Минимальные деревья Штейнера в малых окрестностях точек римановых многообразий (848703), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Ïóñòü D ⊂ Mk , D êîìïàêò, X ∈ D . Òîãäà äëÿ çàäàííîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò êîìïàêò D0 , ñîäåðæàùèé òî÷êó X è ëåæàùèé â D,òàêîé, ÷òî dmax (D0 ) < ε.t0 ∈ [0, 1].  ñîîòâåòñòâèè ñ óòâåðæäåíèt ∈ [0, 1] íàéäåòñÿ C > 0 òàêîå, ÷òî ρt (x, y) < Cρt0 (x, y) äëÿëþáûõ òî÷åê x, y ∈ D . Ïóñòü Br êîìïàêòíûé øàð ðàäèóñà r ñ öåíòðîì â òî÷êå X îòíîñèòåëüíî ìåòðèêè ρt0 , ëåæàùèé â D . Çàìåòèì, ÷òî dt (Br ) 6 Cdt0 (Br ),εñëåäîâàòåëüíî, âûáðàâ r òàêèì, ÷òîáû dt0 (Br ) <2C , ïîëó÷èì, ÷òî dt (Br ) < ε.0Òàêèì îáðàçîì, äëÿ êàæäîãî t ∈ [0, 1] ñóùåñòâóåò êîìïàêò Dt0 , ñîäåðæàùèéòî÷êó X è ëåæàùèé â D , äëÿ êîòîðîãî âûïîëíåíî dt0 (Dt0 ) < ε.
Ñëåäîâàòåëüíî,0â ñèëó íåïðåðûâíîñòè dt (Dt0 ) ïî ïåðåìåííîé t, ó êàæäîãî t ñóùåñòâóåò îêðåñò00íîñòü U (t ) ⊂ [0, 1] òàêàÿ, ÷òî ïðè t ∈ U (t ) âûïîëíåíî dt (Dt0 ) < ε.  ñèëóêîìïàêòíîñòè îòðåçêà [0, 1] âûäåëèì åãî êîíå÷íîå ïîêðûòèå ýòèìè îêðåñòíîñòÿìè U1 , . . . , Ul . Ïåðåñå÷åíèå ñîîòâåòñòâóþùèõ ýòèì îêðåñòíîñòÿì êîìïàêòîâD1 , . .
. , Dl ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòîì, ñîäåðæàùèì òî÷êó X . Íàçîâåì åãî D0 . Êàæäîå t ïðèíàäëåæèò íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè Ui èç êîíå÷íîãî ïîêðûòèÿ îòðåçêà,à, çíà÷èò, dt (D0 ) 6 dt (Di ) < ε. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ëþáîãî t ∈ [0, 1] äèàìåòðdt (D0 ) < ε, èç ÷åãî ñëåäóåò, ÷òî dmax (D0 ) < ε.Äîêàçàòåëüñòâî. Çàôèêñèðóåìåì 6 äëÿ íåêîòîðîãî 5. Òèïû ìèíèìàëüíûõ äåðåâüåâ Øòåéíåðà âìàëûõ îêðåñòíîñòÿõ òî÷åê ðèìàíîâûõ ìíîãîîáðàçèéO ∈ Mk è x1 , . .
. , xk ëîêàëüíûå êîîðäèíàòû â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè W òî÷êè O , òàêèå, ÷òî O = (0, . . . , 0), è â ýòèõ êîîðäèíàòàõ ìíîæåñòâî W k21çâåçäíî, ò.å. äëÿ ëþáîé òî÷êè (x∗ , x∗ , . . . , x∗ ) ∈ W è äëÿ ëþáîãî C ∈ [0, 1] òî÷êàk21(C x∗ , C x∗ , . . . , C x∗ ) êîððåêòíî îïðåäåëåíà è ëåæèò â W . Ïóñòü ìåòðèêà ìíî2ãîîáðàçèÿ ds1 , çàäàííàÿ íà êàðòå W , â äàííûõ êîîðäèíàòàõ çàäàåòñÿ ìàòðèöåé112gij (x , x , . .
