1626435387-cbed9341b165fae9f16c4a05686b9115 (844203), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Ïðîâåðêà 13.1 ïðè α0 = 0 äà√åò ξ0√ =10 tg(0 × arctg(1/10))= 0, à ïðè α0 = 1 èìååì√ξ0 = 10 tg(1 × arctg(1/ 10)) = 1.Òîãäà ïîëó÷àåì ñëåäóþùèé àëãîðèòì ìåòîäà èñêëþ÷åíèÿ.√√(1)1. Ðåàëèçóåìâûáîðî÷íûåçíà÷åíèÿ ξ0 = 10 tg(α1 arctg(1/ 10)) è.(1)(ξ0 )2 + 10 .η0 = α2(1)2. Ïðîâåðÿåì íåðàâåíñòâî η0 < g(ξ0 ) èëè(1)(1)(1)α2 (ξ0 )2 lg(ξ0 + 10) + 10 < (ξ0 )2 + 10.Åñëè ýòî íåðàâåíñòâî âûïîëíåíî, òî ïîëàãàåì, ÷òî âûáîðî÷íîå çíà(1)÷åíèå ξ0 ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ðàâíî ξ0 = ξ0 , èíà÷å ïîâòîðÿåì ï. 1è ò. ä.Ñîãëàñíî ñîîòíîøåíèÿì (16.13) è (16.15), âåëè÷èíà s èç ðàâåíñòâà(16.5) äëÿ ïîñòðîåííîãî àëãîðèòìà îöåíèâàåòñÿ ñâåðõó âåëè÷èíîés < (lg 11 + 10)/11 ≈ 1.004.ÏÐÈÌÅÐ 16.4 (2 áàëëà). Ðàññìîòðèì äâóìåðíûé ñëó÷àéíûé âåêòîðξ = (µ, ν), èìåþùèé ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ f (u, v), ïðîïîðöèîíàëüíóþ ôóíêöèèππ(16.17)g(u, v) = eu ev (sin u + sin v), 0 < u < , 0 < v < .22Âûêëàäêè, àíàëîãè÷íûå (16.7), ïîêàçûâàþò, ÷òîZ π/2 Z π/2Ḡ =g(u, v) du dv = (eπ/2 − 1)(eπ/2 + 1)0(16.18)0(ïðîâåðüòå ýòî!) è ÷òî íè îäíî èç ïðåäñòàâëåíèé (14.2) è (14.3) ïëîòíîñòèππeu ev (sin u + sin v), 0<u< , 0<v<f (u, v) =(eπ − 1)22íå äàåò ýôôåêòèâíûõ àëãîðèòìîâ ìîäåëèðîâàíèÿ êîìïîíåíò µ è ν .
Ïîàíàëîãèè ñ ïðèìåðîì 16.1 â êà÷åñòâå ìàæîðàíòû ôóíêöèè (16.17) áåðåìg(u, v) ≤ g̃1 (u, v) = 2 eu ev , ò. å. Y (u, v) =sin u + sin v.2Ïðè ýòîìḠ(1) = 2(eπ/2 − 1)2 è f (1) (u, v) =82euev×,eπ/2 − 1 eπ/2 − 1(16.19)ãäå 0 < u < π/2, 0 < v < π/2, ò. å. ñîîòâåòñòâóþùèé âåêòîðξ (1) = (µ(1) , ν (1) ) èìååò íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå êîìïîíåíòû ñ ýëåìåíòàðíûìè ðàñïðåäåëåíèÿìè (ñì. âûêëàäêè (15.16)).
