1629382528-e201d89ff59dd31db5be21dffcf9458a (846429), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Выберем точку люкоя н начало коорр!::;:1',динат з средней части прямолинейного учасгка харак>еристнки :.=, (рис. 20.15), огносительно которой крутизна изменяется и обе с>ой.':,";:!:''ропы симметрично. В силу этого л>ы избавляемся от постоя>шой соля!,:;:,:>,ставляющей !лл в выражении .>ока и от члена >лнг (гзк как,'1,=0) в выражении крутизны. Таким образом, можно наппсагь 8 (пг) = >а -! 3л п) 374 нвлинвйныв мвгады твотни ламнового гвссвэатова (гл.
20 Метод медленно изменяющихся амплитуд. Востгользовавшись уравнением в форме (20.20), нололким, что решение его могкет быть задано в виде (20.27) =() где а(т) — «иевлев!то изменяющаяся амнлигудао. Это надо понимать так, чго период изменения величин а(т) значительно больше периода изменения неличины х(т). Математически это можно выразить неравенствами а' .'-' а и а" "-:..'' а', в силу чего х' =.а тгж т ', а' лгсг «и мжт 3 (2г0.23) х"= — 2а'саят — а тли « ~ а" лиг« -'2г" саят — а зш Подставив найденные значения х, х', ха в уравнение (20,23), будем иметь: 2а" соз т — а з!нт — к(1 — -аз я!~Я«)асов т 1-а я(тт с=0. Дальнейшие цреобрачования этого уравнения нанравляются к тому, чтобы получить более простое «уравнение установления амнлитудыо.
Собирая члены и умногсив полученное уравнение на --, получим: о ' 2аи' сол т (! и" лшо т) а" сал т::о!г. Е Игорей член цолюнинииа уравнении моксно зшнсагь и осггсггм виде: а' ао (! "- аз зшк т) а' соз т = аз соз т — — соз т+ — соз Зт. 4 4 Появившийся зд~сь в силу нелинейности член с тройной частотой малсет быть.отброшеш Донустимость пренебрежения этим членом, элементарно говоря, основанная на тои, что контур генератора выделяет нервуго гармонику, была строго обоснована Л. И.
Мзндельштамом и И. Л. Надалекси. Отбросив третью гармонику и подставив полученное выражение в (20.29), получим уравиецие установления амнли гуды в слсдусощем видел а' л 2аа'=-сСао — - — ) или же - (ао)=а~аз — --'1, (20.30) л) ( 47' Разделив переменные, имеем: гт (ао) . -- ес(т. ао~- — — !) Или гг (а«1 г! (а') ао — 4 ао б!:ф" 20;б! мвтоды ввцсиния эгавниния ламнового гвнвнхтова 370 'е:;:что после интегрирования приведет к слсдукггнему выраженнкс 1ц (аз — 4) — 1ц (ак) =- - — е ( г - !.
С, ), ";;".мли же ао — 4 .—.-„- . =.—.. — Се ао (20.31) :.; —.Отсюда получаем выражение для ашшигудм 2 х ! !Се" ; Переходя к х, имеем: (20.32) 2 я!к («+ т) ) !+ее-оо -.„;: Из вьсражсния (20.32) видно, что амплитуда колебаний при 1 со .:.-: стремится к шиглне определенной величине, нс зависясцей от началь:",, ных услоинс!, сшсззннык с нос гошшьош С н 7.
