Минимальные деревья Штейнера в малых окрестностях точек римановых многообразий (848703), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Òàêèì îáðàçîì,2òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü äëèí âñåõ êðèâûõ, ñîåäèíÿþùèõ A è B , â ìåòðèêå dst0ñîâïàäàåò ñ òî÷íîé íèæíåé ãðàíüþ äëèí êðèâûõ, ñîåäèíÿþùèõ A è B , îáðàçûêîòîðûõ ëåæàò â K , â ýòîé ìåòðèêå, òàê êàê íå ïðåâîñõîäèò m.Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî êðèâûõ L, îáðàçû êîòîðûõ ëåæàò â K , îäèí êîíåöêîòîðûõ ñîâïàäàåò ñ A, à äðóãîé ëåæèò íà ãðàíèöå ∂K . Åñëè γ ∈ L, è P ååêîíåö, ëåæàùèé íà ∂K , òî lt0 (γ) > ρt0 (A, P ) = m+1. Ïîêàæåì, ÷òî ñóùåñòâóåòδ > 0 òàêîå, ÷òî ïðè |t − t0 | < δ âûïîëíåíî lt (γ) > m äëÿ ëþáîé êðèâîé γ ∈ L.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýòî íå òàê, òî åñòü ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {tn },ñõîäÿùàÿñÿ ê t0 ïðè n → ∞, è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êðèâûõ γn èç L òàêèå, ÷òîltn (γn ) 6 m, òî åñòü γn ∈ Fm,tn .
Ïðè ýòîì γn 6∈ Fm+1/2,t0 , òàê êàê lt0 (γn ) > m+1,èç ÷åãî âûòåêàåò, ÷òî Fm,tn 6⊂ Fm+1/2,t0 . Ìû ïîëó÷èëè, ÷òî óñëîâèå (∗) íåâûïîëíåíî ïðîòèâîðå÷èå êîìïàêòíîñòè K .Ðàññìîòðèì êðèâóþ γ : [a, b] → Mn , γ(a) = A, γ(b) = B , îáðàç êîòîðîéíå ëåæèò â K . Ïóñòü s0 = inf s|s ∈ [a, b], γ(s) 6∈ K . Îãðàíè÷åíèå êðèâîéγ íà îòðåçîê [a, s0 ] ýòî êðèâàÿ èç L, à, ñëåäîâàòåëüíî, lt γ [a,s0 ] > m ïðè> m ïðè |t − t0 | < δ .|t − t0 | < δ . Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî lt (γ) > lt γ [a,s0 ]Òàêèì îáðàçîì, òàê êàê òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü äëèí âñåõ êðèâûõ, ñîåäèíÿþùèõds2tm, òî îíà ñîâïàäàåò ñ òî÷íîé íèæíåéA è B , îáðàçû êîòîðûõ ëåæàò â K , â òîé æå2Kìåòðèêå dst ïðè |t−t0 | < δ .
Îïðåäåëèì ρt (A, B) = inf lt (γ), ãäå òî÷íàÿ íèæíÿÿãðàíü áåðåòñÿ ïî âñåì êóñî÷íî-ãëàäêèì êðèâûì γ , ñîåäèíÿþùèì A è B , îáðàçûKêîòîðûõ ëåæàò â K . Èç äîêàçàííîãî ðàíåå ñëåäóåò, ÷òî ρt (A, B) íåïðåðûâíîKïî t, òàê êàê K êîìïàêò. Ïðè ýòîì ìû ïîêàçàëè, ÷òî ρt (A, B) = ρt (A, B)ïðè |t − t0 | < δ , à, çíà÷èò, ρt (A, B) íåïðåðûâíî â òî÷êå t0 .AèB,â ìåòðèêåíå ïðåâîñõîäèòãðàíüþ äëèí êðèâûõ, ñîåäèíÿþùèõ 4. Ìèíèìàëüíûå ñåòè: îñíîâíûåîïðåäåëåíèÿ è âñïîìîãàòåëüíûå ðåçóëüòàòûÃðàíèöåéãðàôà áóäåì íàçûâàòü íåêîòîðîå âûäåëåííîå ìíîæåñòâî åãî âåð-øèí.  äàëüíåéøåì áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âñå ðàññìàòðèâàåìûå ãðàôû ñâÿçíûåè èìåþò ãðàíèöû, èíîãäà ïóñòûå.Áèíàðíûì äåðåâîì áóäåì íàçûâàòü äåðåâî ñ1 è 3, à ãðàíèöà ñîâïàäàåò ñ ìíî-ãðàíèöåé, âåðøèíû êîòîðîãî èìåþò ñòåïåíè1.