. , xk ). Ïóñòü òàêæå â êàðòå W çàäàíû n ãðàíè÷íûõ òî÷åê.2Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé êîìïàêòíûé øàð D îòíîñèòåëüíî ìåòðèêè ds1 cöåíòðîì â O , ñîäåðæàùèéñÿ â W . Ïóñòü S åãî ãðàíèöà, êîòîðàÿ, â ñâîþ0î÷åðåäü, òîæå ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòîì. Äëÿ êîìïàêòà D , ñîäåðæàùåãîñÿ â D ,00ðàññìîòðèì âåëè÷èíó L(D ) = inf{dt (x, y)x ∈ D , y ∈ S, t ∈ [0, 1]}. Çàìåòèì,0÷òî åñëè D1 ⊂ D2 , òî L(D1 ) > L(D2 ). Ðàññìîòðèì íåêîòîðûé êîìïàêò D , äëÿ0êîòîðîãî L(D ) > 0.
Èç óòâåðæäåíèÿ 7 ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò êîìïàêò D0 ,00âëîæåííûé â D , òàêîé, ÷òî (n − 1)dmax (D0 ) < L(D ) 6 L(D0 ). Ïóñòü äàííûån ãðàíè÷íûõ òî÷åê ëåæàò â D0 .ÏóñòüÇàìåòèì, ÷òî äëèíà ëþáîãî ìèíèìàëüíîãî îñòîâíîãî äåðåâà, ñîåäèíÿþùåãîäàííóþ ãðàíèöó, îòíîñèòåëüíî ëþáîé ìåòðèêè ñåìåéñòâàâîñõîäèò(n − 1)dmax (D0 ),ds2t , t ∈ [0, 1]íå ïðå-ïðè ýòîì äëèíà ëþáîé ñåòè, ñîåäèíÿþùåé äàííóþãðàíèöó è âûõîäÿùåé çà ïðåäåëûD,áîëüøåL(D0 ).Òàêèì îáðàçîì, êðàò÷àé-øèå ñåòè, ñîåäèíÿþùåãî äàííóþ ãðàíèöó, ñîäåðæàòñÿ ñðåäè ñåòåé, ëåæàùèõïîëíîñòüþ âD.Ýòî çàêëþ÷åíèå ïîçâîëÿåò â äàëüíåéøåì ïåðåéòè ê ðàññìîò-ðåíèþ ñåòåé, ïîëíîñòüþ ëåæàøèõ â êàðòåðåìû 5 â êîîðäèíàòàõ ýòîé êàðòû.W,è ïðîâåñòè äîêàçàòåëüñòâî òåî-Ðàññìîòðèì íàWåâêëèäîâó ìåòðèêó. ßñíî, ÷òî äëÿ åâêëèäîâîé ìåòðèêèïðè ïðåîáðàçîâàíèè ïîäîáèÿ ãðàíèöû òèïû ìèíèìàëüíûõ äåðåâüåâ Øòåéíåðàíå ìåíÿþòñÿ.
Ïóñòü ìèíèìàëüíûå äåðåâüÿ Øòåéíåðà äëÿ äàííîé ãðàíèöû â åâ-G1 , . . . , Gp èõ òèïû (èõ ìîæåò áûòü íåñêîëüêî).Îïåðàöèåé ñæàòèÿ â C ðàç íàçîâåì èçìåíåíèå äàííîé ãðàíèöû, òî÷êè êîòî12kðîé èìåëè êîîðäèíàòû (xi , xi , . . . , xi ), i = 1, . . . , n, íà ãðàíèöó, òî÷êè êîòîðîé12kèìåþò êîîðäèíàòû (xi , xi , .
