Минимальные деревья Штейнера в малых окрестностях точек римановых многообразий (848703)
Текст из файла
Ìîñêîâñêèé Ãîñóäàðñòâåííûé Óíèâåðñèòåò èì. Ì.Â. ËîìîíîñîâàÌåõàíèêî-Ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåòÊàôåäðà äèôôåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè è ïðèëîæåíèéÄèïëîìíàÿ ðàáîòàÌèíèìàëüíûå äåðåâüÿ Øòåéíåðà âìàëûõ îêðåñòíîñòÿõ òî÷åê ðèìàíîâûõìíîãîîáðàçèéÂûïîëíèë: ñòóäåíò 6-ãî êóðñà×èêèí Âëàäèìèð,íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü:ïðîôåññîð Òóæèëèí À.À.Ìîñêâà, 2017 ã.ÑîäåðæàíèåÑîäåðæàíèå .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21. Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32. Íåïðåðûâíîñòü ðàññòîÿíèÿ è íåïðåðûâíîñòü äëèí êðèâûõ â ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîãî ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43. Íåïðåðûâíîñòü ðàññòîÿíèÿ â ñëó÷àå ãëàäêîãî ðèìàíîâà ìíîãîîáðàçèÿ .84. Ìèíèìàëüíûå ñåòè: îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ è âñïîìîãàòåëüíûå ðåçóëüòàòû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .105. Òèïû ìèíèìàëüíûõ äåðåâüåâ Øòåéíåðà â ìàëûõ îêðåñòíîñòÿõ òî÷åêðèìàíîâûõ ìíîãîîáðàçèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136. Ìèíèìàëüíûå äåðåâüÿ Øòåéíåðà äëÿ ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ íàðèìàíîâûõ ìíîãîîáðàçèÿõ . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16Ñïèñîê ëèòåðàòóðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26 1. ÂâåäåíèåÂïåðâûå çàäà÷à î ïîèñêå ìèíèìàëüíîé ñåòè áûëà ïîñòàâëåíà Ôåðìà äî 1640êàê ðàñïîëîæèòü íà ïëîñêîñòè òî÷êó F òàê, ÷òîáû ñóììà ðàññòîÿíèé îò íåå äî òðåõôèêñèðîâàííûõ òî÷åê A, B è C áûëà íàèìåíüøåé? Îáùàÿ çàäà÷à î ïîèñãîäà. À èìåííî, Ôåðìà èíòåðåñîâàë îòâåò íà ñëåäóþùèé âîïðîñ:êå ñâÿçíîé êðàò÷àéøåé ñåòè, ñîåäèíÿþùåé äàííîå êîíå÷íîå ìíîæåñòâî òî÷åêïëîñêîñòè, áûëà ïîñòàâëåíà ßðíèêîì è Êåññëåðîì â 1934.  äàëüíåéøåì ýòàêëàññè÷åñêàÿ çàäà÷à ïîëó÷èëà íàçâàíèå ïðîáëåìà Øòåéíåðà. Äëÿ íåêîòîðûõìíîæåñòâ ñïåöèàëüíîãî âèäà íà ïëîñêîñòè ìèíèìàëüíûå äåðåâüÿ Øòåéíåðàèçâåñòíû.Ê ïðèìåðó, êàê áûëî ïîêàçàíî ßðíèêîì è Êåññëåðîì [1], êàæäàÿêðàò÷àéøàÿ ñåòü, ñîåäèíÿþùàÿ ìíîæåñòâî âåðøèí ïðàâèëüíîãîïðèn > 13ñîñòîèò èç âñåõ ñòîðîí ýòîãîn-óãîëüíèêà,n-óãîëüíèêà,çà èñêëþ÷åíèåì ëþáîéîäíîé.
