Минимальные деревья Штейнера в малых окрестностях точек римановых многообразий (848703), страница 2
Текст из файла (страница 2)
1).t0 ∈ [0, 1] ìû ïîëó÷àåì êîíå÷íóþ âíóòðåííþþX : ρt (C, D) = inf γ lt (γ), ãäå òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü áåðåòñÿ ïî âñåìγ , ñîåäèíÿþùèì C è D, ëåæàùèì â X (çàìåòèì, ÷òî â ýòîé ìåòðèêåÒàêèì îáðàçîì, ïðè êàæäîììåòðèêó íàêðèâûìäëèíû êðèâûõ â òî÷íîñòè òàêèå, êàêèìè ìû èõ îïðåäåëèëè èçíà÷àëüíî). Ïðèýòîì, äëèíû êðèâûõ íåïðåðûâíî çàâèñÿò îòÐèñ. 1.t.Ïðèìåð: íåâûïîëíåíèå óñëîâèÿ (∗) ïðè íàëè÷èè îñòàëüíûõ óñëîâèé.Ðàññìîòðèìa = 2, ε = 1/4, t0 = 0.Òîãäà â ëþáîéδ -îêðåñòíîñòè t0íàéäåòñÿtδ = π/m (ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì m ∈ N) òàêîå, ÷òî â ìåòðèêå ρtδ äëèíàêðèâîé γm ðàâíà ltδ (γm ) = 2 + cos(tδ m) = 1 6 2 = a, â òî âðåìÿ êàê â ìåòðèêåρt0 åå äëèíà ðàâíà lt0 (γm ) = 2 + cos(t0 m) = 3 > 5/2 = (1 + ε)a.
Ýòî îçíà÷àåò,÷òî γm ∈ Fa,tδ , íî γm 6∈ F(1+ε)a,t0 , òî åñòü ñóùåñòâóþò ñêîëü óãîäíî áëèçêèå êt0 ÷èñëà tδ òàêèå, ÷òî Fa,tδ 6⊂ F(1+ε)a,t0 óñëîâèå (∗) íå âûïîëíåíî.Ïîêàæåì, ÷òî ðàññòîÿíèå ρt (A, B) ìåæäó òî÷êàìè A è B ðàçðûâíî ïî t âíóëå. Äåéñòâèòåëüíî, ρ0 (A, B) = 3, òàê êàê l0 (γk ) = 3 äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãîk , íî äëÿ êàæäîãî t ∈ (0, 1] íàéäåòñÿ k ∈ N òàêîå, ÷òî cos(tk) < 0, à çíà÷èòρt (A, B) 6 lt (γk ) = 2 + cos(tk) < 2.Òåïåðü ðàññìîòðèì ìíîæåñòâîðàññòîÿíèåXè ñåìåéñòâî ìåòðèêρtBíà íåì òàêîå, ÷òîρt (A, B) ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ òî÷êàìè A èíåïðåðûâíî çàâèt ∈ [0, 1].
Ïðîàíàëèçèðóåì íåîáõîäèìîñòü îãðàíè÷åíèé íàñèò îò ïàðàìåòðàìåòðèêè.Çàìå÷àíèå 2.1)Ïðè ðàçíûõtìåòðèêèρtìîãóò îïðåäåëÿòü ðàçëè÷íûåòîïîëîãèè.2)Äàííîå îòîáðàæåíèåγ : [a, b] → Xìîæåò áûòü íåïðåðûâíûì ïðè îäíèõtè ðàçðûâíûì ïðè äðóãèõ.3) Ìåòðèêà ρt ìîæåò áûòü âíóòðåííåé ïðè îäíèõ t è íå áûòü ïðè äðóãèõ.4) Ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî (X, ρt ) ìîæåò áûòü ëèíåéíî ñâÿçíûì ïðè îäíèõtè íå áûòü òàêîâûì ïðè äðóãèõ.Ïðèìåð.ρ0 åâêëèäîâà ìåòðèêà íà íåé, ρ1 (A, B) = 1äëÿ ëþáûõ íåðàâíûõ A, B ∈ X , à ρt = tρ1 + (1 − t)ρ0 .
