1626435387-cbed9341b165fae9f16c4a05686b9115 (844203), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Íàïîìíèì, ÷òî ýòà ôóíêöèÿ áûëà ïðåäúÿâëåíà âðàçä. 13 êàê ïðèìåð ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ, íå ÿâëÿþùåãîñÿ ýëåìåíòàðíûì (â ñìûñëå âîçìîæíîñòè ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà îáðàòíîé ôóíêöèèðàñïðåäåëåíèÿ) ñì. ôîðìóëó (13.9).ÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈÅ 17.2. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíûppγ1 = −2 ln α1 sin 2πα2 , γ2 = −2 ln α1 cos 2πα2 ,(17.2)ãäå (α1 , α2 ) ïàðà íåçàâèñèìûõ ñòàíäàðòíûõ ñëó÷àéíûõ ÷èñåë, ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè è ðàñïðåäåëåííûìè ñîãëàñíî ïëîòíîñòè (17.1).87ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Âåêòîð (γ1 , γ2 ), ðàññìàòðèâàåìûé â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ (u, v), â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ√ (r, t), ãäå u = r sin t,v = r cos t, èìååò âèä (ρ0 , ϕ0 ), ïðè÷åì ρ0 = −2 ln α1 è ϕ0 = 2πα2 .Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ρ ðàâíà√22Fρ (r) = P−2 ln α < r = P(α > e−r /2 ) = 1 − e−r /2 ;çäåñü r > 0.
Äèôôåðåíöèðóÿ ïîñëåäíþþ ôóíêöèþ ïî r, ïîëó÷àåì ïëîò2íîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ fρ (r) = re−r /2 , r > 0. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ϕèìååò ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà èíòåðâàëå (0, 2π) ñ ïëîòíîñòüþfϕ (t) ≡ 1/(2π), 0 < t < 2π . Ñîâìåñòíàÿ ïëîòíîñòü íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ρ, ϕ) èìååò âèä2re−r /2, r > 0, 0 < t < 2π.fρ,ϕ (r, t) =2π√Çàìåòèì, ÷òî r = u2 + v 2 . Ñîãëàñíî òåîðåìå î çàìåíå ñëó÷àéíûõ ïåðåìåííûõ (ñì. óòâåðæäåíèå 13.1), ó÷èòûâàÿ, ÷òî ÿêîáèàí J(r, t) ïåðåõîäàîò ïîëÿðíûõ êîîðäèíàò (r, t) ê äåêàðòîâûì ðàâåí 1/r, ïîëó÷àåì, ÷òîïëîòíîñòü ñëó÷àéíîãî âåêòîðà (γ1 , γ2 ) èìååò âèäf(γ1 ,γ2 ) (u, v) = f(ρ,θ) (r(u, v), t(u, v)) J(r(u, v), t(u, v)) =√=2u2 + v 2 × e−(u +v√2π u2 + v 22)/222e−v /2e−u /2× √.= √2π2πÈç ïîñëåäíåãî ñîîòíîøåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû γ1 è γ2íåçàâèñèìû è èìåþò ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå (17.1).Óòâåðæäåíèå 17.2 äîêàçàíî.Çàìåòèì, ÷òî ïàðà (sin 2πα2 , cos 2πα2 ) îáðàçóåò äâóìåðíûé èçîòðîïíûé âåêòîð (ñì., íàïðèìåð, [1]).