гуса величина 1а !г,„оо,= 2. (20.33) ' Для больншй пш лчгнюг си ьаш рсси шрусч шслучсшшл рггуль- 1-','... ' таты, вернувшись к нярамсгрзч гнсгсиьг и ес рсгкнмя. Учигыиая .- ВыРажснис х чеРсз ая и висдсшнсе Раисе сок1гещш|ныс обозначс';.,:::.ния, а также перейдя снова к переменной Г, можно иеренисать фор".:,:, мулу (20.33) для нанряжения ва, что приведет к следующему выраженигот сс = 2(7 — — — ° — --== —....-..=.=-.-.--- —:=.=.—:- . (20.34» г" Яо — ттС МИ(о,т+ гт) сто ~/! ~ С вЂ” он газо — Кето Угтаноинишаои.я ачнлигуда, соответствующая предельному циклу, т( очевидно, рашы: !сск)г, „= 217, ~ (эо 35) '!':Напишем также вырагксние для «начальной змнлитудыо, соответ;;::;:ствукхцей моменту времени 1=0: . ° С сИЯо — стб 1сс )с...о=2('е тйг —,— ' " — — — -, ° (20.30) )г !+с: Здесь мы произвольно положили с7= '- и а!сг<р=1, так как началь':.- ная фаза нс оказывает влияния на процесс уссановления колебаний.
., Из последнего уравнения лсожссо определить ностояннусо С и оце:, нить ее значение для различных начальных условий. Обозначив ;:;~ начальнУю амнлисУдУ напРЯженин воабУжденни чеРез стао, мо кло -.:.'" ив (20.30) получить следующее выражение для 'Ст (20.37» ео 376 пвлипвйнып мвтоды твояии лампового гкнвгьтовл !гл. 20 Сопоставляя (20,37) 'с (20.35), можно видеть, что прн начальных условиях, характеризуемых точкой на предельном цикле (например, точка 1, рис. 20.16), величина С=О, .так как в этом случае 12я„ есть не что иное, как установившаяся амплитуда, определяемая уравнением (20.33) и, следовательно, первый ччен выражения (20.37) ранен единице'. Если начальная точка лежит внутри предельного цикла, т. е. 17, 217 ')/ Мй — «7С 1 >» п»с> шпп.ш С п»ложи>сльпз (; '»0 (>»чкз П, рнс.
20.1(>!. !1»- к>ншп, сслп заданная гспсра гору начальная а»шлитуда превышаег величину установившейся: ;:ф 20.6) ' мвтоды гвп(нния гвзвнвния лампового гвнвгзтойл 377 ::::Мандельштама и Папалекси и их учеников. будем исходить из уравйепия системы в виде х'+х=!»Г(х, х'), р>де й — «малый параметр», Очевидно, в случае !»= — О, это уравне',ние.будет иметь гармоническое решение х=а>пп«илн х=а сох« ::::=.что характеризует линейную консерва>н>аную сис>ему. !!рп й ф О -':-;Сигтсма отличаегся от линейной консерва>.изной, по при дос>зточпо :. 'майо»( (» система близка к гармонической и можно предполагать ф;йущестзование гармонического решения и, для нелинейной системы.' тз -':Нвнисзнное выше уравнение системы можно представить в ниде' !:,эквивалентной системы двух уравнений первого порядка: (20.38) а соответствующая точка лежит вне Рнс.
20.16. предельного цикла, то С<"О (точ- ка Ш нз рис. 20.16). !!роцесс изменения амплитуды зо ярсмепн для эгнх >рсх случаев изображен па рис. 20.17. Таким образом, мзгсм>мя кскп показан», ч>» гп лю(чях начальных значений ампля>улы, оГ>язаппых пачзлшкм>у >сачку, сис>сма через некоторое время, практически весьма малое, Ш приходит к режиму уста- з» нозившихся колебаний, фззовым портретом которого является предельный цикл. 2( Неоднократно подчеркну- (>, тые ранее свойства автоколебатслыюй системы, в Рвс.