ßñíî, ÷òî ρt ìåòðèêà, è ρt (A, B) ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ òî÷êàìè A è B íåïðåðûâíî çàâèñèòîò ïàðàìåòðà t. Îäíàêî, ìåòðè÷åñêàÿ òîïîëîãèÿ, ïîðîæäåííàÿ ρ1 , äèñêðåòíà,ÏóñòüX ïëîñêîñòü,6à ïîðîæäåííàÿìåòðèêèρ0 )ρ0 íåò.Ôóíêöèÿîòîáðàæàþùàÿ îòðåçîêÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé îòíîñèòåëüíîγ : [a, b] → X , íåïðåðûâíî (îòíîñèòåëüíî[a, b] â íåêîòîðûé îòðåçîê ïëîñêîñòè, íåìåòðèêè ρ1 : â ýòîé ìåòðèêå îäíîòî÷å÷íîåìíîæåñòâî îòêðûòî, íî åãî ïðîîáðàç îòêðûòûì íå ÿâëÿåòñÿ.ðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâîìåòðèêàρ1(X, ρ0 )ßñíî, ÷òî ìåò- ëèíåéíî ñâÿçíîå ñî âíóòðåííåé ìåòðèêîé.
Íîíå ÿâëÿåòñÿ âíóòðåííåé, à ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâîíåéíî ñâÿçíûì, òàê êàê îòíîñèòåëüíî ìåòðèêèρ1(X, ρ1 ) ëè-íå ñóùåñòâóåò êðèâûõ âX,ñîåäèíÿþùèõ ðàçëè÷íûå òî÷êè.Ïóñòü (X, ||·||t ) êîíå÷íîìåðíîå íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî ïðè ëþáîì t ∈[0, 1], à íîðìà ||x||t ëþáîãî ýëåìåíòà x ∈ X íåïðåðûâíî çàâèñèò îò t. Ðàññòîÿíèåìåæäó ýëåìåíòàìè îïðåäåëÿåòñÿ êàê íîðìà èõ ðàçíîñòè: ρt (A, B) = ||A − B||t .ßñíî, ÷òî âñå ìåòðèêè ρt çàäàþò îäíó òîïîëîãèþ.  ýòîì ñëó÷àå äëèíû êðèâûõíåïðåðûâíî çàâèñÿò îò t.Òåîðåìà 2.
Ïóñòü γ : [a, b] → X êðèâàÿ. Òîãäà åå äëèíà êîíå÷íà èëèáåñêîíå÷íà îäíîâðåìåííî ïî îòíîøåíèþ êî âñåì ìåòðèêàì ñåìåéñòâà. Áîëååòîãî, åñëè äëèíà lt (γ) êðèâîé γ îòíîñèòåëüíî ìåòðèêè ρt êîíå÷íà, òî ýòàäëèíà íåïðåðûâíî çàâèñèò îò t.Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì åäèíè÷íóþ ñôåðóêîìïàêòíà, òàê êàê ïðîñòðàíñòâîîïðåäåëåííóþ íàXS0â ìåòðèêåρt0 .Îíà êîíå÷íîìåðíîå.
