1626435387-cbed9341b165fae9f16c4a05686b9115 (844203), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Ýòî äîñòàòî÷íîìàëàÿ âåëè÷èíà è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðåäëîæåííûé àëãîðèòì âûáîðêè ïîâàæíîñòè ýôôåêòèâåí.94ÐÅØÅÍÈÅ ÝÊÇÀÌÅÍÀÖÈÎÍÍÛÕ ÇÀÄÀ×ÏÎ ÒÅÌÅ ¾ÂÛÁÎÐÊÀ ÏÎ ÂÀÆÍÎÑÒÈ¿Ýêçàìåíàöèîííûå çàäà÷è ïî òåìå ¾Âûáîðêà ïî âàæíîñòè¿ ñêîíñòðóèðîâàíû ñîãëàñíîòåõíîëîãèè Ï1. Ñòàâèòñÿ çàäà÷à âû÷èñëåíèÿ èíòåRãðàëà I = g(x) dx, ïðè÷åì ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ g(x) èìååò âèäg(x) = f˜(x) × q̃(x), ãäå ôóíêöèÿ f˜(x) ïðîïîðöèîíàëüíà ïðîñòîé ýôôåêòèâíî ìîäåëèðóåìîé ïëîòíîñòè f (x) = H f˜(x) ñëó÷àéíîãî âåêòîðàξ = (ξ (1) , ξ (2) , ξ (3) , ξ (4) ) ñ íåçàâèñèìûìè êîìïîíåíòàìè, ðàñïðåäåëåííûìè, êàê ïðàâèëî, ñîãëàñíî òàáëè÷íûì ïëîòíîñòÿì (ñì.
çàìå÷àíèå 13.3);(j)äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé ξi , j = 1, 2, 3, 4; i = 1, . . . , nìîæíî èñïîëüçîâàòü ñîîòâåòñòâóþùèå òàáëè÷íûå ôîðìóëû (13.3), (13.5),(13.6) (ïðè ýòîì ïðîâåðêà 13.1 íå òðåáóåòñÿ). Ôóíêöèÿ q̃(x) ëåãêî îöåíèâàåòñÿ ñâåðõó è ñíèçó ïîëîæèòåëüíûìè ÷èñëàìè A ≤ q̃(x) ≤ B .  ñòàíäàðòíîì àëãîðèòìå ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî èìååì ζ = q(ξ) = (1/H) × q̃(ξ),ïðè ýòîì m1 ≤ q(x) ≤ m2 , ãäå m1 = A/H, m2 = B/H .
Äèñïåðñèÿ Dζîöåíèâàåòñÿ ñâåðõó âåëè÷èíîé (m2 − m1 )2 /4. Ìàëîñòü ýòîé âåëè÷èíûîáîñíîâûâàåò ýôôåêòèâíîñòü ñîîòâåòñòâóþùåãî àëãîðèòìà âûáîðêè ïîâàæíîñòè.ÇÀÄÀ×À È1 (1.5 áàëëà). Ñôîðìóëèðóéòå ìåòîä âûáîðêè ïî âàæíîñòè è ïðîäåìîíñòðèðóéòå åãî íà ïðèìåðå âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëàZ 1 Z 1 Z 1 Z +∞ (4)I=x(2) (x(3) )2 e−4x ×0000q× 2 + cos(6x(1) (x(2) )3 (x(3) )7 (x(4) )9 ) dx(1) dx(2) dx(3) dx(4) .Îöåíèòå äèñïåðñèþ ñîîòâåòñòâóþùåé îöåíêè.ÐÅØÅÍÈÅ.  êà÷åñòâå ïëîòíîñòè f (x) âûáèðàåì(4)f (x) = f (x(1) , x(2) , x(3) , x(4) ) = 1 × (2x(2) ) × (3(x(3) )2 ) × (4e−4x ),ãäå 0 < x(j) < 1, j = 1, 2, 3 è x(4) > 0, à ôóíêöèÿ q(x) = g(x)/f (x) èìååòâèäq1q(x) = q(x(1) , x(2) , x(3) , x(4) ) =× 2 + cos(6x(1) (x(2) )3 (x(3) )7 (x(4) )9 ).24Ó÷èòûâàÿ, ÷òî −1 ≤ cos√ u ≤ 1, ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâà m1 ≤ q(x) ≤ m2 ,ãäå m1 = 1/24 è m2 = 3/24.95Èìååì I = Eζ = Eq(ξ), ãäå ξ = (ξ (1) , ξ (2) , ξ (3) , ξ (4) ), ïðè÷åì êîìïîíåíòû ξ (j) , j = 1, 2, 3, 4 íåçàâèñèìû.
