1626435915-d40150bde55ea32443623c7509f13228 (844349), страница 71
Текст из файла (страница 71)
(12.75) Здесь суммирование по г и г' ведется по координатам всех й! атомов. Используя в (12.75) координатные зависимости операторов Е' и Е-, приведенные в (9.9) и (9.10), получим координатную зависимость полной скорости перехода ехр (! (кз — Зй,) (г — г')) = ~ 2 ехр (И(с г) ~, (12.76) пы г где (12.77) йк= кз — 31гп 46! НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА Следовательно, скорость перехода определяется формулой (12.73), где все операторы электрического поля вычисляются в одной и той же точке, но только вводится дополнительный множитель, приведенный в (!2.76).
Рост средней интенсивности третьей гармоники 7з описывается уравнением дЦде = йвз/Гс, (!2.78) которое сходно с уравнениями распространения, приведенными раньше, однако теперь с учетом рассмотренных выше изменений величина 1/т есть полная скорость перехода для всех атомов. Как и в других нелинейных процессах, довольно трудно вычислить рост интенсивности пучка в общем случае, где два пучка приобретают коррелированные статистические свойства благодаря нелинейным взаимодействиям.
Эти трудности снова можно обойти, если предположить, что длина пути света через среду достаточно мала и начальная интенсивность падающего пучка 7,, лишь слегка уменьшается. Тогда в хорошем приближении два пучка остаются статистически независимыми и операторы электрического поля в (!2.73) могут быть факторизованы и выражены через средние интенсивности. Произведение операторов поля, относящихся к падающему пучку, точно такое же, как произведение, встречающееся в определении (9.46) степени когерентности третьего порядка дн! в том случае, когда все пространственно-временные точки одинаковы.
Операторы поля для генерации третьей гармоники имеют такую же форму, что и операторы для рассеянного пучка в вынужденном рамановском эффекте. Тогда след в (!2.73) может быть вычислен и уравнение распространения (12.78) принимает вид Лгз "Е ч "1А'з З З 4 — —, 'э — '!.44' !'>( Э ае4 Евере с > Ау ™и 3 мб(3в, — еэ) ~ ехр(!М г)! 8"~!',о( ',' + 1). (12.79) 4б2 ГЛАВА Р2 Здесь был введен координатный множитель, определенный в (12.76), а черта обозначает обычное усреднение по атомным ориентациям, которое теперь проводится до возведения матричного элемента в квадрат. Два члена в последних скобках выражения (12.79) описывают соответственно вынужденное и спонтанное испускания фотонов третьей гармоники.
Если в третью гармонику превращается малая часть падающего пучка, то Хз не достигает достаточно большой величины, для того чтобы вынужденное испускание играло заметную роль. Поэтому в (12.79) мы сохраним только член, описывающий спонтанное непускание. Определение интенсивности третьей гармоники завершается вычислением двух сумм в (12.79). Суммирование по г зависит от формы пространственной области, где протекает нелинейный процесс. Рассмотрим область, имеющую объем Р' и ограниченную параллельными плоскостями, расположенными перпендикулярно направлению распространения при з = 0 и г = Ь.
Площадь поперечного сечения равна )Р7Т., и мы предполагаем, что размеры области в направлениях осей х и у много больше г. Тогда ! ехр(1Дй г) -+(У/Г)'~ с(г ~ ехр(1 Ьй (г — г')) Врг'= = (ЛР!У)з (2я)Р Ь (йй„) б (Лй„) Х )( ! '*Р'"" ' ~'. (!2.80) в1 !Аьь Здесь предполагалось, что пределы интегрирования по х и у являются достаточно большими, для того чтобы интегрирование привело к дельта-функции, как и в (3.67). Суммирование по кз производится также путем преобразования этой суммы в интеграл ехр()ГАК г) Ь(ЗВр, — Врз) — ~ кв р ррррр рр)/Е ° ррррр р!'ррз,— „ррах,= г мп ~ — Ааь) = 2ЛГ.вр (Ва) нелинвинля оптика' 463 Здесь индекс г у Лй был опущен, так как дельта-функции в (12.80) обращают остальные компоненты волнового вектора в нуль.
После подстановки выражения (12.81) в (12.79) и несложного интегрирования получим интенсивность третьей гармоники на задней границе объема, который занимает газ, т. е. при з = Ь 2 з л)у а 3 3 а1о ( — айь) 3- 4вч,.зДе ~,„„„, (ай)2 Интенсивность гармоники пропорциональна квадрату числа атомов в единице объема в отличие от линейной зависимости двухфотонного поглощения и вынужденного рамановского эффекта. Кроме того, интенсивность (12.82) пропорциональна кубу интенсивности падающего пучка и его степени когерентности третьего порядка д!зд Величина д(з) равна единице в случае когерентного'падающего пучка в соответствии с (5.!07) или (9.48), однако любые флуктуации интенсивности пучка вызывают увеличение выходной интенсивности третьей гармоники.