Êðîìå òîãî, êâàäðàò äëèíû äâóìåðíîãîâåêòîðà (17.2), ðàâíûé γ12 + γ22 = −2 ln α1 , èìååò ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì λ = 1/2 (ñì. ôîðìóëû (13.1), (13.3)).88Ïðèëîæåíèå 1Êîíñòðóèðîâàíèå è ðåøåíèå ýêçàìåíàöèîííûõçàäà÷ ïî òåìå ¾Âûáîðêà ïî âàæíîñòè¿Íàïîìíèì (ñì. ðàçä. 25), ÷òî ñòàíäàðòíûéàëãîðèòì ìåòîäà ÌîíòåRÊàðëî äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà I = g(x) dx ñîñòîèò â ïðåäñòàâëåíèèåãî â âèäå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿZg(ξ)g(x)f (x) dx = Eζ, ζ = q(ξ) =, x, ξ ∈ RdI=f (x)f (ξ)(çäåñü âåêòîð ξ èìååò ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿPn f (x)) è ïðèáëèæåíèè Iíà îñíîâå çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë: I ≈ (1/n) i=1 ζi ; çäåñü ζj = q(ξ j ) ïîëó÷àåìûå íà ÝÂÌ âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ζ . Ïðèôèêñèðîâàííîì óðîâíå ïîãðåøíîñòè çàòðàòû ýòîãî àëãîðèòìà ïðîïîðöèîíàëüíû âåëè÷èíå S = t × Dζ , ãäå t ñðåäíåå âðåìÿ ÝÂÌ äëÿ ðåàëèçàöèè îäíîãî âûáîðî÷íîãî çíà÷åíèÿ ζj (ýòî âðåìÿ, â ñâîþ î÷åðåäü,çàâèñèò îò çàòðàò íà ðåëèçàöèþ âûáîðî÷íîãî çíà÷åíèÿ ξ j ñëó÷àéíîãîâåêòîðà ξ ñîãëàñíî ïëîòíîñòè f (x)).
Ïðè âûáîðå ïëîòíîñòè f (x) ñëåäóåòìèíèìèçèðîâàòü âåëè÷èíó S , ò. å. òðåáóåòñÿ, ÷òîáû: âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ ξj ðåàëèçîâûâàëèñü íà ÝÂÌ äîñòàòî÷íîáûñòðî; äèñïåðñèÿ Dζ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ζ áûëà ìàëà.Áîëüøèíñòâî ìîäèôèêàöèé ñòàíäàðòíîãî àëãîðèòìà ìåòîäà ÌîíòåÊàðëî ñâÿçàíî ñ óìåíüøåíèåì äèñïåðñèè Dζ (ñì. ðàçä. 4, 5). Äèñïåðñèÿ,â ÷àñòíîñòè, áóäåò òåì ìåíüøå,÷åì áëèæå ïëîòíîñòü f (x) ê ïëîòíîñòèRâèäà |g(x)|/I˜ (çäåñü I˜ = |g(x)| dx; ïðè g(x) ≥ 0 âåëè÷èíà I˜ ñîâïàäàåòñ I ); íà ýòîì îñíîâàí ìåòîä ñóùåñòâåííîé âûáîðêè èëè âûáîðêè ïîâàæíîñòè (ñì. ðàçä.
4). Òåõíîëîãèÿ ñîçäàíèÿ ïðèìåðîâ èíòåãðàëîâ, äëÿâû÷èñëåíèÿ êîòîðûõ öåëåñîîáðàçíî ïðèìåíÿòü âûáîðêó ïî âàæíîñòè,âî ìíîãîì ñõîæà ñ òåõíîëîãèåé 16.1.ÒÅÕÍÎËÎÃÈß Ï1. Êîíñòðóèðóåì ýôôåêòèâíî ìîäåëèðóåìóþïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ f (x) âåêòîðà ξ (êàê ïðàâèëî, êîìïîíåíòûýòîãî âåêòîðà áåðóòñÿ íåçàâèñèìûìè èëè ïîïàðíî çàâèñèìûìè ñì.ïîäðàçä. 14.5) è âûáèðàåì ôóíêöèþ q(x), çàêëþ÷åííóþ ìåæäó áëèçêèìè ïîëîæèòåëüíûìè êîíñòàíòàìè: 0 < m1 ≤ q(x) ≤ m2 (ò.