Êîìïîíåíòà ξ (1) èìååò òàáëè÷íîå(ðàâíîìåðíîå) ðàñïðåäåëåíèå íà èíòåðâàëå (0, 1) (ñì. çàìå÷àíèå 13.3),(1)è äëÿ ðåàëèçàöèè ñîîòâåòñòâóþùèõ âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé ξi ñëåäóåòèñïîëüçîâàòü ôîðìóëó (13.16). Êîìïîíåíòû ξ (2) , ξ (3) èìåþò òàáëè÷íûå(ñòåïåííûå) ðàñïðåäåëåíèÿ, è äëÿ ðåàëèçàöèè ñîîòâåòñòâóþùèõ âûáî(2) (3)ðî÷íûõ çíà÷åíèé ξi , ξi ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó (13.15).
Êîì(4)ïîíåíòà ξ òàêæå èìååò òàáëè÷íîå (íà ñåé ðàç ýêñïîíåíöèàëüíîå) ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì λ = 4, è äëÿ ðåàëèçàöèè ñîîòâåòñòâóþùèõ(4)âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé ξi ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó (13.13).Ïîëó÷àåì ñëåäóþùèé àëãîðèòì âûáîðêè ïî âàæíîñòè.Ðåàëèçóåì âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ êîìïîíåíò âåêòîðà ξ ïî ôîðìó√√(3)(4)(1)(2)ëàì: ξi = α1,i , ξi = α2,i , ξi = 4 α3,i , ξi = (− ln α4,i )/4, ãäåi = 1, . . . , n, à αj ðåàëèçàöèè ñòàíäàðòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû α, èïðèáëèæåííî âû÷èñëÿåìn r1 X(1) (2) 3 (3) 7 (4) 9I≈2 + cos 6ξi ξiξiξi.24n i=1Ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî Dζ ≤ (m2 − m1 )2 /4 ≈ 2.33 × 10−4 .
Ýòî äîñòàòî÷íî ìàëàÿ âåëè÷èíà è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðåäëîæåííûé àëãîðèòìâûáîðêè ïî âàæíîñòè ýôôåêòèâåí.ÇÀÄÀ×À È2 (1.5 áàëëà). Ñôîðìóëèðóéòå ìåòîä âûáîðêè ïî âàæíîñòè è ïðîäåìîíñòðèðóéòå åãî íà ïðèìåðå âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëàZ +∞ Z +∞ Z 1 Z π/2(1)(2)I=e−10x −πx × cos x(4) ×0× arcsin00011 + x(1) (x(2) )2 (x(3) )3 (x(4) )4!dx(1) dx(2) dx(3) dx(4) .Îöåíèòå äèñïåðñèþ ñîîòâåòñòâóþùåé îöåíêè.ÐÅØÅÍÈÅ.
 êà÷åñòâå ïëîòíîñòè f (x) âûáèðàåì(1)(2)f (x) = f (x(1) , x(2) , x(3) , x(4) ) = (10 e−10x ) × (πe−πx ) × 1 × (cos x(4) ),ãäå x(1) > 0, x(2) > 0, 0 < x(3) < 1, 0 < x(4) < π/2, à ôóíêöèÿq(x) = g(x)/f (x) èìååò âèä11×arcsin.q(x) = q(x(1) , x(2) , x(3) , x(4) ) =10π1 + x(1) (x(2) )2 (x(3) )3 (x(4) )496Ò. ê. 0 < arcsin u < π/2 ïðè 0 < u < 1, òî âûïîëíåíû íåðàâåíñòâàm1 ≤ q(x) ≤ m2 , ãäå m1 = 0 è m2 = 1/20.Èìååì I = Eζ = Eq(ξ), ãäå ξ = (ξ (1) , ξ (2) , ξ (3) , ξ (4) ), ïðè÷åì êîìïîíåíòû ξ (j) , j = 1, 2, 3, 4 íåçàâèñèìû.
Êîìïîíåíòû ξ (1) , ξ (2) èìåþòòàáëè÷íûå (ýêñïîíåíöèàëüíûå) ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïàðàìåòðàìè λ = 4 èλ = π ñîîòâåòñòâåííî (ñì. çàìå÷àíèå 13.3), è äëÿ ðåàëèçàöèè âûáî(1) (2)ðî÷íûõ çíà÷åíèé ξi , ξi ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó (13.13). Êîìïîíåíòà ξ (3) òàêæå èìååò òàáëè÷íîå (ðàâíîìåðíîå) ðàñïðåäåëåíèå íàèíòåðâàëå (0, 1), è äëÿ ðåàëèçàöèè ñîîòâåòñòâóþùèõ âûáîðî÷íûõ çíà(1)÷åíèé ξi ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó (13.16). Äëÿ êîìïîíåíòû ξ (4)íåñëîæíî âûâåñòè ôîðìóëó ìåòîäà îáðàòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ:R ξi(4)(4)(4)cos x(4) dx(4) = α4,i , èëè sin ξi = α4,i , èëè ξi = arcsin α4,i .0Ïîëó÷àåì ñëåäóþùèé àëãîðèòì âûáîðêè ïî âàæíîñòè.Ðåàëèçóåì âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ êîìïîíåíò âåêòîðà ξ ïî ôîðìó(1)(2)(3)(4)ëàì: ξi = (− ln α1,i )/10, ξi = (− ln α2,i )/π, ξi = α3,i , ξi = arcsin α4,i ,ãäå i = 1, .