Согласно (5.!08), величина д!з) для хаотического света Равна б. Зависимость интенсивности третьей гармоники от длины пути определяется тригонометрическим множителем в формуле (!2.82). Наибольшая интенсивность соответствует Дй = 0 где ( з!пз ( — Лйч ~/(ЛА)з = 1.з/4. (12.83) Говорят, что световые пучки согласованы по фазе, если условие (12.83) выполнено ').
Условие фазового согласования можно с помощью соотношения (12.77) переписать следующим образом: йз — — Зйп (12.84) С другой стороны, поскольку соз = Зозь получим Чз=Ч~ (12.85) ') В отечественной литературе условие (!2.83) обычно называетсв условиеи синлронизма. — Прим. ред. 464 ГЛАВА 1З где Г1з и тп — показатели преломления на частоте третьей гармоники и на основной частоте. Если условие фазового согласования не выполняется и, в частности, если ЬИ. порядка единицы или больше, то интенсивность третьей гармоники сильно уменьшается. Эта интенсивность обращается в нуль, если величина МТ. равна целому числу, умноженному на 2п.
Требование фазового согласования является основной особенностью таких нелинейных процессов, которые не приводят к изменениям атомных состояний. Условия фазового согласования экспериментально довольно трудно выполня1отся, поэтому они часто ограничивают эффективность протекания нелинейных процессов. В случае генерации третьей гармоники показатели преломления тп на частоте м~ и т!з на частоте Зыь как видно из теории, изложенной в гл. 4, обычно не равны друг другу н условие фазового согласования (12.85) в общем случае не выполняется. Эту трудность можно преодолеть в некоторых специальных случаях. Например, если одна из частот еч илн Зм, лежит близко к атомной частоте перехода, где показатель преломления довольно быстро меняется, как на фиг. 4.2, то значения ти и т!э можно сделать равными для отдельной частоты вь Однако этот метод обладает тем недостатком, что пучок с частотой, близкой к частоте перехода, может сильно поглощаться.
Условие фазового синхронизма часто выпочняется в одноосных или двуосных кристаллах, где изменение показателя преломления с направлением может быть иногда использовано для достижения равенства величин ти и т1з за счет выбора подходящей ориентации кристалла. Наблюдения генерации третьей гармоники в газах и жидкостях должны обычно проводиться в экспериментах, в которых условие фазового согласования не выполняется [!3[. За характерную длину, на которой сильно сказывается эффект фазовой расстройки, можно взять величину и/!Лй[, обычно имеющую порядок от 1 до 100 мм.
Физически это расстояние равно длине пути, на котором интенсивность третьей гармоники, описываемая выражением (12.82), впервые достигает своего максимального значения. Дальнейшее увеличение длины пути нелинеяиАя ОптикА приводит к осцилляциям интенсивности третьей гармоники, при этом ее интенсивность никогда не может быть больше интенсивности, получаемой после прохождения расстояния и/[Лй[.
Поэтому невозможно эффективно использовать потенциальную возможность генерации третьей гармоники остальной частью нелинейной среды. С другой стороны, генерацию третьей гармоники можно исследовать с помощью вычислений, основанных на соответствующей компоненте восприимчивости третьего порядка [2). Было найдено, что интенсивность гармоники пропорциональна квадрату величины 1бм(вь ыь кч) и выражение для 7з совпадает с (12.82), если установить связь Хм~ (гв~ а, в,) = — (йгеЧЕ ЬЮ Лгнс (12 86) Последнее выражение для Хкн(вь ыь в~) в точности совпадает с выражением, полученным прямым расчетом [2[. Обе формулы (12.41) и (12.86) представляют специальные случаи общего выражения для Х~'~, которое применимо тогда, когда все три входящие в него частоты различны.
Статистические свойства фотонов и нелинейная оптика Из анализа двухфотонного поглощения, вынужденного рамановского рассеяния и генерации третьей гармоники видно, что статистические свойства фотонов играют важную роль в определении скоростей переходов для нелинейных процессов. В общем случае эти скорости зависят от степеней когерентности рассматриваемых световых пучков, а если пучков более одного, то и от корреляции между пучками. Нелинейные процессы сами вызывают изменения когерентности и корреляционных свойств света, поэтому точная теория должна учитывать зти изменения. Результаты (12.16), (12.17) и (12.25) для двухфотонного поглощения, (12.58) для вынужденного рамановского эффекта и (12.82) для генерации третьей гармоники обычно справедливы в первом порядке по расстоянию г или 7., проходимому светом в нелинейной среде.
Они, вообще говоря, непригодны для более высо- 466 глхвл и ких приближений по г, где начинает сказываться влияф ние нелинейного процесса на статистические свойствами пучков. Этн эффекты нллюстрируются ниже с помощью рассмотрения некоторых простых проявлений статистиче. ских свойств света в вынужденном рамановском эффек.
те. Такие же рассмотрения можно провести и для других нелинейных процессов (14). Во многих случаях получаю щиеся уравнения нельзя решить аналитически, поэтому характеристики распространения световых пучков должны определяться на основе численного расчета. Для учета излучательного уширения подставим (!2.70) в выражение для скорости перехода при рассея. нии света (12.47) и предположим, что частота рассеянного света в, равна о — ьЧ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