å. ðàçíîñòü (m2 − m1 ) íåâåëèêà). Ñòàâèòñÿ çàäà÷à âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëàZI = g(x) dx, g(x) = f (x) × q(x).89Çäåñü íàäî ïîçàáîòèòüñÿ î òîì, ÷òîáû ïîëó÷àåìûé èíòåãðàë íå áðàëñÿ àíàëèòè÷åñêè (ò. å., êàê è â òåõíîëîãèè 17.1, óìíîæåíèå íà ôóíêöèþ q(x) äîëæíî ¾ïîðòèòü¿ ìîäåëèðóåìóþ ïëîòíîñòü f (x)).  ýòîìñëó÷àå â ñòàíäàðòíîì àëãîðèòìå ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî áåðåìζ = q(ξ). Ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 4.3, äèñïåðñèÿ Dζ îãðàíè÷åíà ñâåðõóâåëè÷èíîé (m2 − m1 )2 /4. äàííîì ïðèëîæåíèè ðàññìîòðåíû àëãîðèòìû âû÷èñëåíèÿ ÷åòûðåõêðàòíûõ èíòåãðàëîâ (ò. å.
d = 4). Ñîãëàñíî òåîðèè êóáàòóðíûõ ôîðìóë (ñì., íàïðèìåð, [5]), èìåííî íà÷èíàÿ ñ ýòîé ðàçìåðíîñòè ìåòîäûÌîíòå-Êàðëî íà÷èíàþò ïðåâîñõîäèòü ïî ýôôåêòèâíîñòè äåòåðìèíèðîâàííûå (ñåòî÷íûå) àëãîðèòìû ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ, ò. å. çäåñüïðåäïðèíÿòà ïîïûòêà ïîêàçàòü ¾ðåàëüíûå¿ çàäà÷è.ÏÐÈÌÅÐ Ï1 (2 áàëëà). Ðàññìîòðèì àëãîðèòì âûáîðêè ïî âàæíîñòèäëÿ âû÷èñëåíèÿ ÷åòûðåõêðàòíîãî èíòåãðàëàZ 1/(4π) Z +∞ Z +∞ Z +∞ x(2) + (x(3) )2 + (x(4) )2 ×exp −I=2−∞−∞00ssin3 (x(1) x(2) x(3) x(4) ) (1) (2) (3) (4)× 1+dx dx dx dx .12Çäåñü è äàëåå âåðõíèé è íèæíèé èíäåêñ ïðè ïåðâîì ñèìâîëå èíòåãðàëà îáîçíà÷àþò èíòåðâàë èçìåíåíèÿ ïåðåìåííîé x(1) , èíäåêñû ïðèâòîðîìqñèìâîëå èíòåãðàëà èíòåðâàë èçìåíåíèÿ x(2) è ò.
ä. Âîçüìåì1 + (1/12) sin3 (x(1) x(2) x(3) x(4) ) (çíà÷åíèÿ ýòîé ôóíêöèè çàêëþpp÷åíû ìåæäó m1 = 11/12 è m2 = 13/12), à â êà÷åñòâå ïëîòíîñòè f (x)âûáèðàåìq(x) =f (x) = f (x(1) , x(2) , x(3) , x(4) ) = e−(2)= (4π) ×e−x2(3) 2/2×e−(x√(4) 2) /22πx(2) +(x(3) )2 +(x(4) )22×e−(x√) /22π, 0 < x(1) <=1,4πx(2) > 0,−∞ < x(3) < +∞, −∞ < x(4) < +∞. Ïðè âûáîðå ïëîòíîñòè ó÷òåíû:çàìå÷àíèå 13.3, ñîîáðàæåíèÿ èç ïðèìåðà 14.3 è óòâåðæäåíèå 17.2.Èìååì I = Eζ = Eq(ξ), ãäå ξ = (ξ (1) , ξ (2) , ξ (3) , ξ (4) ), ïðè÷åì êîìïîíåíòû ξ (j) , j = 1, 2, 3, 4 íåçàâèñèìû.
Êîìïîíåíòà ξ (1) èìååò òàáëè÷íîå(ðàâíîìåðíîå) ðàñïðåäåëåíèå íà èíòåðâàëå (0, 1/(4π)) (ñì. çàìå÷àíèå(1)13.3), è äëÿ ðåàëèçàöèè ñîîòâåòñòâóþùèõ âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé ξi90ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó (13.16). Êîìïîíåíòà ξ (2) òàêæå èìååòòàáëè÷íîå (íà ñåé ðàç ýêñïîíåíöèàëüíîå) ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîìλ = 1/2, è äëÿ ðåàëèçàöèè ñîîòâåòñòâóþùèõ âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé(2)ξi ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó (13.13). Êîìïîíåíòû ξ (3) , ξ (4) èìåþòñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, è ïàðû âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé(3) (4)(ξi , ξi ) ìîæíî ïîëó÷àòü ïî ôîðìóëàì (17.2).
