1629382528-e201d89ff59dd31db5be21dffcf9458a (846429), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Однако никаких заключений о <(юрме колебаний огс<ола сделать нельзя,--ее необходимо залаял<ь ааранее в виде известной функции и (Ф), если мы желаем применить условие (20.42) для нахождения установившейся амплитуды процесса. й 20.7. Условия устойчивости процессов в автогенерцторе. Системз уравпепяп (20.38), которой мы заменили исходное нелинейное уравнение авгогеиератора, представляет со<юй очень удобное основание для интерпретации «фазовых портретовл. В самом деле, <гх '«1 '',х — абсцисса, а у= — — ордината изображающей точки на фззо<гг :,:;.,вой плоскости. Поделив второе уравнение системы (20.38) на пер;:: вое, мы получим дифференциальное урашгепи< нида Иу <7(х, у) (20.43) «х )л(х, у)' <:;к когорому можно прнменизь описанный 1<зисе мг <од <рафи неко< о '-:., :интегрирования — метод изоклип.
То<да я плоское<и (х, у) иолу<!'; чатся интегральные кривые, следуя вдоль ко<орыч о< зочки соог;;!:;:иегствую<цей начальным условиям, можно прослсдигь вс<о последо<:,вательность состояний системы пг 7=0 до Е=со. Так получится ,':: 'фазовый портрет системы, соответствую<ций данным начальным -'': условиям.
Искл<очениел< являются <особые точки«, для которых '-" одиоярслюшо 0(х, у) —.0 и 7<(х, у)=О, или зкс н< и<' :.:0 и —.:-.о <гг яз ,:.'Этп, очевишю, тс и<'п.и филовой ило«,оши, <,о<орли шк«ие<г <иуюг :1.:положениям рзшиик сия сиг<счи, <, е, о<суп «пш< колебаний. 11з <;,,:-,,Интегральных <.рия<ях, описыяаяяпих посв<денис лампового геперщо.;«„'рз, особой точкой является начало координат.
Ее исключительное '".;-,:ппложение проявляется, в частности, в <ом, что при анализе ,'!!'<зриближенного решения уравнения лампового генератора мы полу'!':;:.чили для з<остопнной С выражение (20.37), имеющее физический ':;;,смысл только при наличии некоторой начальной аъшлитуды У „> О, "х<ззя бы и оюиь малой. Точка же 10, 0), для которой с<я«=0 и '":,'С= ю, естественно, нз рассузкления должна быть исключена. Фор':-"мально, конечно, это обстоятельство мозкно обойти, счизая, что так ,.'!Как система в точке (О, 0) не колеблется, но находился в раипо:йесии, для нее необязательны выводы.
полученные из рассмотрения :~долебаний системы. Выход из равновесия сопряжен с наличием <<запального толчка некоторой отличной от пуля амплитуды, хотя бы «)з<зуктуационного происхождения. Однако извесжю, что не во всяком !'-'р«Ежимс флуктуационные толчки приводят к колебательному процессу.
,.;:;,'-'.1)аралу с исследованием вопроса об устойчивости колебагель';,!я)ого резкима и сопутству<о<цей ему амплитуды необходимо также ';:;исследовать вопрос об устойчивости состояний равновесия системы. ;;.'13<то можно сделать, пользуясь критерием устойчивости периодиче',,'ских процессов, паиным русским мазематиком Ляпуновым в 90-х ;:,,'<годах прошлого столетия. уравнение установления амплитуды, ко=,'.'гзлрое для рассмотренного ранее примера дано формулой (20.30), .=„:,':мбжно в более общем виде записагь так: 4" дг =- <)з (а), (20.44) 380 нялинвйныв мвтоды твовии лампового гвнвватогл 1гл. 20 где Ф(а) — некоторый нолином относительно а.
Очевидно, условием стационарного состояния будет служить а=со«з1, или же Оледовательно„величины возможных стационарных амплитуд можно определить, находя корни уравнения Ф(а)=О. 120.45) Если это уравнение имеет несколько действительных положительных корне<5 то гяс гома харак<сризусзся не<кольками дискрстныл<и возможныяи с < ацяшшриь<ми ампли <уз п<и. Ес «<<к< иио, <и<зпикает вопрос, как оцеш«ь ус<ой швос ~ ь лю«ои кз »<их зияли<)ч<? 11усть а„ес<ь один из денс<як гольных ноложпгслыаш корней' уравнения (20.45), т. е.
