1626435915-d40150bde55ea32443623c7509f13228 (844349), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Наш анализ ограничен рассмотрением одной моды рассеянного света й,. Если число падающих фотонов равно п, а рассеянных п„то скорость перехода может быть записана с помощью формулы (12.52) следующим образом: 1/т= Я'и(п, + 1), (12.87) где э4 <д3 (и и )3 з з ~ з ° т 1-44зяк~' (1288) 2аол с'у а'а'-у! Здесь черта означает, что скорость относится к «среднему» атому. Параметр Р скорости двухфотонного перехода аналогичен параметру У скорости однофотонного перехода в (10.6), поэтому параметр Р можно таким же образом использовать для определения временнбй зависимости' статистических свойств фотонов.
Пусть Р„ „, есть нормированная вероятность того, что одновременно имеется п падающих и п, рассеянных фотонов: Я Р„„=1. (12.89) $ Рамановское рассеяние изменяет вероятностное распределение фотонов со скоростями, приведенными на фиг. !2.6. Эта диаграмма похожа на фиг, 1О.1, но только теперь каждый уровень относится к населенностям пары нелиннпнйя оптика 4бу мод полости, а расстояние между уровнями равно й(оу — ау,) = йюп здесь предполагается, что почти все 111 атомов находятся в своих основных состояниях, а поэтому переходы вверх на фнг. 12.6 не учитываются. Полная 1ле1,л -1 и+1, па-1 Рп,л п,п 1л-т,л +1 п-1,па+1 Фнг. 12.6.
Схема расположении энергетических уровней фотонов в двух модах полости, которые соответствуют падающему и рас- сеянному световым пучкам в рамановском процессе. Укааапаые скорости перепадов нвлюотсн вкладамн в игл л /Ду прн услоанн, что населенность атомпык ваабужденныт уровней пренебрежимо мала. скорость изменения величин Р „, обусловленная указанными переходами, имеет вид 11Р„, „ /д11 = = ЛТ ((и + 1) и,Р„е1 „1 — п (и, + 1) Р„, „). (!2.90) Теперь мы изучим временнбе развитие статистических свойств света.
Временная и пространственная зависимости рассеянного света, конечно, просто связаны через скорость света иа//га. К сожалению, решить уравнение (12.90) для распределения вероятностей илп даже для моментов распределения не так просто. Рассмотрим, например, средние ГЛАВА М 468 числа фотонов и и й.
в падающем и рассеянном пучках соответственно, определенные следующим образом: й= ~ пР„,„ (12.91) 5,5 п5= Х "5Р5,5; 5,5 (12.92) Тогда из (12.90) получим '"й,/'"1 = '"',у ~ ((л + ') "5 л+! 5 — ""5 ("5 + ) 5 л ~ = П,5 = Л>7 ~ л (и, +!) Р„... (12.93) 5 55 и поскольку в общем случае ЛЛ,Р„, „= пп, Ф йй„ (12. 94) 5 Р„, „= Р5Р5 5 5 (!2.95) тогда уравнение (12.93) упрощается и принимает вид 55й,/Г1! = !У7й(й, +!).
(! 2.96) По существу это есть приближение, сделанное в данной главе раньше при анализе вынужденного рамановского то найти л, без дополнительных сведений о распределении Р... невозможно. Свойство уравнений (12.93), заключающееся в том, что временная зависимость первого момента й, связана со значением момента распределения более высокого порядка иль является характерной особенностью уравнений, описывающих временнбе развитие статистических свойств в нелинейных процессах. Это свойство делает уравнения неразрешимыми при помощи простых методов.
Для двух статистически независимых фотонных пучков неравенство в (!2.94) можно было бы заменить равенством. В этом случае Р„, „, можно записать в виде произведения распределения вероятностей для отдельных мод' 469 НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА ЫЭПл1М~= М,т ~ П(П, + 1) Т(Рп,„ /Ж = л,л = Ж27'2 Х п (п + 1) Х л, и Х ((п + 1) Пл Рп+ ь л 1 и (Пю + 1) Рл, пю) = Л1еР ~ П (и, + 1) (П вЂ” П, — 2) Рл,,, л,л' (12.97) На основе допущения об интенсивности падающего пуч- ка величиной п, + 2 можно пренебречь по сравнению с и и переписать (12.97) следующим образом: ТРП,,/НР = Л'7' Х и'(Пл+ 1) Рп, л,. (12 98) л,л эффекта.
В начале нелинейного процесса два пучка обычно независимы, поэтому факторизация, приведенная в (12.95), может быть принята в качестве начального условия. Однако временнбе развитие статистических свойств одного пучка зависит от свойств другого пучка таким образом, что статистическая независимость, определяемая начальным условием, постепенно уменьшается. Мы не рассматриваем математическую задачу, связанную с общим решением уравнений для вынужденного рамаповского рассеяния.
Вместо этого будет исследован более простой специальный случай, когда интенсивность падающего пучка в процессе рассеяния сохраняется много большей интенсивности пучка рассеянного света. Таким образом, данный анализ исключает область насыщения, показанную на фиг. 12,4, однако он пригоден 'для областей линейного и экспоненциального усиления. Если рассеивается только малая часть фотонов, первоначально имевшихся в падающем пучке, то малым изменением статистических свойств пучка можно несомненно пренебречь. В этом случае, считая распределение падающих фотонов Р„не зависящим от времени, определим влияние формы распределения Р на интенсивность рассеянного пучка. Дифференцируя уравнение (!2.93) еще раз по ! и используя (12.90), получаем ГЛАВА 12 4то Пусть в начале нелинейного процесса при 1=0 среднее число рассеянных фотонов есть йеь В начале рассеяния факторизация в (12.95) справедлива, поэтому, согласно (12.98) и (12.98), первая и вторая производные по 1 при 1 = 0 имеют вид (Г(й,/й), = /1/7й(йло+ 1) (12.99) и (Г(зйл/и'/% = Уз,г'зпз(пм+ 1) (12 100) Такое же рассмотрение производных высших порядков показывает, что формулы (12.99) и (12.100) являются частными случаями общего результата.