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ,X \ 0 × [0, 1]:f (x, t) =||x||t.||x||t0S0 × [0, 1], à, çíà÷èò, ïðèíèìàåò íà íåì íàèìåíüÏóñòü m = min f (x, t) | x ∈ S0 , t ∈ [0, 1]èM = max f (x, t) | x ∈ S0 , t ∈ [0, 1] . Òàêèì îáðàçîì, äëÿ x ∈ S0 è t ∈ [0, 1] âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî m||x||t0 6 ||x||t 6 M ||x||t0 . Ïîëîæèòåëüíàÿ îäíîðîäíîñòüðàñïðîñòðàíÿåò ýòî íåðàâåíñòâî íà âñå ïðîñòðàíñòâî. Òàê êàê äëèíà êðèâîé γÎíà íåïðåðûâíà íà êîìïàêòåøåå è íàèáîëüøåå çíà÷åíèÿ.åñòü òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü äëèí âïèñàííûõ â íåå ëîìàíûõ, à äëèíà ëîìàíîéåñòü ñóììà ðàññòîÿíèé, òî äëÿ äëèíû êðèâîéíåðàâåíñòâî:âîéγm lt0 (γ) 6 lt (γ) 6 M lt0 (γ).γâûïîëíåíî ñîîòâåòñòâóþùååÈç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî äëèíà êðè-êîíå÷íà èëè áåñêîíå÷íà îäíîâðåìåííî ïî îòíîøåíèþ êî âñåì ìåòðèêàìñåìåéñòâà.f (x, t) íà êîìïàêòå S0 × [0, 1] ñëåε > 0 íàéäåòñÿ δ > 0 , äëÿ êîòîðîãî ïðè âñåõíåðàâåíñòâó |t − t0 | < δ , âûïîëíåíî |f (x, t) − f (x, t0 )| 6 εÓ÷èòûâàÿ òî, ÷òî f (x, t0 ) = 1, ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèåÈç ðàâíîìåðíîé íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèèäóåò, ÷òî äëÿ ôèêñèðîâàííîãît,óäîâëåòâîðÿþùèõx ∈ S0 .|f (x, t) − 1| 6 ε, òî åñòüäëÿ ëþáûõ(1 − ε)||x||t0 6 ||x||t 6 (1 + ε)||x||t0 .ε > 0 äàííîåx ∈ X è |t − t0 | < δ .
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ äëèíûêðèâîé γ âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî (1−ε)lt0 (γ) 6 lt (γ) 6 (1+ε)lt0 (γ), èëè lt0 (γ)−lt (γ)6 εlt0 (γ), èç êîòîðîãî âûòåêàåò íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè lt (γ) â ñëó÷àå ååÈç ïîëîæèòåëüíîé îäíîðîäíîñòè ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ôèêñèðîâàííîãîíåðàâåíñòâî âûïîëíåíî ïðèêîíå÷íîñòè. 3. Íåïðåðûâíîñòü ðàññòîÿíèÿ âñëó÷àå ãëàäêîãî ðèìàíîâà ìíîãîîáðàçèÿÏóñòü äàíî n-ìåðíîå ñâÿçíîå ãëàäêîå ðèìàíîâî ìíîãîîáðàçèå Mn ñ ìåòðèêîéds2t , íåïðåðûâíî çàâèñÿùåé îò ïàðàìåòðà t ∈ [0, 1]. Ïîäðàçóìåâàåòñÿ, ÷òî ds2t ðèìàíîâà ìåòðèêà ïðè êàæäîì t ∈ [0, 1], è â êàæäîé òî÷êå x ∈ Mn êîìïîíåíòûtìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà gij (x) â êàæäûõ ëîêàëüíûõ êîîðäèíàòàõ íåïðåðûâíî çàâèñÿò îò t.
Äëÿ ëþáîé ïàðû òî÷åê A, B ∈ Mn ðàññòîÿíèå ρt (A, B) ìåæäó íèìè2â ìåòðèêå dst îïðåäåëÿåòñÿ êàê òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü äëèí lt (γ), ïîñ÷èòàííûõ2îòíîñèòåëüíî ìåòðèêè dst , êóñî÷íî-ãëàäêèõ êðèâûõ γ , ñîåäèíÿþùèõ A è B .Çàìåòèì, ÷òî âñå ìåòðèêè ρt îïðåäåëÿþò îäíó è òó æå òîïîëîãèþ, ÿâëÿþòñÿêîíå÷íûìè è âíóòðåííèìè.Óòâåðæäåíèå 1. Ïóñòü γ : [a, b] → Mn êóñî÷íî-ãëàäêàÿ êðèâàÿ. Òîãäàlt (γ) ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé ïàðàìåòðà t.γ íà ïîñëåäîâàòåëüíûåγi , îáðàçû êîòîðûõ ëåæàò â íåêîòîðûõ êàðòàõ. Ïóñòü êðèâàÿ γk ëåæèò1n1nâ êàðòå ñ êîîðäèíàòàìè (u , . . .