. . xi )/C, i = 1, . . . , n.êëèäîâîé ìåòðèêå èçâåñòíû, àÒåîðåìà 5. Ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü U òî÷êè O òàêàÿ, ÷òî äëÿ êàæäîãî ãðàíè÷íîãî ìíîæåñòâà èç n òî÷åê, ñîäåðæàùåãîñÿ â U , íàéäåòñÿ C0 > 0òàêîå, ÷òî äëÿ ýòîãî ãðàíè÷íîãî ìíîæåñòâà, ñæàòîãî â C ðàç ïðè êàæäîìC > C0 , òèïû ìèíèìàëüíûõ äåðåâüåâ Øòåéíåðà îòíîñèòåëüíî ìåòðèêè ds21ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó {G1 , . . . , Gp }.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü îêðåñòíîñòüåííîãî âûøå êîìïàêòàD0 .Uñîâïàäàåò ñ âíóòðåííîñòüþ ïîñòðî-Ðàññìîòðèì íåïðåðûâíóþ ïîtãîìîòîïèþ ìåòðèêèt1gij(x1 , x2 , . . . , xk ) = gij(tx1 , tx2 , .
. . , txk ), t ∈ [0, 1].Ïðèt=1 ýòî èñõîäíàÿ ìåòðèêàñÿ ïîñòîÿííîé ìàòðèöåéO.ÌàòðèöàQ0Q0 ,ds21 .Ìåòðèêà0gij(x1 , x2 , . . . , xk )(5.1)çàäàåò-ðàâíîé ìàòðèöå ìåòðèêè ìíîãîîáðàçèÿ â òî÷êå ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ, ñèììåòðè÷åñêàÿ, íåâûðîæ-0gij(x1 , x2 , . . . , xk ) åâêëèäîâà. Òàêèì îáðàçîì, âðàññìàòðèâàåìîé ìåòðèêå, ïðè t = 0, G1 , . . . , Gp òèïû ìèíèìàëüíûõ äåðåâüåâäåííàÿ, à, çíà÷èò, ìåòðèêàØòåéíåðà äëÿ äàííîé ãðàíèöû.
 ðåçóëüòàòå, äëÿ äàííîé ãðàíèöû âûïîëíåíîl0min (G1 ) = l0min (G2 ) = . . . l0min (Gp ) < l0min (G0 ),G0 ,îòëè÷íîãî îò G1 , . . . , Gp .ltmin (G) íåïðåðûâíà ïî t, òî ñóùåñòâóåò t0 > 0 òàêîå, ÷òîp0ïðè t < t0 , ïðè êàæäîì i = 1, . . .
, p, è êàæäîì áèíàðíîì òèïå G 6∈ {Gi }i=10minmin(Gi ) < lt (G ), òàê êàê òàêèõ áèíàðíûõ òèïîâ êîíå÷íîåâûïîëíÿåòñÿ ltäëÿ ëþáîãî òèïàÒàê êàê ôóíêöèÿêîëè÷åñòâî.ÏîëîæèìC0 = 1/t0 .Ïîêàæåì, ÷òî ïðèC > C0äëÿ äàííîé ãðàíèöû, ñæàòîéâ C ðàç, âûïîëíåíî óòâåðæäåíèå òåîðåìû. Ïîëîæèì t = 1/C è çàìåòèì, ÷òît = 1/C < 1/C0 = t0 .12kÏóñòü (xi , xi , . . . , xi ), i = 1, . . . , n, êîîðäèíàòû òî÷åê èñõîäíîé ãðàíèöû.12kßñíî, ÷òî (xi , xi , . .
. xi )/C, i = 1, . . . , n, êîîðäèíàòû òî÷åê ñæàòîé ãðàíèöû.12kjjÂâåäåì íîâûå êîîðäèíàòû (u , u , . . . , u ) : u = C x , j = 1, . . . , k.Çàìåòèì, ÷òî â íîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàòû òî÷åê ñæàòîé ãðàíèöû ðàâíû(u1i , u2i , . . . , uki ) = (C · x1i , C · x2i , . .
. , C · xki )/C = (x1i , x2i , . . . , xki ),à ìåòðèêàíîâûõ êîîðäèíàòàõ ïðèìåò âèäds21 =kXgi1j (x) dxi dxj = t2i,j=1= t2kXgi1j (t u) dui duj =i,j=1kXtgij(u) dui duj = t2 ds2t .i,j=114ds21âòî åñòü ñîâïàäåò ñ ìåòðèêîét2 ·ds2t .Èòàê, â íîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ìû èìååìãðàíèöó ñ èñõîäíûìè êîîðäèíàòàìè è ìåòðèêóîòìå÷åíî ðàíåå, äëÿ ýòîé ãðàíèöû ïðè òàêèõtltmin (Gi ) < ltmin (G0 ), i = 1, . .