Ïîëó÷àåì ñëåäóþùèéàëãîðèòì âûáîðêè ïî âàæíîñòè.Ðåàëèçóåì âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ êîìïîíåíò âåêòîðà ξ ïî ôîðìó(1)(2)ëàì: ξi = α1,i /(4π), ξi = −2 ln α2,i ,pp(4)(3)ξi = −2 ln α3,i sin 2πα4,i , ξi = −2 ln α3,i cos 2πα4,i , i = 1, . . . , n,ãäå αj ðåàëèçàöèè ñòàíäàðòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû α, è ïðèáëèæåííî âû÷èñëÿåìsn(1) (2) (3) (4)X1sin3 (ξi ξi ξi ξi )I≈1+.n i=112Ò. ê. m1 ≈ 0.957 è m2 ≈ 1.041, òî Dζ ≤ (m2 − m1 )2 /4 ≈ 1.764 · 10−3 .
Ýòîäîñòàòî÷íî ìàëàÿ âåëè÷èíà è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðåäëîæåííûé àëãîðèòìâûáîðêè ïî âàæíîñòè ýôôåêòèâåí.ÏÐÈÌÅÐ Ï2 (2.5 áàëëà). Ðàññìîòðèì àëãîðèòì âûáîðêè ïî âàæíîñòè äëÿ âû÷èñëåíèÿ ÷åòûðåõêðàòíîãî èíòåãðàëàZ1Z1Z1ZI=00001(4)(4)(1)96e (x(1) )2 (x(3) )3 x(4) e−x (x +x(e − 1)((x(3) )4 + 1)2x(2) x(3) )dx,ãäå dx = dx(1) dx(2) dx(3) dx(4) . Âîçüìåì q(x) = q(x(1) , x(2) , x(3) , x(4) ) =exp(−x(1) x(2) x(3) x(4) ) (çíà÷åíèÿ ýòîé ôóíêöèè çàêëþ÷åíû ìåæäóm1 = 1/e ≈ 0.368 è m2 = 1), à â êà÷åñòâå ïëîòíîñòè f (x) âûáèðàåì!(4) 28(x(3) )32e x(4) e−(x )(1) 2(2)f (x) = 3(x ) × 2x××,e−1((x(3) )4 + 1)2ãäå 0 < x(j) < 1; j = 1, 2, 3, 4. Ïðè âûáîðå ïëîòíîñòè ó÷òåíû: çàìå÷àíèå13.3 è ñîîáðàæåíèÿ èç ïðèìåðà 14.3.Èìååì I = Eζ = Eq(ξ), ãäå ξ = (ξ (1) , ξ (2) , ξ (3) , ξ (4) ), ïðè÷åì êîìïîíåíòû ξ (j) , j = 1, 2, 3, 4 íåçàâèñèìû.