Êðîìå òîãî, ßðíèê è Êåññëåð ïîñòðîèëè î÷åâèäíûå êðàò÷àéøèå ñåòèäëÿ ñëó÷àåân,ðàâíîãî 3, 4 è 5. Ëèøü â 1987 Äó è Õâàíã [2] çàâåðøèëè îïèñà-íèå êðàò÷àéøèõ ñåòåé, ñîåäèíÿþùèõ âåðøèíû ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ,äîêàçàâ, ÷òî äëÿn > 6îòâåò òàêîé æå, êàê è äëÿn > 13.Ðóáèíøòåéíîì èÒîìàñîì [3] áûë ïîëó÷åí ðåçóëüòàò, îïèñûâàþùèé êðàò÷àéøèå ñåòè äëÿ äàííîãî íàáîðà òî÷åê íà îêðóæíîñòè, à èìåííî: åñëèòî÷åê ïëîñêîñòè, ëåæàùèõ íà îêðóæíîñòè ðàäèóñàñòîðîíû ìíîãîóãîëüíèêàMM êîíå÷íîå ìíîæåñòâîr, è ïðè ýòîì íå áîëåå îäíîér äëèíó, òî ìèíèìàëü-èìååò ñòðîãî áîëüøóþ ÷åìíîå äåðåâî Øòåéíåðà äëÿ ìíîæåñòâàMïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îáúåäèíåíèå âñåõñòîðîí ýòîãî ìíîãîóãîëüíèêà, çà èñêëþ÷åíèåì ñàìîé äëèííîé.Êîíå÷íîå ìíîæåñòâîñòâóåò ëîìàíàÿL,Mòî÷åê ïëîñêîñòè íàçûâàåòñÿçèãçàãîì, åñëè ñóùåM , à çâåíüÿ êîòî-ìíîæåñòâî âåðøèí êîòîðîé ñîâïàäàåò ñðîé ïîâîðà÷èâàþò â ðàçíûå ñòîðîíû.Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî åñëè ôèêñè-ðîâàòü íåêîòîðóþ îðèåíòàöèþ ëîìàíîéL,âåêòîðîâ-çâåíüåâ ëîìàíîéLè êàæäîé ïàðå ïîñëåäîâàòåëüíûõïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå çíàê îðèåíòèðîâàííîãîóãëà îò ïåðâîãî çâåíà êî âòîðîìó, òî ïîëó÷èòñÿ çíàêîïåðåìåííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü.
Äó, Õâàíã è Âåíã [4] ïîëó÷èëè ðåçóëüòàòû, îïèñûâàþùèå êðàò÷àéøèå ñåòè äëÿ çèãçàãîâ îïðåäåëåííîãî òèïà.Ïîä ðóêîâîäñòâîì Ðóáèíøòåéíàâûïîëíåí öèêë ðàáîò [5, 6, 7], îïèñûâàþùèõ ðàçëè÷íûå ñâîéñòâà êðàò÷àéøèõñåòåé, çàòÿãèâàþùèõ êîíå÷íîå ìíîæåñòâîMâåðøèí ñòàíäàðòíîé êâàäðàòíîéðåøåòêè.
Ýòè ðàáîòû ðàçâèâàþò ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå â [8] è [9], â ïåðâîé èçêîòîðûõ áûëè èññëåäîâàíû êðàò÷àéøèå ñåòè, çàòÿãèâàþùèå òàê íàçûâàåìûåëåñòíèöû, ò.å. âñå âåðøèíû ñ êîîðäèíàòàìè(m, n),ãäå1 6 m 6 M, n = 1, 2,àâî âòîðîé âûñêàçàíà ãèïîòåçà î òîì, êàê óñòðîåíû êðàò÷àéøèå ñåòè äëÿ ðåøåòêè, ñîñòàâëåííîé èç âñåõ âåðøèí âèäà(m, n),ãäå1 6 m 6 2kè1 6 n 6 2k .Ýòà ãèïîòåçà áûëà äîêàçàíà â [6].Åñòåñòâåííûì îáîáùåíèåì ïðîáëåìû Øòåéíåðà ÿâëÿåòñÿ çàäà÷à îïèñàíèÿìèíèìàëüíûõ ñåòåé íà çàìêíóòûõ äâóìåðíûõ ìíîãîîáðàçèÿõ.
Íà íèõ âîçíèêàåò íîâûé òèï ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ ñåòåé çàìêíóòûå ñåòè, ò.å. ñåòè, âñåâåðøèíû êîòîðûõ èìåþò ñòåïåíü òðè è îòñóòñòâóþò ãðàíè÷íûå òî÷êè.Äëÿçàìêíóòûõ ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ ñåòåé Èâàíîâûì è Òóæèëèíûì [10, 11] áûëïîëó÷åí ðÿä ðåçóëüòàòîâ.  ðàáîòå Heppes [12] îíè áûëè êëàññèôèöèðîâàíûíà ñòàíäàðòíîé äâóìåðíîé ñôåðå. Êëàññèôèêàöèÿ çàìêíóòûõ ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ ñåòåé íà ïëîñêèõ òîðàõ áûëà ïîëó÷åíà â ðàáîòå Èâàíîâà, Ïòèöèíîéè Òóæèëèíà [13].