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü âñåâîçìîæíûå áèíàðíûå äåGi = (Z, Ei ) ñ îäíèì è òåì æå ìíîæåñòâîì âåðøèí Z = {1, 2, . . . , 2n − 2},M = {1, 2, . . . , n} ⊂ Z ìíîæåñòâî ãðàíè÷íûõ âåðøèí (ñòåïåíè 1) êàæäîãî èç ðàññìàòðèâàåìûõ äåðåâüåâ. Ïóñòü (X, ρt ) ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâîïðè êàæäîì t ∈ [0, 1], ϕ : M → X ôèêñèðîâàííîå ãðàíè÷íîå îòîáðàæåíèå,à {v1 , . .
. , vn } ⊂ X, vi = ϕ(i), i = 1, . . . , n, åãî îáðàç. Ñåòüþ Γ òèïà Gi ñãðàíèöåé ϕ áóäåì íàçûâàòü ïàðó (Gi , f : Z → X) òàêóþ, ÷òî f |M = ϕ (òèïæåñòâîì âåðøèí ñòåïåíèðåâüÿ10 ýòî áèíàðíîå äåðåâî ñ äàííûì ìíîæåñòâîì âåðøèí). Äëÿ ñåòèsi = f (n + i), i = 1, ..., n − 2,Γ ïîëîæåíèÿ åå âíóòðåííèõ âåðøèí.ïîëàãàåìÇàìåòèì,G1 , G2 , .
. . , Gm . Áóäåì íàçûΓ = (Gi , f ) ðåàëèçàöèåé áèíàðíîãî Päåðåâà Gi . Îïðåäåëèì äëèíóρt (Γ) ñåòè Γ = (Gi , f ) â ìåòðèêå ρt : ρt (Γ) =vw∈E ρt f (v), f (w) ñóììàðàññòîÿíèé ìåæäó îáðàçàìè ñìåæíûõ âåðøèí. Çàìåòèì, ÷òî äëèíà ρt (Γ) ñåòè Γ ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé îò îáðàçîâ âåðøèí, ïàðàìåòðà t ∈ [0, 1], è òèïà Gi :ρt (Γ) = l(t, v1 , . . . , vn , s1 , . . . , sn−2 , Gi ) (äëÿ óäîáñòâà èçëîæåíèÿ, ìû îòîæäå-÷òî ìíîæåñòâî òèïîâ êîíå÷íî îáîçíà÷èì èõâàòü ñåòüñòâèì âåðøèíû ãðàôà G è èõ îáðàçû ïðè ðåàëèçàöèè).Ïåðåïèøåì âåëè÷è-l(t, v1 , .
. . , vn , s1 , . . . , sn−2 , G) â âèäå l(t, V, S, G), ãäå S = (s1 , . . . , sn−2 ), V =(v1 , . . . , vn ). Ïóñòü ltmin (V, G) = inf S∈X n−2 l(t, V, S, G) òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíüäëèí òàêèõ ñåòåé îòíîñèòåëüíî ìåòðèêè ρt . Òàì, ãäå ãðàíè÷íûå âåðøèíû áómin(V, G) áóäåì çàïèñûâàòü â âèäåäåì ñ÷èòàòü ôèêñèðîâàííûìè, âåëè÷èíó ltminlt (G).íóÏóñòü X è Y ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà, Y êîìïàêòíî, à f : X × Y → R íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ.