Êîìïîíåíòû ξ (1) , ξ (2) èìåþò òàáëè÷íîå (ñòåïåííîå) ðàñïðåäåëåíèå (ñì. ïðèìåð 13.2 è çàìå÷àíèå 13.3),91(1)(2)è äëÿ ðåàëèçàöèè ñîîòâåòñòâóþùèõ âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé ξi , ξiäóåò èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó (13.15):(1)ξi=√3α1,i ,(2)ξi=√α2,i .ñëå-(P 1)Ôîðìóëà ìåòîäà îáðàòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ âûáîðî÷íûõ(3)çíà÷åíèé ξi ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ (3) ïîëó÷àåòñÿ èç öåïî÷êè ðàâåíñòâZ0(3)ξiξi(3)28(x(3) )3 dx(3)2= α3,i , 2 − (3)=α,−= α3,i3,i(3)42(3)4((x ) + 1)(x ) + 1 (ξi )4 + 10è, íàêîíåö,α3,i.(P 2)2 − α3,ip(3)Ïðîâåðêà 13.1 ïðè α3,i = 0 äàåò ξi = 4 0/(2 − 0) = 0, à ïðè α3,i = 1p(3)èìååì ξi = 4 1/(2 − 1) = 1.Ôîðìóëà ìåòîäà îáðàòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ âûáîðî÷íûõ(4)çíà÷åíèé ξi ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ (4) ïîëó÷àåòñÿ èç öåïî÷êè ðàâåíñòâ(3)ξiZ(4)ξi0r=4(4) 22e x(4) e−(x ) dx(4)= α4,i ,e−1è, íàêîíåö,(4) 2ee1−(ηi )−= α4,ie−1e−1q− ln(1 − α4,i + α4,i /e).(P 3)p(4)Ïðîâåðêà 13.1 ïðè α4,i = 0 äàåò ξi = − ln(1 − 0 + 0/e) = 0, à ïðèp(3)α4,i = 1 èìååì ξi = − ln(1 − 1 + 1/e) = 1.Ïîëó÷àåì ñëåäóþùèé àëãîðèòì âûáîðêè ïî âàæíîñòè.(1) (2) (3) (4)Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (P1)(P3), ðåàëèçóåì çíà÷åíèÿ ξi , ξi , ξi , ξiPn(1) (2) (3) (4)è ïðèáëèæåííî âû÷èñëÿåì I ≈ (1/n) j=1 exp(−ξi ξi ξi ξi ).Ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî Dζ ≤ (m2 − m1 )2 /4 ≈ 0.010.
Ýòî äîñòàòî÷íî ìàëàÿ âåëè÷èíà è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðåäëîæåííûé àëãîðèòì âûáîðêèïî âàæíîñòè ýôôåêòèâåí.ÏÐÈÌÅÐ Ï3 (3 áàëëà). Ðàññìîòðèì àëãîðèòì âûáîðêè ïî âàæíîñòèäëÿ âû÷èñëåíèÿ ÷åòûðåõêðàòíîãî èíòåãðàëà!Z 1Z 1Z 1Z 16 (x(1) )2 (1 − (x(1) )2 )1/2 cos(x(1) x(2) ) (x(3) )2pI=×sin x(1) ln(1 + x(3) ) 9 + 16(x(3) )2 (1 + x(3) x(4) )0000(4)ηi=92×16 + (x(1) x(2) x(3) x(4) + 2)4dx(1) dx(2) dx(3) dx(4) .(x(1) x(2) x(3) x(4) + 2)2Âîçüìåìq(x) = q(x(1) , x(2) , x(3) , x(4) ) =16 + (x(1) x(2) x(3) x(4) + 2)41= w2 + 2 ,(1)(2)(3)(4)2w4 (x x x x + 2)ãäå w = (x1 x2 x3 x4 + 2)/2. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî w ∈ (1; 1.5) è ÷òî ôóíêöèÿ t(w) = w2 + 1/w2 âîçðàñòàåò íà ýòîì ïðîìåæóòêå (äåéñòâèòåëüíî,t0 (w) = 2w − 2/w3 = 2(w − 1)(w + 1)(w2 + 1)/w3 > 0), èìååì m1 = 2 èm2 = 9/4 + 4/9 = 97/36.