. , p,t2 · ds2tòîãäà ïðèa · ltmin (Gi ) < a · ltmin (G0 ), i = 1, . . . , p, ÷òîminla,t(Gi )<minla,t(G0 ),i = 1, . . . , p,ïðèïðèt < t0 .Êàê áûëîâûïîëíåíîa > 0,a>0ðàâíîñèëüíîâ ÷àñòíîñòè, ïðèa = t.Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî â ñòàðîé ñèñòåìå êîîðäèíàò äëÿ ñæàòîé ãðàíèöû è ìåòðèêèds21âûïîëíåíîl1min (Gi ) < l1min (G0 ), i = 1, . . . , p,òàê êàê ýòî îäíî è òî æå ñîîòíîøåíèå, çàïèñàííîå â ðàçíûõ ñèñòåìàõ êîîðäèíàò.Çíà÷èò, ïðèC > C0Ïóñòüds20 åâêëèäîâà ìåòðèêà â êàðòåW, à F ñåìåéñòâî ãðàíè÷íûõ ìíî-n-òî÷å÷íîé ãðàíèO = (0, .
. . , 0) è ãîìîòåòèÿìè1k2ñ öåíòðîì â O â êîîðäèíàòàõ x , . . . , x , îòíîñèòåëüíî ìåòðèêè ds0 (âñå ãðàíèöûèç F ïîäîáíû îòíîñèòåëüíî åâêëèäîâîé ìåòðèêè).æåñòâ, ëåæàùèõ â êàðòåöûB0W,C ðàç, òèïû{G1 , . . . , Gp }.äëÿ äàííîé ãðàíèöû, ñæàòîé âìèíèìàëüíûõ äåðåâüåâ Øòåéíåðà ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâóïîëó÷åííûõ èç ôèêñèðîâàííîéâñåâîçìîæíûìè âðàùåíèÿìè âîêðóã òî÷êèÒåîðåìà 6. Ñóùåñòâóåò òàêàÿ îêðåñòíîñòü U òî÷êè O , ÷òî äëÿ ëþáîéãðàíèöû B ⊂ U, B ∈ F , ìíîæåñòâî òèïîâ êðàò÷àéøèõ (â ìåòðèêå ìíîãîîáðàçèÿ)äåðåâüåâ, ñîåäèíÿþùèõ B , ñîäåðæèòñÿ ñðåäè òèïîâ êðàò÷àéøèõ (â åâêëèäîâîé ìåòðèêå) äåðåâüåâ, ñîåäèíÿþùèõ ìíîæåñòâî B ∈ F â åâêëèäîâîé ìåòðèêå.Ïóñòü D ⊂ W ds20 , à F0 ⊂ F ñåìåéñòâî ãðàíè÷íûõ ìíîæåñòâ â W , ïîëó÷åííûõ èç ãðàíèöû B0 âñåâîçìîæíûìè2âðàùåíèÿìè âîêðóã òî÷êè O îòíîñèòåëüíî ìåòðèêè ds0 . Ïóñòü Ω ìíîæåñòâî2òèïîâ êðàò÷àéøèõ äåðåâüåâ, ñîåäèíÿþùèõ B0 â ìåòðèêå ds0 .