Òîãäàïîëó÷àåì ñëåäóþùèé àëãîðèòì ìåòîäà èñêëþ÷åíèÿ.(1)1. Ðåàëèçóåì âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ µ0 = ln(1 + (eπ/2 − 1)α1 ),(1)π/2ν0 = ln(1 + (e− 1)α2 ), à òàêæå(1)(1)η0 = 2 α3 eµ0 eν0 = 2 α3 (1 + (eπ/2 − 1)α1 ) (1 + (eπ/2 − 1)α2 ).(1)(1)2. Ïðîâåðÿåì íåðàâåíñòâî η0 < g(µ0 , ν0 ) èëè(1)(1)2α3 < sin µ0 + sin ν0 .Åñëè ýòî íåðàâåíñòâî âûïîëíåíî, òî ïîëàãàåì, ÷òî âûáîðî÷íûå çíà(1)(1)÷åíèÿ µ0 , ν0 ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí µ è ν ðàâíû µ0 = µ0 , ν0 = ν0 , èíà÷åïîâòîðÿåì ï. 1 è ò. ä.Èç ñîîòíîøåíèé (16.5), (16.18) è (16.19) ñëåäóåò, ÷òî òðóäîåìêîñòüýòîãî àëãîðèòìà ïðîïîðöèîíàëüíà âåëè÷èíå s = 2(eπ/2 − 1)/(eπ/2 + 1),ò. å. s ≈ 1.3.ÐÅØÅÍÈÅ ÝÊÇÀÌÅÍÀÖÈÎÍÍÛÕ ÇÀÄÀ×ÏÎ ÒÅÌÅ ¾ÌÅÒÎÄ ÈÑÊËÞ×ÅÍÈß¿Ýêçàìåíàöèîííûå çàäà÷è ïî òåìå ¾Ìîäåëèðîâàíèåå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ìåòîäîì èñêëþ÷åíèÿ¿ ñêîíñòðóèðîâàíû ñîãëàñíî òåõíîëîãèè16.1. Êàê ïðàâèëî, ñòàâèòñÿ çàäà÷à ìîäåëèðîâàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, èìåþùåé ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ, ïðîïîðöèîíàëüíóþ ôóíêöèè âèäà g(u) = Y (u) × g̃ (1) (u), ãäå ôóíêöèÿ g̃ (1) (u) ïðîïîðöèîíàëüíà ïðîñòîé (êîíêðåòíåå òàáëè÷íîé ñì.
çàìå÷àíèå 13.3) ïëîòíîñòèf (1) (u) = g̃ (1) (u)/G̃(1) (è ìîæíî èñïîëüçîâàòü ôîðìóëû (13.3) è (13.5)áåç ñîîòâåòñòâóþùåé ïðîâåðêè 13.1), à ôóíêöèÿ Y (u) ëåãêî îöåíèâàåòñÿ ñâåðõó è ñíèçó ïîëîæèòåëüíûìè ÷èñëàìè: 0 < A ≤ Y (u) ≤ B . êà÷åñòâå ìàæîðàíòû öåëåñîîáðàçíî âçÿòü g (1) (u) = Bg̃ (1) (u). Âåëè÷èíà s, ïðîïîðöèîíàëüíàÿ òðóäîåìêîñòè ñîîòâåòñòâóþùåãî ìåòîäà èñêëþ÷åíèÿ, îöåíèâàåòñÿ ñâåðõó âåëè÷èíîé s ≤ B/A.83ÇÀÄÀ×À Ä1 (1.5 áàëëà). Ñôîðìóëèðóéòå ìåòîä èñêëþ÷åíèÿ è ïðîäåìîíñòðèðóéòå åãî íà ïðèìåðå ìîäåëèðîâàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ,èìåþùåé ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ f (u), ïðîïîðöèîíàëüíóþ ôóíêöèèarcsin ug(u) = 2 +u3 , 0 < u < 1.5πÎöåíèòå ñâåðõó òðóäîåìêîñòü ìåòîäà.ÐÅØÅÍÈÅ. Íåñëîæíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ïëîòíîñòü f (u) íå ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòàðíîé.
Çàìåòèì, ÷òî g(u) = Y (u) × g̃ (1) (u), ãäå g̃ (1) (u) = u3è Y (u) = 2 + (arcsin u)/(5π), ïðè÷åì, â ñèëó ìîíîòîííîñòè ôóíêöèèarcsin u íà èíòåðâàëå (0, 1), âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî 2 < Y (u) < 2.1. ÒîR1ãäà g(u) < g (1) (u) = 2.1 u3 . Âû÷èñëèì èíòåãðàë Ḡ(1) = 0 g (1) (u) du =2.1/4. Ïëîòíîñòü, ïðîïîðöèîíàëüíàÿ ìàæîðàíòå g (1) (u), ÿâëÿåòñÿ òàáëè÷íîé (ñòåïåííîé): f (1) (u) = 4u3 , 0 < u < 1 (ñì. ïðèìåð 13.2 è çà√(1)ìå÷àíèå 13.3); ñîîòâåòñòâóþùàÿ ìîäåëèðóþùàÿ ôîðìóëà: ξ0 = 4 α0 .Ñôîðìóëèðóåì ñîîòâåòñòâóþùèé àëãîðèòì ìåòîäà èñêëþ÷åíèÿ.√(1)(1)1. Ðåàëèçóåì âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå ξ0 ïî ôîðìóëå ξ0 = 4 α1 , à(1)(1)(1)òàêæå âåëè÷èíó η0 = α2 g (1) (ξ0 ) = 2.1 α2 (ξ0 )3 .