Òàêæå Ïòèöèíîé [14, 15] áûëà ïîëó÷åíà êëàññèôèêàöèÿ íàïëîñêèõ áóòûëêàõ Êëåéíà è ðàâíîãðàííûõ òåòðàýäðàõ. Èâàíîâûì è Òóæèëèíûì [16, 11], à òàêæå Âäîâèíîé è Ñåëèâàíîâîé [17] áûëè ïðèâåäåíû ïðèìåðûçàìêíóòûõ ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ ñåòåé íà ïîâåðõíîñòÿõ ïîñòîÿííîé îòðèöàòåëüíîé êðèâèçíû. Ïðèìåðû òàêèõ ñåòåé íà ïîâåðõíîñòÿõ ìíîãîãðàííèêîâïðèâåäåíû â ðàáîòàõ Ñòðåëêîâîé [18, 19], Èâàíîâà è Òóæèëèíà [20]. îòëè÷èå îò åâêëèäîâà ñëó÷àÿ, íà ãëàäêèõ ðèìàíîâûõ ìíîãîîáðàçèÿõ ìèíèìàëüíûå äåðåâüÿ Øòåéíåðà äëÿ êîíêðåòíûõ ãðàíèö ïðàêòè÷åñêè íå èçâåñòíû.Íàøà öåëü îïðåäåëèòü òèïû ìèíèìàëüíûõ äåðåâüåâ Øòåéíåðà, ñîåäèíÿþùèõ âåðøèíû äîñòàòî÷íî ìàëîé ïðîèçâîëüíîé ãðàíèöû íà ðèìàíîâîì ìíîãîîáðàçèè. äàííîé ðàáîòå ïîëó÷åí ðåçóëüòàò, îïèñûâàþùèé áèíàðíûå òèïûìèíèìàëüíûõ äåðåâüåâ Øòåéíåðà äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ìàëûõ ãðàíèö íà ðèìàíîâîì ìíîãîîáðàçèè.  äàëüíåéøåì ìû îïðåäåëèì ïðàâèëüíûé ìíîãîóãîëüíèêíà ðèìàíîâîì ìíîãîîáðàçèè, è îïèøåì êîíêðåòíûå áèíàðíûå òèïû, ðåàëèçóþùèå ìèíèìàëüíûå äåðåâüÿ Øòåéíåðà äëÿ âåðøèí äîñòàòî÷íî ìàëîãî ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà íà ìíîãîîáðàçèè.Êàê ñëåäñòâèå, ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî íàëþáîì ïîëíîì äâóìåðíîì ãëàäêîì ðèìàíîâîì ìíîãîîáðàçèè äëÿ êàæäîãîn>7X0 íà íåé òàêàÿ, ÷òî äëÿ ëþn-óãîëüíèêà ñ öåíòðîì â X0 ìèíèìàëüíûìãðàíèöà ýòîãî n-óãîëüíèêà áåç åãî íàèáîëüøåéñóùåñòâóåò äîñòàòî÷íî ìàëàÿ îêðåñòíîñòü òî÷êèáîãî ëåæàùåãî â íåé ïðàâèëüíîãîäåðåâîì Øòåéíåðà ÿâëÿåòñÿñòîðîíû.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà îñíîâíîé òåîðåìû â ðàáîòå ðàññìàòðèâàþòñÿ èçìåíåíèÿ ìåòðèê.