 êà÷åñòâå ïëîòíîñòè f (x) âûáèðàåìx(1) cos(x(1) x(2) )(1)(1) 2 1/2×f (x) = (3 x (1 − (x ) ) ) ×sin x(1)!x(3)2 x(3)×, 0 < x(j) < 1;× pln(1 + x(3) )(1 + x(3) x(4) )(x(3) )2 + (3/4)2j = 1, 2, 3, 4. Ïðè âûáîðå ïëîòíîñòè ó÷òåíû ñîîáðàæåíèÿ èç ïîäðàçä.14.5. Èìååì I = Eζ = Eq(ξ), ãäå ξ = (ξ (1) , ξ (2) , ξ (3) , ξ (4) ), ïðè÷åì êîìïîíåíòû ξ (1) , ξ (2) è ξ (3) , ξ (4) ïîïàðíî çàâèñèìû.Ôîðìóëà ìåòîäà îáðàòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ âûáîðî÷íûõ(1)çíà÷åíèé ξi ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ (1) ïîëó÷àåòñÿ èç öåïî÷êè ðàâåíñòâZ(1)ξi(1)3 x(1) (1 − (x(1) )2 )1/2 dx(1) = α1,i , 1 − (1 − (ξi )2 )3/2 = α1,i0è, íàêîíåö,q0 )2/3 , α0 = 1 − α .1 − (α1,i(P 4)1,i1,i√(1)0Ïðîâåðêà 13.1 ïðè α1,i = 0 äàåò α1,i= 1 è ξi = 1 − 12/3 = 0, à ïðè√(1)0α1,i = 1 èìååì α1,i= 0 è ξi = 1 − 02/3 = 1.Ôîðìóëà ìåòîäà îáðàòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ âûáîðî÷íûõ(2)çíà÷åíèé ξi ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ (2) ïîëó÷àåòñÿ èç öåïî÷êè ðàâåíñòâ(1)ξiZ(2)ξi0(1)ξi=(1) (2)(1)cos(ξi x(2) ) dx(2)(1)sin ξi= α2,i ,è, íàêîíåö,sin(ξi ξi )(1)sin ξi= α2,i(1)(2)ξi=arcsin(α2,i sin ξi )(1)ξi93.(P 5)(2)(1)(1)Ïðîâåðêà 13.1 ïðè α2,i = 0 äàåò ξi = (1/ξi ) arcsin(0 × sin ξi ) = 0, à(2)(1)(1)(1) (1)ïðè α2,i = 1 èìååì ξi = (1/ξi ) arcsin(1 × sin ξi ) = ξi /ξi = 1.Ôîðìóëà ìåòîäà îáðàòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ âûáîðî÷íûõ(3)çíà÷åíèé ξi ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ (3) ïîëó÷àåòñÿ èç öåïî÷êè ðàâåíñòâ(3)ξiZ2 x(3) dx(3)p= α3,i , 2(x(3) )2 + (3/4)20q(3) 22(ξi ) + (3/4) − 3/4 = α3,iè, íàêîíåö,pα3,i (3 + α3,i )=.(P 6)2p(3)Ïðîâåðêà 13.1 ïðè α3,i = 0 äàåò ξi = (1/2) 0(3 + 0) = 0, à ïðè α3,i = 1p(2)èìååì ξi = (1/2) 1(3 + 1) = 1.Ôîðìóëà ìåòîäà îáðàòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ âûáîðî÷íûõ(4)çíà÷åíèé ξi ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ (4) ïîëó÷àåòñÿ èç öåïî÷êè ðàâåíñòâ(3)ξi(4)(3)ξiZ0ξi(3) (4)dx(4)(3)(3)ln(1 + ξi )(1 + ξi x(4) )= α4,i ,è, íàêîíåö,ln(1 + ξi ξi )(3)ln(1 + ξi )= α4,i(3)ξ4,i =exp(α4,i (ln(1 + ξi )) − 1(3).(P 7)ξiÏðîâåðêà 13.1 ïðè α4,i = 0 äàåò(4)ξi(3)(3)= (1/ξi ) (exp(0 × ln(1 + ξi )) − 1) = 0,à ïðè α4,i = 1 èìååì(4)ξi(3)(3)(3)= (1/ξi ) (exp(0 × ln(1 + ξi )) − 1) = (1 + ξi(3)− 1)/ξi= 1.Ïîëó÷àåì ñëåäóþùèé àëãîðèòì âûáîðêè ïî âàæíîñòè.(1) (2) (3) (4)Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (P4)(P7), ðåàëèçóåì çíà÷åíèÿ ξi , ξi , ξi , ξiè ïðèáëèæåííî âû÷èñëÿåìn 1 X 1(1) (2) (3) (4)I≈+ θi , ãäå θi = (ξi ξi ξi ξi + 2)2 /4.n i=1 θiÑïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî Dζ ≤ (m2 − m1 )2 /4 ≈ 0.120.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