Òî÷êà (ξ0 , η0 ) ðàâ(1)íîìåðíî ðàñïðåäåëåíà â ¾ïîäãðàôèêå¿ ìàæîðàíòû g (u).(1)2. Ïðîâåðÿåì íåðàâåíñòâî η0 < g(ξ0 ) èëè√10.5 π α2 < 10π + arcsin 4 α1 .(16.20)(1)Åñëè ýòî íåðàâåíñòâî âûïîëíåíî, òî òî÷êà (ξ0 , η0 ) ïðèíàäëåæèò¾ïîäãðàôèêó¿ ôóíêöèè g(u) è ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîé âýòîì ìíîæåñòâå. Òîãäà â êà÷åñòâå âûáîðî÷íîãî çíà÷åíèÿ ξ0 ñëó÷àéíîé(1)âåëè÷èíû ξ áåðåì ξ0 = ξ0 . Åñëè æå íåðàâåíñòâî (16.20) íå âûïîëíåíî,òî ïîâòîðÿåì ï. 1 è ò. ä.(1)Òðóäîåìêîñòü s (ò. å.
ñðåäíåå ÷èñëî ïîïûòîê ðîçûãðûøà ïàð (ξ0 , η0 )äî âûïîëíåíèÿ íåðàâåíñòâà (16.20)) îöåíèâàåòñÿ ñâåðõó âåëè÷èíîés < 2.1/2 = 1.05.ÇÀÄÀ×À Ä2 (1.5 áàëëà). Ñôîðìóëèðóéòå ìåòîä èñêëþ÷åíèÿ è ïðîäåìîíñòðèðóéòå åãî íà ïðèìåðå ìîäåëèðîâàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ,èìåþùåé ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ f (u), ïðîïîðöèîíàëüíóþ ôóíêöèèarctg ug(u) = 1 +e−2u , u > 0.5πÎöåíèòå ñâåðõó òðóäîåìêîñòü ìåòîäà.84ÐÅØÅÍÈÅ. Íåñëîæíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ïëîòíîñòü f (u) íå ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòàðíîé. Çàìåòèì, ÷òî g(u) = Y (u)×g̃ (1) (u), ãäå g̃ (1) (u) = e−2uè Y (u) = 1 + (arctg u)/(5π), ïðè÷åì, â ñèëó ìîíîòîííîñòè ôóíêöèèarctg u íà èíòåðâàëå (0, +∞), âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî 1 < Y (u) < 1.1.Òîãäà g(u) < g (1) (u) = 2.1 e−2u .
Íåñëîæíî âû÷èñëèòü èíòåãðàëR1Ḡ(1) = 0 g (1) (u) du = 1.1/2. Ïëîòíîñòü, ïðîïîðöèîíàëüíàÿ ìàæîðàíòå g (1) (u), ÿâëÿåòñÿ òàáëè÷íîé (ýêñïîíöèàëüíîé): f (1) (u) = 2e−2u , u > 0(ñì. ïðèìåð 13.1 è çàìå÷àíèå 13.3); ñîîòâåòñòâóþùàÿ ìîäåëèðóþùàÿ(1)ôîðìóëà: ξ0 = −(ln α0 )/2. Ñôîðìóëèðóåì ñîîòâåòñòâóþùèé àëãîðèòììåòîäà èñêëþ÷åíèÿ.(1)(1)1. Ðåàëèçóåì âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå ξ0 ïî ôîðìóëå ξ0 = −(ln α1 )/2,(1)(1)(1)à òàêæå âåëè÷èíó η0 = α2 g (1) (ξ0 ) = 1.1 α2 e−2ξ0 . Òî÷êà (ξ0 , η0 ) ðàâ(1)íîìåðíî ðàñïðåäåëåíà â ¾ïîäãðàôèêå¿ ìàæîðàíòû g (u).(1)2.