Òîãäà ôóíêöèè g(x) =inf y∈Y f (x, y) è h(x) = supy∈Y f (x, y) íåïðåðûâíû.Óòâåðæäåíèå 3.g(x) ðàçðûâíà â òî÷êå x∗ . Ðàññìîòðèì∗ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xi ∈ X, i ∈ N, xi → x ïðè i → ∞, òàêóþ, ÷òî äëÿ íåêî∗òîðîãî ε > 0 âûïîëíåíî |g(xi ) − g(x )| > ε äëÿ ëþáîãî i ∈ N. Äàëåå, â ñèëó∗êîìïàêòíîñòè Y , ðàññìîòðèì òî÷êó y ∈ Y è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü yi ∈ Y, i ∈ N,∗∗ ∗òàêèå, ÷òî g(x ) = f (x , y ) è g(xi ) = f (xi , yi ), è â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè yi , i ∈ N,0âûäåëèì ñõîäÿùóþñÿ ê íåêîòîðîé òî÷êå y ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü (áåç îãðà0íè÷åíèÿ îáùíîñòè, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî yi → y ïðè i → ∞). Òàêèì îáðà∗ 0∗ ∗∗∗ ∗çîì, |f (x , y ) − f (x , y )| > ε, à â ñèëó òîãî, ÷òî g(x ) = f (x , y ), èìååìf (x∗ , y 0 ) > f (x∗ , y ∗ ) + ε, ñëåäîâàòåëüíî, ïðè i > I1 äëÿ íåêîòîðîãî I1 ∈ N∗ ∗âûïîëíåíî f (xi , yi ) > f (x , y ) + ε/2.
Ïðè ýòîì, ïðè i > I2 äëÿ íåêîòîðîãî∗I2 ∈ N âûïîëíåíî f (xi , y ) < f (x∗ , y ∗ ) + ε/2.  èòîãå, ïðè i > max(I1 , I2 ) âû∗ïîëíÿåòñÿ f (xi , y ) < f (xi , yi ), ÷òî ïðîòèâîðå÷èò âûáîðó yi . Òàêèì îáðàçîì,g(x) íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ.
Àíàëîãè÷íî ïîêàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîñòü h(x).Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ôóíêöèÿÒåîðåìà 4. Ïóñòü ρt íåïðåðûâíîå ñåìåéñòâî ìåòðèê íà X (äëÿ ëþáûõx, y ∈ X ôóíêöèÿ ρt (x, y) íåïðåðûâíà ïî t ∈ [0, 1]). Ïóñòü ïðè âñåõ t ïðîñòðàíñòâî (X, ρt ) îãðàíè÷åííî êîìïàêòíî.
Òîãäà äëèíà êàæäîé ìèíèìàëüíîéïàðàìåòðè÷åñêîé ñåòè ltmin (V, G) íåïðåðûâíî çàâèñèò îò t.l(t, V, S, G) íåïðåðûâíà ïî ïåltmin (V, G) = inf S∈X n−2 l(t, V, S, G),â ñèëó òîãî, ÷òî X îãðàíè÷åííîÄîêàçàòåëüñòâî. Èç óñëîâèÿ ñëåäóåò, ÷òîðåìåííûìV, Sè ïî ïåðåìåíîét.Ïðè ýòîìè äàííàÿ òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü äîñòèãàåòñÿêîìïàêòíî ïðè âñåõt ∈ [0, 1].Èñêîìûé ðåçóëüòàò ñëåäóåò èç óòâåðæäåíèÿ 3. äàëüíåéøåì áóäåì ðàññìàòðèâàòü ãëàäêîå ñâÿçíîå ïîëíîå ðèìàíîâî ìíîãîîáðàçèåïîtMkñåìåéñòâîðàçìåðíîñòèds2tk.Ðàññìîòðèì îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå íåïðåðûâíîåðèìàíîâûõ ìåòðèê íàMk , t ∈ [0, 1],ðàññìàòðèâàåìîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì. ×åðåçáóäåì îáîçíà÷àòü ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìèêèds2t .tρt (A, B)òàêîå, ÷òî ïðè ëþáîìA, B ∈ Mkîòíîñèòåëüíî ìåòðè-Èç ïðåäûäóùèõ ðåçóëüòàòîâ (óòâåðæäåíèÿ 1 è òåîðåìû 3) ñëåäóåò,÷òî äëèíàρt (A, B)lt (γ)ëþáîé êóñî÷íî-ãëàäêîé ñïðÿìëÿåìîé êðèâîéçàâèñÿò îòtíåïðåðûâíî.γè ðàññòîÿíèåÒàêèì îáðàçîì, èç ïðåäûäóùåé òåîðåìûâûòåêàåò ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò.Ñëåäñòâèå 2.