. . , n, à αj ðåàëèçàöèè ñòàíäàðòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûα, è ïðèáëèæåííî âû÷èñëÿåì!n11 Xarcsin.I≈(1) (2) 2 (3) 3 (4) 410πn i=11+ξξξξiiiiÑïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî Dζ ≤ (m2 − m1 )2 /4 ≈ 6.25 × 10−4 . Ýòî äîñòàòî÷íî ìàëàÿ âåëè÷èíà è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðåäëîæåííûé àëãîðèòìâûáîðêè ïî âàæíîñòè ýôôåêòèâåí.ÇÀÄÀ×À È3 (1.5 áàëëà). Ñôîðìóëèðóéòå ìåòîä âûáîðêè ïî âàæíîñòè è ïðîäåìîíñòðèðóéòå åãî íà ïðèìåðå âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëàZ1Z+∞Z1Z1I=cos0000π x(1)2×arctg (x(1) )2 x(2) + (x(3) )3 (x(4) )4(2)e−2x(x(3) )3 ×!dx(1) dx(2) dx(3) dx(4) .Îöåíèòå äèñïåðñèþ ñîîòâåòñòâóþùåé îöåíêè.ÐÅØÅÍÈÅ.
 êà÷åñòâå ïëîòíîñòè f (x) âûáèðàåìf (x) = f (x(1) , x(2) , x(3) , x(4) ) =πcos297π x(1)2(2)× (2e−2x )×(4(x(3) )3 )×1,0 < x(1) < 1; x(2) > 0; 0 < x(3) < 1; 0 < x(4) < 1. Ôóíêöèÿq(x) = g(x)/f (x) èìååò âèäq(x) = q(x(1) , x(2) , x(3) , x(4) ) =1× arctg (x(1) )2 x(2) + (x(3) )3 (x(4) )4 .4πÒ. ê. 0 < arctg u < π/2 ïðè u > 0, òî âûïîëíåíû íåðàâåíñòâàm1 ≤ q(x) ≤ m2 , ãäå m1 = 0 è m2 = 1/8.Èìååì I = Eζ = Eq(ξ), ãäå ξ = (ξ (1) , ξ (2) , ξ (3) , ξ (4) ), ïðè÷åì êîìïîíåíòû ξ (j) , j = 1, 2, 3, 4 íåçàâèñèìû. Äëÿ êîìïîíåíòû ξ (1) íåñëîæíî âûâåñòè ôîðìóëó ìåòîäà îáðàòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ (ñì.
âûêëàäêè(1)(16.22)): ξi = (2/π) arcsin α1,i . Êîìïîíåíòà ξ (2) èìååò òàáëè÷íîå (ýêñïîíåíöèàëüíîå) ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì λ = 2, è äëÿ ðåàëèçàöèè(2)ñîîòâåòñòâóþùèõ âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé ξi ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü ôîð(3)ìóëó (13.13). Êîìïîíåíòà ξ èìååò òàáëè÷íîå (ñòåïåííîå) ðàñïðåäåëå(3)íèå (ñì. çàìå÷àíèå 13.3), è äëÿ ðåàëèçàöèè âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé ξiñëåäóåò èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó (13.15). Êîìïîíåíòà ξ (4) òàêæå èìååòòàáëè÷íîå (ðàâíîìåðíîå) ðàñïðåäåëåíèå, è äëÿ ðåàëèçàöèè ñîîòâåòñòâó(4)þùèõ âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé ξi ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó (13.16).Ïîëó÷àåì ñëåäóþùèé àëãîðèòì âûáîðêè ïî âàæíîñòè.Ðåàëèçóåì âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ êîìïîíåíò âåêòîðà ξ ïî ôîðìó√(4)(1)(2)(3)ëàì: ξi = (2/π) arcsin α1,i , ξi = (− ln α2,i )/2, ξi = 4 α3,i , ξi = α4,i ,ãäå i = 1, .