Ф(а»)=-О. 11оложим, что амплитуда а„получила некоторое «возму<цение» 1, которое может быть как положительным, так и отрицательным. Подставив «возмущенное» значение амплитуды аз+а в уравнение (20.44), получим: — (а„+1)=Ф(а„+1) или же — ь+-'-='Ф(а„+<). Разложив правую часть в рял Тэйлора по < и учитывая, что <и а'ь»=-Ф( „)=.-О, получим: а) , -* = Ф' (а„) 1+, "—, Ф' (а») <«]- При лостаточно мзлом 1 можно пренебречь нелинейными членами и получить линейное уравнение — „' =Ф'(аь).", ах (20.45) интегрируя которое определим ч< 1=в "<»ы. (20.47) (20А8) Ф'(а )(О.
Последнее выражение описывает повеление, возмущения $ во времени в зависимости от характера фуш<ции Ф (а) в точке а<г Если производная Ф'(а„) положительна, возмущение « увеличивается и система удаляется от своего первоначального стационарного состояния„ характе)~изуемого амплитудой а». Если же эта производная отрицательна, возму<ценив «затухает» и светел<а возвращается к этому состоянию. Итак, условие устойчивости периодического процесса может быть записано: й 20.7] головня гстойчнвости пгоцвссов в лятогинивлтовк 381 ' Условие неустойчивости".
;.';-'Оба этн неравенства расцространя<ется и на частный случай а =О ь ю ;.;: т. е. нз случай амплитуды равной нулю. Следовательно, таким же .. способом»южет быть исслеловап и вопрос об усгойчивости равновесия, если значение а»=0 является олним из корней уравнения (20.45). Условия (20.48) и (20.49) явлшогся в известной мере аналогом разобранных ранее условий (20.!5) и (20.16), но облалаюз значительно болыпей общностью.
Вид и поведение функции Ф(а) определяется холом характерн:;:.. стики лампы н р<пкимом генератора. Ознакомимся здесь лишь с результатами анализа этой функции. В условиях мягкого возбуждения уравнение Ф(а) имеет два корня: а=О и а=а,, где а,— некоторое положи<ел< пое лейсгвительпое число, определяю<цее сзациоиарну<о з ми<и«улу колоб;ишй, а не)шьщ «! корень опр<ч«яе'«ос«шпиг раппов<.- Ф;~ сия.
ГРафик Ф(а) гпш »<«<к«<о режим,< 'пРедставлен па РЯ<х '.ЧХ18. !<Рива < Ф(<) р . м <( имеет зл<сь лвг <пщи п«рс<счшпш с <х е , осью абсид~< с: и начале коорлппа< и прп ", а=.аи Харак«"р ятях точек различен. Рис. 20.18. '-', В начале коорлипат — в точке равнове.; сня†Ф'(а)) О, а в точке а=а< производная Ф'(а)<' О. Следо-; вЂ,взтельно, точка равновесия в мягком режиме неустойчива, и любые .''-'сколь угодно малые возмущения должны привести к нарастанию -',„:: амплитуды колебаний до тех пор„ пока не установится стационар=::ный процесс, которому соответствует устойчивая амплитуда а . ,!;::.Дл иллюс грации сказанного можно воспользоваться уравнением )Д я 1.
; установления амплитуды (20.30). Нетрудно видеть„ что Ф (а) в дан,"ном случае имеет вид< Ф(а)=яа«~1 — ~ 1 4/ <« ;,-Полагая Ф (а) = О, т. е. зая~1 — — )'=О, ',оразу же обнаруживаем существование лвух действительных корней: :*,а=О, что соответствует положению неустойчивого равновесия, и «)х — —, что лает стационарную устойчивую амплитуду колебаний =2 Гз, полном соо<ветствин с проведенныч выше анализом нелинейного ',уравнения лашювого генератора. В качестве упражнения предла'",;;гается пай<и значения проиаволной Ф'(а) в точках а = 0 и а, = — 2 ~"..н< проверя<ь, <аким образом, устойчивость их по критерию Ляпу",'нова. 382 нвлинвйиыв мвтоды твовнн лампового гвнвтлтовл !гл.
20 При задании характеристики лзмпы нолинОмом нятой стецени и жестком режиме генератора, функция Ф (а) имеет более сложиук~ с1руктуру и может быть изображена графиком рис. 20.19, В атом случае, очевидно, Ф'(О)с, О, что свидеФм тельствует об устойчивости состояния равновесия. Два друг!их нуля функции Р ' Ф (а), расположенные. и точках А .и В, л! ла л соо гветствуют: точка А — неустой чнвой амплитуде а„ з точка В -- устойчиво й амплитуде а„ так как Ф' (а,) > 0 и Ф ' (а ) < О.