Ìîæåì ñ÷èòàòü,nn÷òî B0 ∈ D (à, çíà÷èò, è B ∈ D äëÿ ëþáîãî B ∈ F0 ). Òàêèì îáðàçîì, â ñèëóminðàâíîìåðíîé íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè lt(V, G) íà êîìïàêòå [0, 1]×Dn , äëÿ çàäàííîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò δ0 > 0 òàêîå, ÷òî ïðè |t| < δ0 âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî minlt (V, G) − l0min (V, G)< ε äëÿ ëþáîãî òèïà G è ëþáîé ãðàíèöû V = B, B ∈ F0(òàê êàê áèíàðíûõ òèïîâ G êîíå÷íîå êîëè÷åñòâî). Çàìåòèì, ÷òî Ω ìíîæåÄîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ãîìîòîïèþ ìåòðèêè 5.1.çàìêíóòûé øàð ñ öåíòðîì â íóëå îòíîñèòåëüíî ìåòðèêèñòâî òèïîâ êðàò÷àéøèõ äåðåâüåâ (â åâêëèäîâîé ìåòðèêå), ñîåäèíÿþùèõ ãðàíèöóBäëÿ ëþáîéB ∈ F,à äëèíû ìèíèìàëüíûõ ïàðàìåòðè÷åñêèõ ñåòåé îäíîãîB ∈ F0 ðàâíû.
Ïóñòüε0 = minG∈Ω, G0 6∈Ω l0min (B 0 , G0 )−l0min (B 0 , G). Âûáåðåì ε = ε0 /3, òîãäà äëÿ ñîîò2âåòñòâóþùåãî δ > 0 ïðè |t| < δ ïîëó÷èì, ÷òî â ìåòðèêå dst äëÿ ëþáîé ãðàíèöûB ∈ F0 , ìíîæåñòâî òèïîâ êðàò÷àéøèõ äåðåâüåâ, ñîåäèíÿþùèõ B , ñîäåðæèòñÿ âΩ. Òîãäà, ñîãëàñíî òåîðåìå 5, äëÿ êàæäîé ãðàíèöû B ∈ F0 , ñæàòîé â C ðàç ïðèC > C0 = 1/δ , òèïû ìèíèìàëüíûõ äåðåâüåâ Øòåéíåðà (îòíîñèòåëüíî ìåòðèêèds21 ) ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó Ω. Ýòî è îçíà÷àåò ñóùåñòâîâàíèå îêðåñòíîñòèè òîãî æå òèïà (â åâêëèäîâîé ìåòðèêå) äëÿ âñåõ ãðàíèöUòî÷êèOB ⊂ U, B ∈ F , ìíîæåñòâî òèïîâB , ñîäåðæèòñÿ ñðåäè òèïîâ êðàò÷àéøèõB ∈ F â åâêëèäîâîé ìåòðèêå.òàêîé, ÷òî äëÿ ëþáîé ãðàíèöûêðàò÷àéøèõ äåðåâüåâ, ñîåäèíÿþùèõäåðåâüåâ, ñîåäèíÿþùèõ ìíîæåñòâî 6. Ìèíèìàëüíûå äåðåâüÿ Øòåéíåðà äëÿ ïðàâèëüíûõìíîãîóãîëüíèêîâ íà ðèìàíîâûõ ìíîãîîáðàçèÿõÐàññìîòðèì êàñàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî ê ìíîãîîáðàçèþáåðåì â íåì äâóìåðíóþ ïëîñêîñòüíîãîn-óãîëüíèêàΠ.Mkâ òî÷êåOè âû-Îïðåäåëèì ìíîæåñòâî âåðøèí ïðàâèëü-O íà ìíîãîîáðàçèè Mk êàê îáðàç ìíîæåñòâàn-óãîëüíèêà ñ öåíòðîì â O, ëåæàùåãî â ïëîñêîñòè Π,ñ öåíòðîì ââåðøèí ïðàâèëüíîãîïðè ýêñïîíåíöèàëüíîì îòîáðàæåíèè (òàêèì îáðàçîì, ìû îïðåäåëÿåì ïðàâèëüíûé ìíîãîóãîëüíèê íà ìíîãîîáðàçèè ëèøü â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êèO;ýêñïîíåíöèàëüíîå îòîáðàæåíèå ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü â ýòîé îêðåñòíîñòèåâêëèäîâó ìåòðèêó).Ðàäèóñîìïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà íà ìíîãîîáðàçèèáóäåì íàçûâàòü ðàññòîÿíèå îò ëþáîé åãî âåðøèíû äî åãî öåíòðà.ÏóñòüOA1 , A2 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