. . , n, à αj ðåàëèçàöèè ñòàíäàðòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûα, è ïðèáëèæåííî âû÷èñëÿåìn1 X(1) 2 (2)(3) 3 (4) 4I≈arctg ξiξi + ξiξi.4πn i=1Ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî Dζ ≤ (m2 − m1 )2 /4 ≈ 3.91 × 10−3 . Ýòî äîñòàòî÷íî ìàëàÿ âåëè÷èíà è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðåäëîæåííûé àëãîðèòìâûáîðêè ïî âàæíîñòè ýôôåêòèâåí.98Ïðèëîæåíèå 2Ýêçàìåíàöèîííûå áèëåòûÁèëåò 11. Çàäà÷à ïî òåìå ¾Ìîäåëèðîâàíèå ñëó÷àéíîãî âåêòîðà¿.2. Âû÷èñëåíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè ìåòîäîìÌîíòå-Êàðëî.Áèëåò 21. Çàäà÷à ïî òåìå ¾Ìîäåëèðîâàíèå ñëó÷àéíîãî âåêòîðà¿.2. Âû÷èñëåíèå èíòåãðàëà ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî.Áèëåò 31. Çàäà÷à ïî òåìå ¾Ìîäåëèðîâàíèå ñëó÷àéíîãî âåêòîðà¿.2. Ïîãðåøíîñòü è òðóäîåìêîñòü ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî.Áèëåò 41. Çàäà÷à ïî òåìå ¾Ìåòîä îáðàòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ¿.2. Ìåòîä âûáîðêè ïî âàæíîñòè.Áèëåò 51.
Çàäà÷à ïî òåìå ¾Ìåòîä äèñêðåòíîé ñóïåðïîçèöèè¿.2. Ìåòîäû óìåíüøåíèÿ äèñïåðñèè (îñíîâíûå èäåè): âûäåëåíèå ãëàâíîé ÷àñòè, èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòè îáëàñòè, âûáîðêà ïî ãðóïïàì.Áèëåò 61. Çàäà÷à ïî òåìå ¾Ìåòîä äèñêðåòíîé ñóïåðïîçèöèè¿.2. Ñëó÷àéíûå ýëåìåíòû â çàäà÷àõ òåîðèè ïåðåíîñà.Áèëåò 71. Çàäà÷à ïî òåìå ¾Ìåòîä èñêëþ÷åíèÿ¿.2. Èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ðîäà, ðÿä Íåéìàíà. Ëèíåéíûéôóíêöèîíàë, êàê èíòåãðàë áåñêîíå÷íî âîçðàñòàþùåé êðàòíîñòè.Áèëåò 81. Çàäà÷à ïî òåìå ¾Ìåòîä èñêëþ÷åíèÿ¿.2.
Îäíîðîäíàÿ öåïü Ìàðêîâà, îáðûâàþùàÿñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà, è åå ìîäåëèðîâàíèå.Áèëåò 91. Çàäà÷à ïî òåìå ¾Ìåòîä èñêëþ÷åíèÿ¿.2. Îöåíêà ïî ñòîëêíîâåíèÿì äëÿ âû÷èñëåíèÿ ëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà îò ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ðîäà. Ïðÿìîå ìîäåëèðîâàíèå. Ëîêàëüíûå îöåíêè.99Áèëåò 101. Çàäà÷à ïî òåìå ¾Ìåòîä èñêëþ÷åíèÿ¿.2. Ôèçè÷åñêèå äàò÷èêè ñëó÷àéíûõ ÷èñåë è ãåíåðàòîðû ïñåâäîñëó÷àéíûõ ÷èñåë. Ìåòîä âû÷åòîâ è åãî ñâîéñòâà.Áèëåò 111. Çàäà÷à ïî òåìå ¾Âûáîðêà ïî âàæíîñòè¿.2.
Ñòàíäàðòíûé ìåòîä ìîäåëèðîâàíèÿ äèñêðåòíûõ ðàñïðåäåëåíèé èåãî òðóäîåìêîñòü.Áèëåò 121. Çàäà÷à ïî òåìå ¾Âûáîðêà ïî âàæíîñòè¿.2. Ìîäåëèðîâàíèå ðàâíîìåðíîãî äèñêðåòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Êâàíòèëüíûé ìåòîä.Áèëåò 131. Çàäà÷à ïî òåìå ¾Âûáîðêà ïî âàæíîñòè¿.2. Ìåòîä îáðàòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Êîíñòðóèðîâàíèå ìîäåëèðóåìûõ ïëîòíîñòåé.Áèëåò 141. Çàäà÷à ïî òåìå ¾Ìåòîä äèñêðåòíîé ñóïåðïîçèöèè¿.2. Ìîäåëèðîâàíèå ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ. Êîíñòðóèðîâàíèå äâóìåðíîãî ìîäåëèðóåìîãî âåêòîðà ñ çàâèñèìûìè êîìïîíåíòàìè.Áèëåò 151.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