, u ). Äëèíà êðèâîé γk (s) = u (s), . . . , u (s) â2ìåòðèêå dst ðàâíàvZb u Xu n tlt (γk ) = tgi,j u1 (s), . . . , un (s) u̇i (s)u˙j (s) ds.Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ðàçáèåíèå êðèâîéêðèâûåai,j=1 ñèëó íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèétgi,j,ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå, à, ñëåäîâà-òåëüíî, è çíà÷åíèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà, íåïðåðûâíî çàâèñèò îòîáðàçîì, äëèíà lt (γk ) êðèâîéíû lt (γ) êðèâîéγγkíåïðåðûâíî çàâèñèò îòt.t.ÒàêèìÍåïðåðûâíîñòü äëè-âûòåêàåò èç àääèòèâíîñòè ôóíêöèîíàëà äëèíû.Óòâåðæäåíèå 2.Åñëè Mn êîìïàêòíî, òî óñëîâèå (∗) âûïîëíåíî.||ξ||t íîðìà âåêòîðà ξ , ïðèíàäëåæàùåãî êàñàTM ê ìíîãîîáðàçèþ Mn , îòíîñèòåëüíî ìåòðèêè ds2t . Â1nëîêàëüíûõ êîîðäèíàòàõ (u , .
. . , u ), îïðåäåëåííûõ â íåêîòîðîé êàðòå, ýòà íîðÄîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòüòåëüíîìó ðàññëîåíèþìà çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:vuXu n tgi,j (u1 , . . . , un )ξ i ξ j ,||ξ||t = ti,j=1x = (u1 , . . . , un ) òî÷êà ïðèëîæåíèÿ âåêòîðà ξ = (ξ 1 , . . . , ξ n ), à, çíà÷èò, îíàtíåïðåðûâíî çàâèñèò îò x, ξ è t (òàê êàê gi,j íåïðåðûâíû ïî t). Çàôèêñèðóåì t0è ðàññìîòðèì ôóíêöèþ, îïðåäåëåííóþ íà TM \ T0 × [0, 1], ãäå T0 íóëåâîåñå÷åíèå TM :||ξ||t0f (ξ, t) =.||ξ||tãäåSM × [0, 1],SM ñôåðèçàöèÿ êàñàòåëüíîãî ðàññëîåíèÿ â ìåòðèêå ds2t0 . Òàêèì îáðàçîì,äëÿ ε > 0 íàéäåòñÿ δ > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ âñåõ t, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâóÎíà íåïðåðûâíà, à, çíà÷èò, ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íà êîìïàêòåãäå8|t − t0 | < δ , âûïîëíåíî |f (ξ, t) − f (ξ, t0 )| < ε ïðè ëþáûõ ξ ∈ SM .f (ξ, t0 ) = 1, ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèå |f (ξ, t) − 1| < ε, òî åñòüÓ÷èòûâàÿ òî,÷òî1−ε<||ξ||t0< 1 + ε.||ξ||tÄàëåå, èç òîãî, ÷òî f (λξ, t) = f (ξ, t) ïðè λ 6= 0, ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ε > 0 íàéäåòñÿδ > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ âñåõ t, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó |t−t0 | < δ , âûïîëíåíî||ξ||t0<1+ε||ξ||t1−ε<ïðèξ ∈ TM \ T0 .Ïóñòü ïðè íåêîòîðîìâFa,t ,t òàêîì, ÷òî |t−t0 | < δ , êðèâàÿ γ(s) : [0, 1] → Mnëåæèòòî åñòüZ1||γ̇(s)||t ds 6 a.lt (γ) =02Ðàññìîòðèì åå äëèíó â ìåòðèêå dst :0Z1Z1||γ̇(s)||t0 ds 6lt0 (γ) =0(1 + ε)||γ̇(s)||t ds 6 (1 + ε)a,0||γ̇(s)||t0 è ||γ̇(s)||t ðàâíû èëè íå ðàâíû íóëþ îäíîâðåìåííî, è,||γ̇(s)||t0 6 (1 + ε)||γ̇(s)||t ïðè ëþáîì s ∈ [0, 1].