 õîäå ðàáîòû áûëî çàìå÷åíî, ÷òî èç íåïðåðûâíîé çàâèñèìîñòèèçìåíåíèÿ äëèí êðèâûõ ïðè âàðèàöèè ìåòðèêè íå âûòåêàåò íåïðåðûâíîñòü ðàññòîÿíèÿ ìåæäó òî÷êàìè â ñîîòâåòñòâóþùåé âíóòðåííåé ìåòðèêå; ïîñòðîåí ñîîòâåòñòâóþùèé ïðèìåð. Âîçíèê âîïðîñ: ÷òî íóæíî ïîòðåáîâàòü äëÿ îáåñïå÷åíèÿ íåïðåðûâíîñòè ðàññòîÿíèÿ?  ðàáîòå ñôîðìóëèðîâàíî íåêîòîðîå óñëîâèå(∗),ÿâëÿþùååñÿ äîñòàòî÷íûì.Äàëåå ðàññìàòðèâàåòñÿ íåïðåðûâíîå èçìåíå-íèå ðèìàíîâîé ìåòðèêè íà ìíîãîîáðàçèè è ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî åñëè ìíîãîîáðàçèå ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì, òî óñëîâèå(∗)âûïîëíåíî, â ñëåäñòâèå ÷åãî ðàññòîÿíèåìåæäó ëþáûìè äâóìÿ òî÷êàìè ìåíÿåòñÿ íåïðåðûâíî.
Çàòåì, ïîëüçóÿñü ýòèìâûâîäîì, ìû äîêàæåì íåïðåðûâíîñòü äëèíû ìèíèìàëüíîãî ïàðàìåòðè÷åñêîãîäåðåâà çàäàííîãî òèïà äëÿ çàäàííîé ãðàíèöû íà ðèìàíîâîì ìíîãîîáðàçèè ïðèíåïðåðûâíîì èçìåíåíèè ðèìàíîâîé ìåòðèêè. Ýòîò ðåçóëüòàò ÿâëÿåòñÿ êëþ÷åâûì äëÿ äîêàçàòåëüñòâà îñíîâíîé òåîðåìû. 2. Íåïðåðûâíîñòü ðàññòîÿíèÿ è íåïðåðûâíîñòü äëèíêðèâûõ â ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîãî ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâàÐàññìîòðèì ìíîæåñòâîXè ñåìåéñòâî ìåòðèêρtíà íåì,t ∈ [0, 1].Ïóñòü âñåîíè îïðåäåëÿþò îäíó è òó æå òîïîëîãèþ, ÿâëÿþòñÿ êîíå÷íûìè è âíóòðåííèìè.Ïóñòü ïðè êàæäîìt ∈ [0, 1]ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî(X, ρt )ëèíåéíî ñâÿçíî,è êàæäàÿ êðèâàÿ ñïðÿìëÿåìà èëè íå ñïðÿìëÿåìà ïî îòíîøåíèþ êî âñåìîäíîâðåìåííî. Ïóñòü òàêæå äëÿ ëþáîé êðèâîéêî âñåìρt ,γ,åå äëèíà lt (γ) ïî îòíîøåíèþ ê ìåòðèêå4ρtñïðÿìëÿåìîé ïî îòíîøåíèþρtíåïðåðûâíî çàâèñèò îòt.Óñëîâèå (∗): ïóñòü Fa,t ìíîæåñòâî êðèâûõ γ òàêèõ, ÷òî lt (γ) 6 a. Òîãäàa > 0, ëþáîãî t0 ∈ [0, 1] è ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ òàêîå δ > 0, ÷òîäëÿ âñåõ t, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó |t − t0 | < δ , âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèåFa,t ⊂ F(1+ε)a,t0 .äëÿ ëþáîãîÒåîðåìà 1.
Ïóñòü âûïîëíåíû ïåðå÷èñëåííûå âûøå óñëîâèÿ. Òîãäà äëÿ ëþáûõ A, B ∈ X ôóíêöèÿ ρt (A, B) íåïðåðûâíî çàâèñèò îò t.Äîêàçàòåëüñòâî. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òîAèBA=Bρt (A, B) =íå ñîâïàäàþò (ñëó÷àéòðèâèàëüíûé). Ðàññìàòðèâàåìûå ìåòðèêè âíóòðåííèå, ñëåäîâàòåëüíîinf γ lt (γ), ãäå òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü áåðåòñÿ ïî âñåì êðèâûì γ , ñîåäèíÿþùèìA è B . Äîêàæåì íåïðåðûâíîñòü ρt (A, B) â íåêîòîðîé òî÷êå t0 ∈ [0, 1]. Äëÿ0ôèêñèðîâàííîãî ε > 0 íàéäåòñÿ ñîåäèíÿþùàÿ òî÷êè A è B êðèâàÿ γ , óäîâëå0òâîðÿþùàÿ íåðàâåíñòâó |lt0 (γ ) − ρt0 (A, B)| < ε/2.  ñâîþ î÷åðåäü, èç òîãî, ÷òî0äëèíà lt (γ ) ýòîé êðèâîé íåïðåðûâíî çàâèñèò îò t, ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå δ > 0òàêîãî, ÷òî äëÿ âñåõ t, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó |t − t0 | < δ , âûïîëíåíî|lt (γ 0 ) − lt0 (γ 0 )| < ε/2.