Структура фа»озо й плоскости дл» режима жесткого во»бум»сии» приобрсык ~ ООЛге ГЛшьиый ви». !!Ош|Л»с|Г» И Ус~ов ш»ь~й прглсльпыд пшол. (» Ири;ш ш1рнь шпиш иа рок. 20.201, ко~ Орый при неко м1! ы» у глоип»х може~ бьыь наблнщаем с помощью описанной выше осциллографической схемы (рис. 20.1!), но с которого нри гяалейшем отклонении,амндитуды от зна- я чения а, изображая»цая точка «срывается» и либо попадает иа I т спираль, раскручиваоогнуюся и !,! л ) ' ' х I к ус»ойчипому прсделшшлоу иш<лу, либо -- иа сиираль»аоухаюших кол«банни, с1!шоо»ИОв»:» к ус гайчниоооу рашпшггию и начале координат.
Рис. 20.20 иллюстрирует поведение зв- Рис. 20Ж тогенератора с жестким возбуждением. Ясно, что лишь те начальные условия (А) поведут к стационарному колебательному режиму, которые соответствуют точкам фазовой плоскости, расноложенным вне неустойчивого цикла. Г.!! А В Л Д В А Д 11 А Т Ь ! ! Е Р 0 А 5! РЕЛАКСАННОННЫЕ АВТОКОЛЕБАНИЯ ф 21.1. О форме' йвтомолебйннй. Взяв нелинейное уравнение автоколебательной системы в виде х" +х=«(! — х')х' .';!: обратимс» к !оассмо~решою вопроса о харак гере изменения пере'::" менной х во времени, ошачч ышор», »оирога о форме шолуч»смы» колебаний. Так как нра»а» юг ~ь ур»1шгшо», »ыра,ка»сь и«сколько 2, унрощеиио, опретсл»с! сгсш.иь нару~игпи» ~армонк шосон.
крол;-"-'месса в сисгеме, ~о по абсолоошой и«ли ипш се можно судить и '„!.;,;: -а'форме колей»шин. Всчншина праной час~и опрелсл»ется и основном ',:;-:значением коэффициента «. Последний, цо определению, равен А и(М3 — 2« . = —.= — — — --'-= з(М — ЮС). (21.!) ио ооо и В силу гого, что для возбуждения колебаний должно иметь место игр;июнс оно Л1Ч, >ЙС, величина о всегда положительна. Физический смысл Оо»геи из выражений (20,32) и (20.33): она характериаует ";-::::.' бысгро|у па!озсоаш!» зо!Или!уды колебаний, а следовательно, и про„.
должи!ел»нос !ь нроцегса усгаогоиления. В 'самом деле, если в урав»гении 2 ! -т- Сеь" задавать различные значения а, можно получить кривые а=Г(т), :".Г"!т. е. проследить изменение амплитуды во времени. Для иллюстрации роли а приведем из рис. 2!.1 а, 6, в кривые нарастания амплитуды колебаний, вычисленные для значения »,=0,1; а»=-1,0; «»=10, Существенно отметить довольно резкое изменение формы колебаний ири из»снении величины а.
Чеы медленнее нарастает амплитуда, чгм меньше величина «, тем ближе к синусоидальпьш полу»,ш ши г» колебзния. С увеличением а колебания нарастают быстрее, ш мош.нк е число периодов, н форма их отличае1с» ог синусоид ш!ш~н г!3О влечет за собой и изьщнение характера фа»о»ОГО нор~!юш »олин»ос»»ного процесса; предельный цикл деформируется, йх 21,Ц О ФОРмы Аитоколвв>иий 1гл. 21 РЫЛАЫОАцнонныБ АБТОЫОЛЫБАния Рис. 21.!. (21.2) становится вытянутым, приближаясь к форме прямоугольника. Ка- чественная иллюстрация деформации предельного цикла приводится на рнс, 2!.2, где изобра>кены предельные циклы, соответствующие кривым рис.
2!.1. Из уравнения (2!.1) видно, что величина з зависит как от параметров лампы, так и от параметров схемы. Предполагаем, что Яз остается постоянным, а М всегда должно иметь значение, Об>еспечивзющее возбуждение колебаний. В э>их предположениях можно, >и про>щщуя нз большую сгрогос>ь и об>ппог>ь, онре>челн>ь >зяпгнмог>ь з от нарзмс>рпв зон>ура. !!пас>ззнв в (2!.1) 1 и„= — - ";,.-, можно паннсатгл Р> Ас где К=12 .. — волновое сопротивление > Х С контура. Следовательно, с уменыкеиием Е Рш.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