Ïðîâåðÿåì íåðàâåíñòâî η0 < g(ξ0 ) èëè5.5 π α2 < 5π + arctg(−(1/2) ln α1 ).(16.21)(1)Åñëè ýòî íåðàâåíñòâî âûïîëíåíî, òî òî÷êà (ξ0 , η0 ) ïðèíàäëåæèò¾ïîäãðàôèêó¿ ôóíêöèè g(u) è ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîé âýòîì ìíîæåñòâå. Òîãäà â êà÷åñòâå âûáîðî÷íîãî çíà÷åíèÿ ξ0 ñëó÷àéíîé(1)âåëè÷èíû ξ áåðåì ξ0 = ξ0 . Åñëè æå íåðàâåíñòâî (16.21) íå âûïîëíåíî,òî ïîâòîðÿåì ï. 1 è ò. ä.(1)Òðóäîåìêîñòü s (ò. å. ñðåäíåå ÷èñëî ïîïûòîê ðîçûãðûøà ïàð (ξ0 , η0 )äî âûïîëíåíèÿ íåðàâåíñòâà (16.21)) îöåíèâàåòñÿ ñâåðõó âåëè÷èíîés < 1.1.ÇÀÄÀ×À Ä3 (1.5 áàëëà). Ñôîðìóëèðóéòå ìåòîä èñêëþ÷åíèÿ è ïðîäåìîíñòðèðóéòå åãî íà ïðèìåðå ìîäåëèðîâàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ,èìåþùåé ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ f (u), ïðîïîðöèîíàëüíóþ ôóíêöèè πu ln(1 + (e − 1)u), 0 < u < 1.cosg(u) = 4 +22Îöåíèòå ñâåðõó òðóäîåìêîñòü ìåòîäà.ÐÅØÅÍÈÅ.
Íåñëîæíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ïëîòíîñòü f (u) íå ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòàðíîé. Çàìåòèì, ÷òî g(u) = Y (u) g̃ (1) (u), ãäå g̃ (1) (u) =cos(πu/2) è Y (u) = 4 + (1/2) ln(1 + (e − 1)u), ïðè÷åì, â ñèëó ìîíîòîííîñòè ôóíêöèè ln(1 + (e − 1)u) íà èíòåðâàëå (0, 1), âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî4 < Y (u) < 4.5.
Òîãäà g(u) < g (1) (u) = 4.5 cos(πu/2). Âû÷èñëèì èíR1òåãðàë Ḡ(1) = 0 g (1) (u) du = 4.5 × 2/π . Ïëîòíîñòü, ïðîïîðöèîíàëüíàÿ85ìàæîðàíòå g (1) (u) èìååò âèä: f (1) (u) = (π/2) cos(πu/2), 0 < u < 1. Ôîðìóëà ìåòîäà îáðàòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ âûáîðî÷íîãî çíà÷å(1)íèÿ ξ0 ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ (1) ïîëó÷àåòñÿ èç öåïî÷êè ðàâåíñòâ (1) πu ξ0 πu π(1)= α0 è ξ0 = (2/π) arcsin α0 .du = α0 , sincos22200(16.22)Ïðîâåðêà 13.1 ïðè α0 = 0 äàåò ξ0 = (2/π) arcsin 0 = 0, à ïðè α0 = 1èìååì ξ0 = (2/π) arcsin 1 = 1.Ñôîðìóëèðóåì ñîîòâåòñòâóþùèé àëãîðèòì ìåòîäà èñêëþ÷åíèÿ.(1)1. Ðåàëèçóåì âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå ξ0 = (2/π) arcsin α1 , à òàêæå(1)(1)(1)η0 = α2 g (1) (ξ0 ) = 4.5 α2 cos(πξ0 /2). Òî÷êà (ξ0 , η0 ) ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíà â ¾ïîäãðàôèêå¿ ìàæîðàíòû g (1) (u).(1)2.