Âåëè÷èíàltmin (V, G)íåïðåðûâíî çàâèñèò îòtâ ñëó÷àå ïîë-íîãî ðèìàíîâà ìíîãîîáðàçèÿ.Óòâåðæäåíèå 4. Ïóñòü lc (t, S, G) äëèíà ðåàëèçàöèè ãðàôà G îòíîñèminòåëüíî ìåòðèêè c2 ·ds2t , c > 0. Îáîçíà÷èì lc,t(G) = inf S∈M n−2 lc (t, S, G). Òîãäàkminminlc,t (G) = c · lt (G).Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëèγ(t) : [a, b] → Mk êóñî÷íî-ãëàäêàÿ êðèâàÿ, à lc,t (γ)c2 · ds2t , òî åå äëèíà îòíîñèòåëüíî ìåòðèêèZbc|γ̇(t)|ds2t dt = c · lt (γ).lc,t (γ) =aÏðè ýòîì, ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè ýòî òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü äëèí êóñî÷íî-ãëàäêèõêðèâûõ, ñîåäèíÿþùèõ ýòè òî÷êè, à äëèíà ðåàëèçàöèè ãðàôà ýòî ñóììà ðàññòîÿíèé ìåæäó îïðåäåëåííûìè âåðøèíàìè, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òîc · l(t, S, G).minlc,t(G) =infS∈Mkn−2lc (t, S, G) =infS∈Mkn−2minÈç ÷åãî ñëåäóåò òðåáóåìîå ðàâåíñòâî lc,tÎáîçíà÷èì ÷åðåçðèêèlc (t, S, G) =Òàêèì îáðàçîì,dt (D)c · l(t, S, G) = c · ltmin (G),(G) = c · ltmin (G).äèàìåòð ïîäìíîæåñòâàD ⊂ Mkîòíîñèòåëüíî ìåò-ds2t .Óòâåðæäåíèå 5.âèñèò îò t.Åñëè D êîìïàêò, òî âåëè÷èíà dt (D) íåïðåðûâíî çà-Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïî îïðåäåëåíèþ dt (D) = supx,y∈D {ρt (x, y)}. Ïðè ýòîì,ρt (x, y) íåïðåðûâíà ïî ñîâîêóïíîñòè ñâîèõ ïåðåìåííûõ.  ñèëó êîìïàêòíîñòèD òðåáóåìîå âûòåêàåò èç óòâåðæäåíèÿ 3.dmax (D) = maxt∈[0,1] dt (D),ìàêñèìàëüíûì äèàìåòðîì êîìïàêòà D.Òàêèì îáðàçîì, êîððåêòíî îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíàêîòîðóþ áóäåì íàçûâàòüÓòâåðæäåíèå 6. Ïóñòü D ⊂ Mk , D êîìïàêò. Òîãäà äëÿ ôèêñèðîâàííûõ t, t0 ∈ [0, 1] ñóùåñòâóåò C > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáûõ òî÷åê x, y ∈ Dâûïîëíåíî ρt (x, y) < Cρt0 (x, y).Äîêàçàòåëüñòâî. Èçâåñòíî, ÷òî ìåòðèêèρt0èρtçàäàþò îäíó è òó æå òî-ïîëîãèþ. Ýòî çíà÷èò, ÷òî áèåêòèâíîå îòîáðàæåíèå ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâf : (D, ρt0 ) → (D, ρt ),ïåðåâîäÿùåå âñå òî÷êè â ñåáÿ, ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì.Äåéñòâèòåëüíî, ïðîîáðàç îòêðûòîãî îòíîñèòåëüíîíîñèòåëüíîρt0 ,òàê êàê ñîâïàäàåò ñU.Ïîñêîëüêóf ÿâëÿåòñÿ C−ëèïøèöåâûì äëÿ íåêîòîðîéCρt0 (x, y) äëÿ ëþáûõ òî÷åê x, y ∈ D.íèå12ρtDìíîæåñòâàUîòêðûò îò- êîìïàêò, òî îòîáðàæå-êîíñòàíòûC,òî åñòüρt (x, y) <Óòâåðæäåíèå 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