(г/ пл/Г/г )о = /У ~ и (пм+ 1) (и )) пл), (12.101) где п' = х и'Р„. (12.102) Временная зависимость й, определяется путем суммирования ее разложения в ряд Тейлора с использованием приведенных выше производных: й, = (й,з + 1) ~ ехр (И~п1) Є— 1. (12.103) л Общие свойства этого решения можно сравнить со свойствами результата, полученного в данной главе раньше без учета влияния статистического распределения фотонов. Если интенсивность падающего пучка всегда много больше интенсивности рассеянного пучка, то формула (12.58) приближенно запишется в виде /, = (/,л+ (йв,'/)Гп,)) ехр (6г) — (йв,'/)Г/г,).
(12.104) Переходя с помощью формул (12.50) и (!2.104) от средних интенсивностей к средним числам фотонов, получаем й, = (п„+ 1) ехр (6г) — 1. (12,105) Если 6 определяется выражением (12.59), где в последних скобках сохранен только член 7л/е1, то из (12.50) и (12.88) следует, что 6 = Ж,Г'йп,/Гв,. НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА 471 Здесь в выражении для 6 была сделана замена (12.70), а частота м. была положена равной м — мь Приближенное решение (!2.105) очень похоже на более точный результат (!2.103). В решении (12.105) можно перейти от координатной зависимости к воеменнбй, заменяя г на гэ.!/й,.
Тогда приближенный результат (12.105) эквивалентен формуле й, = (й„+ ! ) ехр ( Щй!) — 1. (12.107) Если два выражения (12.103) и (!2.107) разложить в ряд по степеням 1, то видно, что в точном результате коэффициент при !' содержит и' вместо величины й", име:ошейся в приближенном выражении. В обшем случае эти две величины различны, поэтому только постоянные и линейные по ! члены решений, приведенных в (12.103) и (12.!07), согласуются между собой, в то время как члены более высокого порядка по ! различны. Более точное решение (12.103) может быть записано в замкнутой форме для некоторых частных видов распределения падающих фотонов Р„. Задача 72.1. Покажите, что для падающего одномодового когерентного света, где распределение фотонов определяется формулой (9.87), решение (12.!03) можно записать следующим образом: и, = (й,э+ 1) ехр (л!У'й!) — !.
(12.108) Выражение (!2.108) является хорошим приближением, если (12.109) Уу'! « 1, Условие (!2.109) хорошо выполняется вне области насыщения для предполагаемого большого значения й. Задача !2.2. Покажите, что соответствующий результат для одномодового хаотического света, где распределение Р определено в (9.89), имеет вид й,= (йм+ л!у'й!)7(1 — !У7й1). (12.110) ГЛАВА !Е 472 Эти результаты показывают, что решения, полученные ранее в данной главе, являются правильными для мощных когерентных одномодовых световых пучков, однако для пучков хаотического света они справедливы лишь в линейном по 1 приближении, а вне его являются неверными. Два последних случая проиллюстрированы иа 1,0 О,б райс Фиг. 12.7.
Временная аавнсимость средних чисел фотонов и„получаемых при рассеянии когерентного и хаотического одномодового света. фиг. 12.7, где приведены зависимости выражений (12.108) и (12.!1О) от времени для нулевого начального возбуждения рассеянных фотонов д„= О. Из приведенных зависимостей видно, что при малых значениях 1 обе кривые имеют одинаковый наклон, однако при больших значениях 1 хаотический свет рассеивается сильнее, чем когерентный.
Рассмотрение, похожее на описанное выше, может быть проведено для процесса двухфотонного поглошенпя. Если интенсивность одного пучка много больше интенсивности другого, то можно показать, что формула (12.19) правильна только тогда, когда пучок с большей ИЕЛПНЕИНАЯ ОПТИКА 473 интенсивностью является когерентным. В общем случае эта формула справедлива только для постоянного и линейного по е членов. Вообще говоря, во всех нелинейных процессах статистические распределения фотонов важны для определения пространственных и временных зависимостей различных эффектов. Изменения распределений, вызываемые нелинейной связью между световыми пучками, обычно влияют на коэффициенты при членах, имеющих второй и более высокие порядки по и и Е Задана 12.З. В предельном случае 1! » 1т проведите анализ двухфотонного поглощения, сходный с описанным выше анализом рамановского рассеяния. Проверьте результат (12.19) для случая, когда пучок 1 является когерентным, и определите соответствующую пространственную или временную зависимость для случая, когда пучок 1 является хаотическим.
ЛИТЕРАТУРА 1. В1огтЬегдгп Н., Ыоп1!пеаг орнсз, Веп!аш!п, Мезч Уог1с, 1965. !См. перевод: Н. Бломбергеи, Нелииейиаи оптика, изд-ао «Мир», 1966.) 2. Вигсаег Р. Н., Мопипеаг ориса! рьепотепа, Омо 51а1е Оп!чегМ1у Епя!пеег!пя РиЬИсанопз, Со!шпЬиз, 1965. 3. Уади А., 1;!пап1шп е!ес1гоп!сз, УУ!!еу, Ыечг Тогу, 1967. (Смь перевод: А. Ярив, Квантовая электроника, изд-во «Сов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