 ðåçóëüòàòå èìååì:ρt (A, B) = inf lt (γ) 6 lt (γ 0 )γ÷òî îçíà÷àåò ïîëóíåïðåðûâíîñòü ñâåðõó.ε > 0 è ïîñëåäîâàρtn (A, B) < ρt0 (A, B) − ε.Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êðèâûõ {γn }, n ∈ N, ñîåäèíÿþùèõ A è B , òàêèõ, ÷òî ltn (γn )−ρtn (A, B) < ε/2, à, ñëåäîâàòåëüíî, ltn (γn ) < ρt0 (A, B)−ε/2 = q .Ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî îçíà÷àåò, ÷òî γn ∈ Fq,tn . Ñîãëàñíî óñëîâèþ (∗), äëÿε0ε1 = 4qíàéäåòñÿ δ1 > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ âñåõ t , óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåí0ñòâó |t − t0 | < δ1 , âûïîëíåíî Fq,t0 ⊂ F(1+ε1 )q,t0 = Fρt (A,B)−ε/4,t0 . Îñòàëîñü0çàìåòèòü, ÷òî ñóùåñòâóåò íàòóðàëüíîå ÷èñëî m òàêîå, ÷òî |tm − t0 | < δ1 , òîåñòü γm ∈ Fq,tm ⊂ Fρt (A,B)−ε/4,t0 , îòêóäà âûòåêàåò âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâà0lt0 (γm ) 6 ρt0 (A, B) − ε/4 ïðîòèâîðå÷èå ñ îïðåäåëåíèåì âíóòðåííåé ìåòðèêè:ρt0 (A, B) = inf γ lt0 (γ).
Ïîëóíåïðåðûâíîñòü ñíèçó äîêàçàíà.Ïóñòü ïîëóíåïðåðûâíîñòè ñíèçó íåò, òî åñòü ñóùåñòâóåòòåëüíîñòü{tn } ∈ [0, 1],ñõîäÿùàÿñÿ êÇàìå÷àíèå 1. Óñëîâèå(∗)t0 ,òàêèå, ÷òîíå âûòåêàåò èç îñòàëüíûõ óñëîâèé. Áîëåå òîãî,åñëè âñå óñëîâèÿ, êðîìå óñëîâèÿ(∗)âûïîëíåíû, òî ðàññòîÿíèå ìîæåò áûòüðàçðûâíûì.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðèâåäåì ïðèìåð ìíîæåñòâàXè ñåìåéñòâà ìåòðèêρtíà íåì, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíåíû âñå óñëîâèÿ, êðîìå (∗). Ðàññìîòðèì äâóìåðíóþ ñôåðó è äâå äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûå òî÷êèA è B íà íåé.Âûäåëèìíà íåé ñ÷åòíîå êîëè÷åñòâî ïîëîâèí áîëüøèõ îêðóæíîñòåé äóã, ñîåäèíÿþùèõAèB,è îáîçíà÷èì èõγ k , k ∈ N.Ïóñòü∞X = ∪ γk ,à äëèíà íåïðåðûâíîék=1êðèâîé γ , îñóùåñòâëÿþùåé ãîìåîìîðôèçì ñ îáðàçîì, ëåæàùåé öåëèêîì íàα0íåêîòîðîé äóãå γk , â ìåòðèêå ρt ðàâíà lt (γ ) = 2 + cos(tk)π , ãäå α âåëè÷èíà0óãëà, ïîä êîòîðûì âèäíà γ èç öåíòðà ñôåðû (ÿñíî, ÷òî lt (γk ) = 2 + cos(tk))0(ðèñ.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