Ïðîâåðÿåì íåðàâåíñòâî η0 < g(ξ0 ) èëè9 π α2 < 8 + ln 1 + (e − 1)(2/π) arcsinα1 .(16.23)Z(1)ξ0(1)Åñëè ýòî íåðàâåíñòâî âûïîëíåíî, òî òî÷êà (ξ0 , η0 ) ïðèíàäëåæèò¾ïîäãðàôèêó¿ ôóíêöèè g(u) è ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîé âýòîì ìíîæåñòâå. Òîãäà â êà÷åñòâå âûáîðî÷íîãî çíà÷åíèÿ ξ0 ñëó÷àéíîé(1)âåëè÷èíû ξ áåðåì ξ0 = ξ0 . Åñëè æå íåðàâåíñòâî (16.23) íå âûïîëíåíî,òî ïîâòîðÿåì ï. 1 è ò. ä.(1)Òðóäîåìêîñòü s (ò. å. ñðåäíåå ÷èñëî ïîïûòîê ðîçûãðûøà ïàð (ξ0 , η0 )äî âûïîëíåíèÿ íåðàâåíñòâà (16.23)) îöåíèâàåòñÿ ñâåðõó âåëè÷èíîés < 4.5/4 = 1.125.17.
Íåêîòîðûå ñïåöèàëüíûå ìåòîäû ìîäåëèðîâàíèÿíåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí17.1. Ìîäåëèðîâàíèå ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ ñ öåëûì ïàðàìåòðîì. Êàê è â ñëó÷àå ìîäåëèðîâàíèÿ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè-÷èí (ñì. ðàçä. 11, 12) äëÿ íåêîòîðûõ ðàñïðåäåëåíèé íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí óäàåòñÿ ïîñòðîèòü ýôôåêòèâíûå àëãîðèòìû ìîäåëèðîâàíèÿ, îñíîâàííûå íà îñîáûõ âåðîÿòíîñòíûõ ñâîéñòâàõ ðàññìàòðèâàåìûõ ðàñïðåäåëåíèé. Ïðèâåäåì äâà âàæíûõ ïðèìåðà òàêèõ ñèòóàöèé.Ðàññìîòðèì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ξ (λ,n) , èìåþùóþ ðàñïðåäåëåíèåÝðëàíãà (èëè ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå Ïèðñîíà ñ íàòóðàëüíûì ïàðàìåò-86ðîì n ñì., íàïðèìåð, [2]) ñ ïëîòíîñòüþf (λ,n) (u) =λn un−1 e−λ u,(n − 1)!u > 0; n ≥ 1, λ > 0.Ïðè n > 1 ýòî ðàñïðåäåëåíèå íå ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòàðíûì.
Äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ (λ,n) øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ ñëåäóþùååñâîéñòâî ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ (ñì., íàïðèìåð, [2]).ÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈÅ 17.1. Åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ (λ,n) è ξ (λ,m) íåçàâèñèìû, òî ξ (λ,n) + ξ (λ,m) = ξ (λ,n+m) ; ðàâåíñòâî îçíà÷àåò çäåñü ñîâïàäåíèå ðàñïðåäåëåíèé ñîîòâåòñòâóþùèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.Ýòî óòâåðæäåíèå ïîçâîëÿåò ïðåäñòàâèòü ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ξ (λ,n)(j)Pnâ âèäå ñóììû èç n ñëàãàåìûõ ξ (λ,n) = j=1 ξ (λ,1), êàæäîå èç êîòîðûõ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó, ðàñïðåäåëåííóþ ñîãëàñíî ýêñïîíåíöèàëüíîé ïëîòíîñòè f (u) = λe−λu , u > 0. Ýòà ïëîòíîñòüðàññìîòðåíà â ïðèìåðå 13.1 è òàì æå ïîëó÷åíà ïðîñòàÿ (òàáëè÷íàÿ)ìîäåëèðóþùàÿ ôîðìóëà ξ0 = −(1/λ) ln α0 (ñì.
ñîîòíîøåíèå (13.13) èçàìå÷àíèå 13.3). Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ïîëó÷åíèÿ âûáîðî÷íîãî çíà÷åíèÿ(λ,n)ξ0ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ (λ,n) ìîæíî ïðåäëîæèòü ôîðìóëóln αnln (α1 × . . . × αn )ln α1(λ,n),+ ... + −=−ξ0= −λλλãäå {αj } ðåàëèçàöèè ñòàíäàðòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû α.17.2. Ìîäåëèðîâàíèå ãàóññîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Òåïåðü ðàññìîòðèì ñïåöèàëüíûé àëãîðèòì ìîäåëèðîâàíèÿ ñòàíäàðòíîé íîðìàëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû γ ñ ïàðàìåòðàìè (0, 1) è ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ21f (u) = √e−u /2 , −∞ < u < +∞(17.1)2π(ñì., íàïðèìåð, [2]).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