Ýòî â òî÷íîñòèγ ∈ F(1+ε)a,t0 . Óòâåðæäåíèå äîêàçàíî.òàê êàê íîðìûñëåäîâàòåëüíî,îçíà÷àåò, ÷òîMn êîìïàêòíî, A, B ∈ Mn .t.Ñëåäñòâèå 1. Ïóñòüíåïðåðûâíî çàâèñèò îòÒîãäà ðàññòîÿíèåρt (A, B)Äîêàçàòåëüñòâî. Âñå óñëîâèÿ òåîðåìû 1 áûëè íåïîñðåäñòâåííî ïðîâåðå-íû.Ñëåäñòâèå 1 ìîæåò áûòü ðàñïðîñòðàíåíî íà ðèìàíîâû ìíîãîîáðàçèÿ áîëååîáùåãî âèäà, åñëè ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû êàæäûé çàìêíóòûé øàð áûë êîìïàêòíûì (òàêèå ìíîãîîáðàçèÿ íàçûâàþòñÿ îãðàíè÷åííî êîìïàêòíûìè). Îòìåòèì,÷òî îãðàíè÷åííàÿ êîìïàêòíîñòü ðèìàíîâà ìíîãîîáðàçèÿ ðàâíîñèëüíà óñëîâèþåãî ïîëíîòû.Èäåÿ äîêàçàòåëüñòâà íåïðåðûâíîñòè ðàññòîÿíèÿ â ýòîì ñëó÷àåïðîñòà ìû ðàññìîòðèì äîñòàòî÷íî áîëüøîé êîìïàêòíûé øàð, ñîäåðæàùèéòî÷êèA è B , è ñâåäåì ê ñëó÷àþ êîìïàêòíîãî ìíîãîîáðàçèÿ.Äëÿ ýòîãî íàì ïî-íàäîáèòñÿ ïîêàçàòü, ÷òî ïðè ìàëîì èçìåíåíèè ìåòðèêè ðàññìàòðèâàåìûé øàðîñòàåòñÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèì.
Ïðîäåëàåì ýòî àêêóðàòíî ñ ïîìîùüþ óñëîâèÿ(∗).Òåîðåìà 3. Åñëè (Mn , ρt ) ïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ïðè ëþáîìt ∈ [0, 1], òî äëÿ ëþáûõ òî÷åê A, B ∈ Mn ðàññòîÿíèå ρt (A, B) íåïðåðûâíîçàâèñèò îò t.Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì íåïðåðûâíîñòü[0, 1].ρt (A, B) â íåêîòîðîé òî÷êå t0 ∈ ñèëó ñâÿçíîñòè ìíîãîîáðàçèÿ, ñóùåñòâóåò êóñî÷íî-ãëàäêàÿ êðèâàÿγ1 : [0, 1] → Mn òàêàÿ, ÷òî γ1 (0) = A, γ1 (1) = B . Ôóíêöèÿ lt (γ1 ) íåïðåðûâíà ïîïåðåìåííîé t íà îòðåçêå [0, 1], â ñëåäñòâèå ÷åãî âåëè÷èíà m = maxt∈[0,1] lt (γ1 )êîíå÷íà. Ðàññìîòðèì çàìêíóòûé øàð K = {x ∈ Mn | ρt0 (A, x) 6 m + 1}, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòîì, òàê êàê Mn ïîëíîå. Çàìåòèì, ÷òî îáðàç êðèâîéγ1 ïîëíîñòüþ ëåæèò â K . Ïóñòü γ êðèâàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ A è B , îáðàç êîòîðîé íå ëåæèò ïîëíîñòüþ â K . Ðàññìîòðèì òî÷êó D , ïðèíàäëåæàùóþ îáðàçóêðèâîé γ , íî íå ëåæàùóþ â K : lt0 (γ) > ρt0 (A, D) > m + 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
