû îöåíêà ðàäèóñà áûëà íåçàâèñèìà îò òî÷êè, òðåáóåòñÿ, ÷òîáûäëÿ íåêîòîðîãîâèëüíûår0â êàæäîé òî÷êå ìíîãîîáðàçèÿ êîððåêòíî îïðåäåëÿëèñü ïðà-n-óãîëüíèêè ðàäèóñîâ ìåíüøå r0ñ öåíòðàìè â ýòèõ òî÷êàõ.
Äëÿ ýòîãîðàññìîòðèì ìíîãîîáðàçèÿ ïîñòîÿííîé êðèâèçíû, ðàäèóñ èíúåêòèâíîñòèriêî-òîðûõ ïîëîæèòåëåí. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ëþáîé òî÷êè ìíîãîîáðàçèÿ øàðîâàÿîêðåñòíîñòü ñ öåíòðîì â ýòîé òî÷êå è ðàäèóñîìr < riäèôôåîìîðôíà ñîîòâåò-ñòâóþùåé øàðîâîé îêðåñòíîñòè íà÷àëà êîîðäèíàò êàñàòåëüíîãî ïðîñòðàíñòâàâ ýòîé òî÷êå òîãî æå ðàäèóñà (äèôôåîìîðôèçì çàäàåòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíûìîòîáðàæåíèåì). Îòñþäà âûòåêàåò ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò.n ñóùåñòâóåò r0 > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ âåðøèí ëþr < r0 íà ïîëíîì ðèìàíîâîì ìíîãîîáðàçèè ïîñòîÿííîé êðèâèçíû Mk ñ ïîëîæèòåëüíûì ðàäèóñîì èíúåêòèâíîñòèìíîæåñòâî òèïîâ ìèíèìàëüíûõ äåðåâüåâ Øòåéíåðà ñîâïàäàåò ñ Ωn .Ñëåäñòâèå 7. Äëÿ äàííîãîáîãî ïðàâèëüíîãîn-óãîëüíèêàè ðàäèóñîìÒàêèì îáðàçîì, èç ñëåäñòâèÿ 7 è òåîðåìû 10 âûòåêàþò ñëåäóþùèå ðåçóëüòàòû.n > 7 ñóùåñòâóåò òàêîå r0 > 0, ÷òî äëÿ âåðøèín-óãîëüíèêà ðàäèóñà r < r0 íà äâóìåðíîé ñôåðå ìèíèØòåéíåðà ÿâëÿåòñÿ ãðàíèöà ýòîãî n-óãîëüíèêà áåç ëþáîé ååÑëåäñòâèå 8.
Äëÿ äàííîãîëþáîãî ïðàâèëüíîãîìàëüíûì äåðåâîìñòîðîíû.n > 7 ñóùåñòâóåò òàêîå r0 > 0, ÷òî äëÿ âåðøèín-óãîëüíèêà ðàäèóñà r < r0 íà ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî ìèäåðåâîì Øòåéíåðà ÿâëÿåòñÿ ãðàíèöà ýòîãî n-óãîëüíèêà áåç ëþáîéÑëåäñòâèå 9. Äëÿ äàííîãîëþáîãî ïðàâèëüíîãîíèìàëüíûìåå ñòîðîíû.Çàìå÷àíèå 4.
Íà ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî ïðèãîn−óãîëüíèêàn<7ãðàíèöà ïðàâèëüíî-áåç êàêîé-ëèáî ñòîðîíû íå ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíî-ìèíèìàëüíîéñåòüþ.Äîêàçàòåëüñòâî. Ñóììà óãëîâ òðåóãîëüíèêà íà ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãîπ − s, ãäå s åãî ïëîùàäü, çíà÷èò, ñóììà óãëîâ n−óãîëüíèêà ðàâíà(n − 2)π − S , ãäå S ïëîùàäü ýòîãî n−óãîëüíèêà. Òàê êàê óãëû ïðàâèëüíîãîn−óãîëüíèêà ðàâíû ìåæäó ñîáîé, òî ïðè n < 7 îíè âñåãäà ìåíüøå 2π3 .ðàâíàÒåì íå ìåíåå, íà ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî ïðèn<7ðè÷åñêèå äåðåâüÿ â êëàññàõ ñåòåé áèíàðíûõ òèïîâ èçìèíèìàëüíûå ïàðàìåò-Ωnÿâëÿþòñÿ êðàò÷àé-øèìè ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì ðàäèóñå ìíîãîóãîëüíèêà.  ñèëó ïîëíîòû ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî, òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü ôóíêöèè äëèíû ñåòè äîñòèãàåòñÿ.Òàêèì îáðàçîì, ìèíèìàëüíûìè äåðåâüÿìè Øòåéíåðà ÿâëÿþòñÿ ñåòè òèïîâ èçΩn ,âíóòðåííèå ðåáðà êîòîðûõ íå âûðîæäàþòñÿ, òàê êàê â ïðîòèâíîì ñëó÷àåñåòü ñîäåðæèò âåðøèíû ñòåïåíè áîëüøåé3.Íåêîòîðûå ãðàíè÷íûå ðåáðà ýòèõñåòåé ìîãóò áûòü âûðîæäåíû.Ñïèñîê ëèòåðàòóðû[1] V.
Jarnk, Kossler, O minimalnch grafech obsahujcch n danych bodu, Ò. 63,PestovanMat. (Essen), Cas, 1934, 223235.[2] D.Z. Du, F.K. Hwang, J.F. Weng, Steiner Minimal Trees for Regular Polygons,Springer Verlag, New York, 1987.[3] J.H. Rubinstein, A.D. Thomas, Graham's problem on shortest networks for pointson a circle, 7, Algorithmica, 1992, 193218.[4] D.Z. Du, F.K. Hwang, J.F. Weng, Steiner Minimal Trees for points on a zig-zaglines, v. 95, 4, Trans. Amer.
Math. Soc., 1985, 149156.[5] M. Brazil, J. Cole, J.H. Rubinstein, A.D. Thomas, J.F. Weng, N.C. Wormald, Fullminimal Steiner trees on lattice sets, J. Comb. Theory Series A. 78, 1997, 5191.26[6] M. Brazil, J. Cole, J.H. Rubinstein, A.D. Thomas, J.F. Weng, N.C. Wormald,Minimal Steiner trees for 2k × 2k square lattices, J. Comb. Theory Series A. 73,1996, 91110.[7] M. Brazil, J. Cole, J.H.
Rubinstein, A.D. Thomas, J.F. Weng, N.C. Wormald,Minimal Steiner trees for rectangular arrays of lattice points, Research Report N24, Dept. of Math., Univ. of Melbourne, Australia, 1995.[8] F.R.K. Chung, R.L. Graham, Steiner trees for ladders, v.
2, Ann. Disc. Math, 1978,173200.[9] F.R.K. Chung, M. Gardner, R.L. Graham, Steiner trees on a ckeckerboard, v. 62,Math. Magazine, 1989, 8396.[10] À. Î. Èâàíîâ, À. À. Òóæèëèí, Ãåîìåòðèÿ ìèíèìàëüíûõ ñåòåé è îäíîìåðíàÿïðîáëåìà Ïëàòî, 47:2(284), ÓÌÍ., 1992, 53115.[11] À. Î. Èâàíîâ, À. À.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