2О.17. часгности основное свойство — наличие установившегося ре>кима с амплитудой, пс зависящей от пзчальш«х условий, передаются приведенным.злееь анализом, в рамках сделапп>«х допущений, вполне удовлетвОрительно. Принципиальная сторона этого анализа пе изменится, если для аппроксимации характеристики воспользоваться полнномом пятой степени, чтобы охватить таким способом и режим жесткого возбуждения, по это приведет к значительно большим математическим трудностямм. Остановимся ~еперь кратко на су>цности другого варианта «метода медленно изменяющихся амплитуд», обоснованного в раГ>отах Ре>демис этой системы и>цстся я яндс '>$1олзгая, что мы имеем дело с процессами, близкими к гармониче;,ййМм '(малое !»), а следовательно, и весьма медленным иаменением ,.;!зм)(литуд Ь и с, можно, разложив правые части равенств (20.40) ,,'«(: 1!ял Фурье по т, отбросить все члены, крол>е постошшых, т.
е. 4>йз(6!>осить все члены, содержащие з(ппт и соя ля. Тогда мы получим '';-.,',13!! называемую «укороченную систему»: „- — =(ф (Ь„с), >В >(с — -=(»Гя(Ь, с). (20.41) '.7)яки» образом, для определения Ь и с можно испо»»зова>ь Г>олее «6>н >ую сис>сму уравнений, чсм (2040). Если проч шс»п соогвет- х=Ь соя «-~ сз!п«=Ь(т) соз «+ с(с)з(>з«, (20.39) у = — -Ьмпт+с сов с= — Ь(«)з(пт (-с(«) соз т, ) ",:(лс Ь и с — некоторые функции времени.
Подставляя (20.39) в ис- ;:„!>одные уравнения (20.38), можно получить уравнения для опреде- ('.(()пия амплитуд» Ь и с, являющиеся точными, но не поддающиеся .'гз'!кя.п»>у решению: ГД =- — !»Я» соз «+ с гяпт> — Ьзп> я+ с соз з) 5>п с, (20.40) Ё> =(>/(Ь соз т+сз(из; — Ьз!я«+ с соз с) соз т. 378 нвлинвйныв мвтоды твоеии лампового гвнввлтоеа 1гл. 20 ;,:''й 20.71 головня зстойчивости нее<<вссов в автогвнвиатогв 379 ствующий расчет и положить, что алщлитуда и<пересующего нас процесса а связана с «амплитудамил (г и с вырзжением аз=<<« 1 — с«, то можно прийти к «уравнению установления амплитуд», идентичному с (20.30). Дальнейший ход рассуждений и расчетов, естественно, будет тот же.
В заключение остановил<си па идее нестрогого, но в некоторых случаях чрезвычайно удобного, «энергетического метода», предложенного и развитого 1<. Ф. Теодорчиком. В л<обой электромагнитной сисгеме гоигопоиско<о <ииа (<. с. облада<ощсй двуми накопителями эп<р<пи) <чипюло<и«„кяк было шп а<зло при изучении замкну го< и кол<од«люцио кои<ура, <и рш«я и «пн и< р< ход «пг1пии влек< ри жги<я о <ш<и я эи< р< пю мшш«шио <и<ля и поря<по. 11о<и<ая члекгрома<пи<пав эиер«ш )г = 2-7.<я .1. з- СИ системы постоянна„если процесс, происходящий в ней, является стационарным и периодическим.
Следовательно, изменение этой энергии за период равно нулю. Если взять нелинейное уравнение лампового генератора в виде <<<и... <<и <й« ' «л <ы л' 1 «г'г<,==(А" Вп() зо можно покааа<гэ ч<о правая ч<и <ь урашкшш как ряз и характеризус< измепшшс эиг1и<ш, обялашии иаруи<сишо <арлииш ппзсги процесса. Слсдоиа <илько, <рсооя,шие ст,пнюизрпосги происходящего в сис<еме периодического процесса может быть сведено к условию т (А — Вн-'.)- -6<77 = О, (20.42) где Т вЂ”. период колебаний. Это условие имеет совершенно общий характер. Ел<у должен удовлетворять всякий периодический процесс, что в целом ряде случаев дает возлюжность применигь уравнение (20.42) к отысканию с <ационарных амплитуд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
